Angolo più conveniente per muovere un corpo con minima $F$
La situazione dovrebbe essere questa. Però non so da dove iniziare.
Sappiamo che $vec F_a = \mu_s vec R_N$
Risposte
hai i risultati per caso?
"robe92":
hai i risultati per caso?
Sì l'angolo più conveniente $\theta_c = 0.201$ rad mentre la forza è 192 N
Come hai ragionato?
A me risulta la forza minima 192.19 N che coincide sostanzialmente col tuo risultato, ma l'angolo mi viene [tex]\arctan \mu \approx 0.197 rad[/tex]
"Palliit":
A me risulta la forza minima 192.19 N che coincide sostanzialmente col tuo risultato, ma l'angolo mi viene [tex]\arctan \mu \approx 0.197 rad[/tex]
Sono esatti, però io non ho capito come agire...
Immagina due assi x, y messi come di solito; scomponi la forza minima F in [tex]F_{x}= F \cos \vartheta , F_{y}= F \sin \vartheta[/tex]; dalla somma nulla delle componenti verticali [tex]R+F \sin \vartheta-Mg=0[/tex] ricavi la reazione del piano in funzione di F e di [tex]\vartheta[/tex], così ti trovi l'attrito e poni (dato che F è il valore limite al di sopra del quale la massa si muove) che sia nulla la somma delle componenti orizzontali [tex]\mu Mg-\mu F \sin \vartheta=F \cos \vartheta \Rightarrow Mg/F- \sin \vartheta=\frac{1}{\mu} \cos \vartheta[/tex], che puoi trattare graficamente come un fascio di rette in un piano (X,Y) dove [tex]X=\cos \vartheta, Y=\sin \vartheta[/tex]: il problema si riduce a capire quale retta del fascio (che intersechi la circonferenza X^2+Y^2=1 nel I quadrante, supponendo per l'angolo [tex]0< \vartheta < 90°[/tex]) ha la massima intercetta sull'asse Y.
Oppure arrivati all'ultima equazione ci sono i soliti metodi classici per cercare il minimo di una funzione F rispetto alla variabile [tex]\vartheta[/tex], che sicuramente conosci.
Oppure arrivati all'ultima equazione ci sono i soliti metodi classici per cercare il minimo di una funzione F rispetto alla variabile [tex]\vartheta[/tex], che sicuramente conosci.
Quindi da $R_N + F\ \sin \theta - mg = 0$ mi trovo che $R_N = mg - F \sin \theta$ che mi permette di dire che $F_a = \mu * R_N$ però non conosco la forza e l'angolo...
...poi non ho capito il motivo per cui la somma delle componenti orizzontali debba essere uguale a zero, ma non mi trovo con il fatto che hai $\mu\ \mg - \mu\ F \sin \theta$ sarà qualche mia mancanza, ma la voglio colmare!
Grazie Palliit
l'hai scritto qualche riga prima.. $F_{a}=\mu\cdotR_{N}$ e $R_{N}=mg-Fsin\theta$ da cui hai quello che cerchi
"robe92":
l'hai scritto qualche riga prima.. $F_{a}=\mu\cdotR_{N}$ e $R_{N}=mg-Fsin\theta$ da cui hai quello che cerchi
Ok...quindi se devo porre la somma delle componenti orizzontali uguale a zero:
$\mu\ \mg - \mu\ \F\ \sin \theta + F \cos \theta = 0$
mentre Palliit aveva scritto $- F \cos \theta$ perchè? Il verso della forza è opposto a quello dell'attrito...no?
Osserva le componenti orizzontali delle forze in gioco: hai $Fcos\theta-A=0$ dove $A$ è la forza di attrito, che in questo caso è data da $A=\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta$. Ora è tutta questione di segni: $Fcos\theta-(\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta)=0$, ovvero $Fcos\theta-\mu_{s}mg+\mu_{s}Fsin\theta=0\implies\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta=Fcos\theta$
"robe92":
Osserva le componenti orizzontali delle forze in gioco: hai $Fcos\theta-A=0$ dove $A$ è la forza di attrito, che in questo caso è data da $A=\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta$. Ora è tutta questione di segni: $Fcos\theta-(\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta)=0$, ovvero $Fcos\theta-\mu_{s}mg+\mu_{s}Fsin\theta=0\implies\mu_{s}mg-\mu_{s}Fsin\theta=Fcos\theta$
Ora ho capito
me lo hai spiegato benissimo 
Grazie
Sono tornato su questo problema:
$||x : F\ \ cos \theta - \mu (mg - F\ \sin \theta) = 0$
Posso dire che affinchè si muova il corpo deve valere $ F\ \ cos \theta > \mu (mg - F\ \sin \theta)$ e quindi che $F > (\mu (mg - F\ \sin \theta)) / (\ cos \theta) $
da qui come faccio a dire quale è l'angolo più favorevole?
$||x : F\ \ cos \theta - \mu (mg - F\ \sin \theta) = 0$
Posso dire che affinchè si muova il corpo deve valere $ F\ \ cos \theta > \mu (mg - F\ \sin \theta)$ e quindi che $F > (\mu (mg - F\ \sin \theta)) / (\ cos \theta) $
da qui come faccio a dire quale è l'angolo più favorevole?
A me viene da dire che la forza è minima quando il denominatore del secondo membro è massimo, però il risultato non andrebbe bene no?
"smaug":
$F > (\mu (mg - F\ \sin \theta)) / (\ cos \theta) $
Così non hai esplicitato la forza [tex]F[/tex] in funzione dell'angolo [tex]\vartheta[/tex], la [tex]F[/tex] compare sia a primo membro sia nel numeratore del secondo... Metti a posto la disequazione e poi il ragionamento che stavi facendo diventa valido. Ciao
"Palliit":
Così non hai esplicitato la forza [tex]F[/tex] in funzione dell'angolo [tex]\vartheta[/tex], la [tex]F[/tex] compare sia a primo membro sia nel numeratore del secondo... Metti a posto la disequazione e poi il ragionamento che stavi facendo diventa valido. Ciao
Grazie
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