Angolo di stacco da circonferenza
Salve a tutti, qualcuno mi spiega come risolver il primo punto dell'esercizio in foto? (Sotto la foto ho messo come pensavo di risolverlo ma non riesco più a procedere)
Io avevo pensato a una soluzione che credo giusta concettualmente (confermate?) ma richiede calcoli che almeno per la mia preparazione sono un tantino complicati. Tale soluzione consiste nello scomporre la forza peso $P$ agente sul punto materiale in due componenti, una $F_n$ perpendicolare ad ogni istante alla circonferenza, e l'altra $F_t$ tangente alla circonferenza, a questo punto si ha che $F_n = mgsin Theta $ e $F_t = mgcosTheta $.
L'idea mia è che queste due forze sostanzialmente facciano acquisire al punto una velocità scomponibile a sua volta nelle stesse direzioni di $F_n$ e $F_t$ quindi rispettivamente $v_n$ e $v_t$ e che nel momento in cui $v_t > v_n $ allora il punto si stacca. Visto che le accelerazioni le ho in funzione dell'angolo $Theta$ ricavo la velocità angolare (che coincide con la velocità non angolare essendo raggio 1 e lo stesso vale per accelerazione e accelerazione angolare) con la formula generale $ w^2=w_0^2+2int_(Theta_0 )^(Theta) alpha dTheta $ quindi non essendo l'accelerazione costante ho $ w_n^2=w_(0n)^2+2int_(pi/2 )^(Theta) gsinTheta dTheta =w_(0n)^2+2g(cosTheta-cos(pi/2))=w_(0n)^2+2gcosTheta $ e analogamente $ w_t^2=w_(0t)^2+2int_(pi/2 )^(Theta) gcosTheta dTheta =w_(0t)^2+2g(sin(pi/2)-sin(Theta))=w_(0t)^2+2g(1-sinTheta) $ ma ora dovrei vedere per che $Theta$ ho $w_t > w_n$ che non saprei come svolgere
Io avevo pensato a una soluzione che credo giusta concettualmente (confermate?) ma richiede calcoli che almeno per la mia preparazione sono un tantino complicati. Tale soluzione consiste nello scomporre la forza peso $P$ agente sul punto materiale in due componenti, una $F_n$ perpendicolare ad ogni istante alla circonferenza, e l'altra $F_t$ tangente alla circonferenza, a questo punto si ha che $F_n = mgsin Theta $ e $F_t = mgcosTheta $.
L'idea mia è che queste due forze sostanzialmente facciano acquisire al punto una velocità scomponibile a sua volta nelle stesse direzioni di $F_n$ e $F_t$ quindi rispettivamente $v_n$ e $v_t$ e che nel momento in cui $v_t > v_n $ allora il punto si stacca. Visto che le accelerazioni le ho in funzione dell'angolo $Theta$ ricavo la velocità angolare (che coincide con la velocità non angolare essendo raggio 1 e lo stesso vale per accelerazione e accelerazione angolare) con la formula generale $ w^2=w_0^2+2int_(Theta_0 )^(Theta) alpha dTheta $ quindi non essendo l'accelerazione costante ho $ w_n^2=w_(0n)^2+2int_(pi/2 )^(Theta) gsinTheta dTheta =w_(0n)^2+2g(cosTheta-cos(pi/2))=w_(0n)^2+2gcosTheta $ e analogamente $ w_t^2=w_(0t)^2+2int_(pi/2 )^(Theta) gcosTheta dTheta =w_(0t)^2+2g(sin(pi/2)-sin(Theta))=w_(0t)^2+2g(1-sinTheta) $ ma ora dovrei vedere per che $Theta$ ho $w_t > w_n$ che non saprei come svolgere
Risposte
Non servono integrali.
Supponiamo che il corpo abbia una massa $m$. Se il corpo segue una trajettoria circolare allora avremmo che esiste una froza centripeta data da:
$mgcos(\pi/2-theta)-N=m(v^2)/R$
dove $N$ è la forza normale e il primo termine al primo membro è la componente della forza peso lungo il raggio della sfera.
$N=mgcos(\pi/2-theta)-m(v^2)/R$
Quando $N=0$ allora si ha che il punto si stacca dalla circonferenza.
$mgcos(\pi/2-theta)-m(v^2)/R=0\Rightarrow cos(\pi/2-theta)=(v^2)/(Rg)$[nota]Questa è l'equazione 1[/nota].
Adesso imponiamo la conservazione dell'energia
$V_1+T_1=V_2+T_2\Rightarrow mgR+0=mgRcos(\pi/2-theta)+1/2mv^2\Rightarrow v^2=2gR(1-cos(\pi/2-theta))$
$cos(\pi/2-theta)=sin theta$ (lo stavo scrivendo così perché avevo iniziato a considerare $theta$ l'altro angolo).
Quindi
Sostituendo nella prima equazione abbiamo
$sin(theta)=2(1-sin(theta))\Rightarrow\theta=41,8°$
A questo punto puoi calcolare l'altezza, la velocità e modificando l'equazione dell'energia, fare anche il terzo punto.
Supponiamo che il corpo abbia una massa $m$. Se il corpo segue una trajettoria circolare allora avremmo che esiste una froza centripeta data da:
$mgcos(\pi/2-theta)-N=m(v^2)/R$
dove $N$ è la forza normale e il primo termine al primo membro è la componente della forza peso lungo il raggio della sfera.
$N=mgcos(\pi/2-theta)-m(v^2)/R$
Quando $N=0$ allora si ha che il punto si stacca dalla circonferenza.
$mgcos(\pi/2-theta)-m(v^2)/R=0\Rightarrow cos(\pi/2-theta)=(v^2)/(Rg)$[nota]Questa è l'equazione 1[/nota].
Adesso imponiamo la conservazione dell'energia
$V_1+T_1=V_2+T_2\Rightarrow mgR+0=mgRcos(\pi/2-theta)+1/2mv^2\Rightarrow v^2=2gR(1-cos(\pi/2-theta))$
$cos(\pi/2-theta)=sin theta$ (lo stavo scrivendo così perché avevo iniziato a considerare $theta$ l'altro angolo).
Quindi
Sostituendo nella prima equazione abbiamo
$sin(theta)=2(1-sin(theta))\Rightarrow\theta=41,8°$
A questo punto puoi calcolare l'altezza, la velocità e modificando l'equazione dell'energia, fare anche il terzo punto.
Ok intanto grazie mille, alcune domande:
1) Non capisco di preciso cosa sarebbe $N$... sarebbe la reazione vincolare del piano d'appoggio del punto? Ma allora se è così per il terzo principio della dinamica essendo la forza uguale e opposta a $mgcosTheta$ non dovrebbe essere $N=mgcosTheta$ in ogni istante?
2) Ammettendo di risolvere i calcoli il mio metodo era corretto sebbene più contorto?
3) Domanda scollegata all'esercizio: La forza centripeta esiste esclusivamente per traiettorie circolari o per qualsiasi traiettoria non rettilinea? Perché in teoria nel momento del distacco il punto dovrebbe iniziare ad avere una traiettoria parabolica avendo una velocità orizzontale ed essendo soggetto alla forza peso (o sbaglio?) e dunque avendo ancora una traiettoria non rettilinea dovrebbe ancora avere una forza centripeta
1) Non capisco di preciso cosa sarebbe $N$... sarebbe la reazione vincolare del piano d'appoggio del punto? Ma allora se è così per il terzo principio della dinamica essendo la forza uguale e opposta a $mgcosTheta$ non dovrebbe essere $N=mgcosTheta$ in ogni istante?
2) Ammettendo di risolvere i calcoli il mio metodo era corretto sebbene più contorto?
3) Domanda scollegata all'esercizio: La forza centripeta esiste esclusivamente per traiettorie circolari o per qualsiasi traiettoria non rettilinea? Perché in teoria nel momento del distacco il punto dovrebbe iniziare ad avere una traiettoria parabolica avendo una velocità orizzontale ed essendo soggetto alla forza peso (o sbaglio?) e dunque avendo ancora una traiettoria non rettilinea dovrebbe ancora avere una forza centripeta
Per la domanda 1:
Qui si è discusso dello stesso problema (mi era familiare infatti).
viewtopic.php?f=19&t=146265
Per la domanda 2:
Mi dispiace, non lo ho seguito con la giusta attenzione e mi sono un po' perso.
Per la domanda 3:
Che io sappia solo per quelle circolari. Questo almeno per una forza centripeta costante. Immaginiamo una forza variabile e una particella che segue una curva strana, allora possiamo definire il raggio di curvatura in ogni punto della curva: in poche parole costruire un cerchio dappertutto. Quindi credo si possa definire una sorta di forza centripeta locale, ovvero in ogni punto vale la seconda legge di Newton.
Qui si è discusso dello stesso problema (mi era familiare infatti).
viewtopic.php?f=19&t=146265
Per la domanda 2:
Mi dispiace, non lo ho seguito con la giusta attenzione e mi sono un po' perso.
Per la domanda 3:
Che io sappia solo per quelle circolari. Questo almeno per una forza centripeta costante. Immaginiamo una forza variabile e una particella che segue una curva strana, allora possiamo definire il raggio di curvatura in ogni punto della curva: in poche parole costruire un cerchio dappertutto. Quindi credo si possa definire una sorta di forza centripeta locale, ovvero in ogni punto vale la seconda legge di Newton.
ok, guardando il link, si giunge a dire che la forza normale, (reazione vincolare del piano) è uguale alla componente centripeta della forza peso $mgsinTheta$ solo in condizioni statiche e col peso unica forza agente.
Nel nostro caso c'è solo la forza peso effettivamente, ma le condizioni non sono statiche.
Non capisco per quale ragione il fatto che il punto sia in movimento implichi $N!=mgsinTheta$ secondo quale principio? anche se è in movimento lungo la direzione centripeta continua ad agire l'unica forza $mgsinTheta$ e per il terzo principio della dinamica esso deve avere una forza uguale e contraria che è $N$ appunto contraria e UGUALE
Nel nostro caso c'è solo la forza peso effettivamente, ma le condizioni non sono statiche.
Non capisco per quale ragione il fatto che il punto sia in movimento implichi $N!=mgsinTheta$ secondo quale principio? anche se è in movimento lungo la direzione centripeta continua ad agire l'unica forza $mgsinTheta$ e per il terzo principio della dinamica esso deve avere una forza uguale e contraria che è $N$ appunto contraria e UGUALE
Cambiando prospettiva potresti dire, dato che il corpo ruota allora la reazione normale è uguale alla forza centripeta più la forza peso e quel principio viene soddisfatto. Il fatto che le condizioni non siano statiche comporta che la risultante delle forze non è nulla. Di meglio non so fare, magari qualcuno che ne sa di più di me vorrà rispondere. La soluzione del problema è comunque giusta.
"Spremiagrumi":
dato che il corpo ruota allora la reazione normale è uguale alla forza centripeta più la forza peso
È proprio questo il punto che non capisco, tu dici forza peso più forza centripeta, come fossero due forze distinte, ma da quel che sembra a me verrebbe da dire che invece la forza centripeta sia proprio la forza peso (o meglio la sua componente ortogonale alla circonferenza) o no?
Per il resto l'esercizio sì è giusto ma mi piacerebbe capire questo punto se qualcuno è in grado di rispondere
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