Angolo apparente di zenit

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Salve, ho un problemino ostico nel calcolare la differenza $\Delta\theta$ fra l'angolo di zenit reale $\theta$ e quello apparente $\theta_a$ di una stella in funzione della pressione e temperatura noto che l'indice di rifrazione sia $n = 1 + 0.00024 d$, dove d è la densità dell'aria.
La soluzione del teso dice
$\Delta\theta=0.00024((PT)/(P_0T_0)) tan\theta$.
Come iniziare il ragionamento?
Allego immagine.

[ingres]

Ciao zorrok

come suggerimento partirei dalla legge di Snell, tenendo conto che $Delta theta$ è un angolo piccolo.

Sei poi sicuro che la correzione sia $(PT)/(P_0 T_0)$ e non piuttosto $(PT_0)/(P_0 T)$ ?

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anch'io avevo notato che probabilmente è un refuso, perchè dalla legge dei gas la densità è $(M/R)(P/T)$ dove m è la massa molare e R la costante dei gas. Poi per la legge di Snell per un mezzo stratificato (discreto o continuo) si ha
$n_1sin\theta_1=n_2sin\theta_2$ dove $n_1$ è l'indice di rifrazione nel vuoto (alla sommità dell'atmosfera) ed $n_2$ l'indice di rifrazione in atmosfera ad una certa quota, perchè esso è dato in funzione della densità. Quindi si ha
$sin\theta=nsin\theta_a$ dove $\theta_a$ è l'angolo apparente e $\theta$ quello reale. Ora $\theta_a=\theta-\Delta\theta$ quindi si ha $sin\theta=(1+0.00024d)sin(\theta-\Delta\theta)$, è corretto? e la tangente da dove sbuca?

[ingres]

E' tutto corretto . Si tratta solo di andare avanti con i calcoli. Riscrivo la formula come segue:

$sin(theta - Delta theta)/sin (theta)=1/(1+0.00024 d)$

Quindi uso le formule di addizione della trigonometria:

$(sin(theta)cos(Delta theta)- cos(theta) sin(Delta theta))/sin(theta) = 1/(1+0.00024 d)$

Essendo $Delta theta$ piccolo risulterà a meno di infinitesimi di ordine superiore

$cos(Delta theta) approx 1$
$sin(Delta theta) approx Delta theta$

Inoltre:
$1/(1+0.00024*d) approx 1-0.00024*d$

Sostituendo risulta

$1 - (Delta theta)/(tg(theta)) = 1-0.00024*d$

$Delta theta = 0.00024*d*tg(theta)$

A questo punto se il coefficiente 0.00024 è relativo ad una certa densità $d_0$, dalla legge dei gas perfetti, come hai già ipotizzato, dovrà risultare:

$d/d_0 = P/P_0*T_0/T$

da cui sostituendo si ottiene la formula finale (con un $d_0$ che può essere posto a 1 se il valore di $d_0$ a $P_0, T_0$ è già incluso nel 0.00024).

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veramente grazie tanto...