Anello semicircolare carico, campo elettrico e potenziale.
Ciao a tutti, avrei bisogno per un esercizio se possibile:
Un anello carico di forma semicircolare e raggio R = 8 cm, giace sul semipiano x-y (y positivo) come
indicato in figura. La densità lineare di carica dell’anello è di 70 nC/m.
i. Calcolare le componenti del campo ⃑ nel punto P che giace sull’asse z a distanza h = 20 cm dal piano x-y.
ii. Calcolare il potenziale elettrico nel punto P
iii. Una carica q giace nel punto (0,-h,h). Trovare il valore di q per il quale il campo elettrico risultante nel punto P
ha solo componenti non nulle lungo l’asse z.
iv. Calcolare il flusso di ⃑ attraverso la superficie di un cilindro centrato nel sistema di riferimento, allineato
lungo l’asse Z avente raggio Rc = 40 cm e altezza Hc = 40 cm.
Ho provato a risolvere il primo passaggio e ho ottenuto: $ E(z)=lambda /(2piepsilonR) $ può essere corretto? Per gli altri punti non sono riuscito ad andare avanti
Un anello carico di forma semicircolare e raggio R = 8 cm, giace sul semipiano x-y (y positivo) come
indicato in figura. La densità lineare di carica dell’anello è di 70 nC/m.
i. Calcolare le componenti del campo ⃑ nel punto P che giace sull’asse z a distanza h = 20 cm dal piano x-y.
ii. Calcolare il potenziale elettrico nel punto P
iii. Una carica q giace nel punto (0,-h,h). Trovare il valore di q per il quale il campo elettrico risultante nel punto P
ha solo componenti non nulle lungo l’asse z.
iv. Calcolare il flusso di ⃑ attraverso la superficie di un cilindro centrato nel sistema di riferimento, allineato
lungo l’asse Z avente raggio Rc = 40 cm e altezza Hc = 40 cm.
Ho provato a risolvere il primo passaggio e ho ottenuto: $ E(z)=lambda /(2piepsilonR) $ può essere corretto? Per gli altri punti non sono riuscito ad andare avanti
Risposte
Intanto, benvenuto nel forum 
Poi:
1 - Che simbolo sarebbe ⃑ ?
2 - Come hai ottenuto quel risultato?
3 - Già a vista il tuo risultato non sta in piedi: dove sta la dipendenza da z?
Poi:
1 - Che simbolo sarebbe ⃑ ?
2 - Come hai ottenuto quel risultato?
3 - Già a vista il tuo risultato non sta in piedi: dove sta la dipendenza da z?
Grazie per il benvenuto. Quel simbolo doveva essere una E, il risultato l'ho ottenuto considerando un'arco infinitesimo della semicirconferenza, ho calcolato il suo cocntributo al campo e poi ho integrato per tutta la lunghezza della semicirconferenza.
"ffffir":
il risultato l'ho ottenuto considerando un'arco infinitesimo della semicirconferenza, ho calcolato il suo contributo al campo e poi ho integrato per tutta la lunghezza della semicirconferenza.
E come mai non compare $z$ ? Il campo non dipende da $z$? Magari fai vedere i calcoli in dettaglio
Ho considerato che il contributo infinitesimo al campo è $ dbar(E) = 1/(4piepsilon)*(dq)/r^2=1/(4piepsilon)*(lambda dl)/R^2hat(r) $ dove R raggio, dl è la lunghezza infinitesimo che analizzo e theta l'angolo che il raggio forma con il centro della semicirconferenza. Da lì ho diviso il contributo al campo nella componente x, y e z e, per simmetria, ho evitato di calcolare le prime due ottenendo: $ E(z)=int^(pi/2)dE(z)=int^(pi/2)1/(4piepsilon)*(lambda Rdvartheta )/Rcos(vartheta)= lambda/(4piepsilonR) $ (l'altro estremo dell'integrale è 0) il coseno è comparso perchè $ dE(z)=dEcos(vartheta) $
"ffffir":
Ho considerato che il contributo infinitesimo al campo è $ dbar(E) = 1/(4piepsilon)*(dq)/r^2=1/(4piepsilon)*(lambda dl)/R^2hat(r) $ dove R raggio, dl è la lunghezza infinitesimo che analizzo e theta l'angolo che il raggio forma con il centro della semicirconferenza.
1) e $theta$ dove si vede?
2) Suppongo che $r$ rappresenti la distanza fra il punto $P$ e $dl$; com'è che nel passaggio successivo diventa $R$, che è il raggio della semicirconferenza ?
Belle domande, consigli su come "aggirare" il problema?
Cosa c'è da aggirare? Basta guardare la situazione:
il campo in P dovuto a $dl$ è dato da $ d(E) = 1/(4piepsilon)*(dq)/d^2=1/(4piepsi_0)*(lambda dl)/(R^2 + h^2) $.
Questo è il modulo. Se vuoi la componente $z$ devi moltiplicare per il coseno dell'angolo fra $d$ e l'asse $z$, ossia $h/(sqrt(R^2+h^2)$ da cui $dE_z = 1/(4piepsi_0)*(dq)/d^2=1/(4piepsi_0)*(lambda h dl)/(R^2 + h^2)^(3/2)$.
Integrando su tutti i $dl$ si ottiene $E_z = 1/(4piepsi_0)*(lambda h pi R)/(R^2 + h^2)^(3/2)$
Nota poi che per simmetria $E$ non ha componenti su $x$, ma invece su $y$ sì, e devi trovarlo, per rispondere alla terza domanda
il campo in P dovuto a $dl$ è dato da $ d(E) = 1/(4piepsilon)*(dq)/d^2=1/(4piepsi_0)*(lambda dl)/(R^2 + h^2) $.
Questo è il modulo. Se vuoi la componente $z$ devi moltiplicare per il coseno dell'angolo fra $d$ e l'asse $z$, ossia $h/(sqrt(R^2+h^2)$ da cui $dE_z = 1/(4piepsi_0)*(dq)/d^2=1/(4piepsi_0)*(lambda h dl)/(R^2 + h^2)^(3/2)$.
Integrando su tutti i $dl$ si ottiene $E_z = 1/(4piepsi_0)*(lambda h pi R)/(R^2 + h^2)^(3/2)$
Nota poi che per simmetria $E$ non ha componenti su $x$, ma invece su $y$ sì, e devi trovarlo, per rispondere alla terza domanda
Ah, grazie mille ora è molto più chiaro! Riusciresti ad aiutarmi anche con gli altri punti? Te ne sarei grato
Per il potenziale, visto che è scalare e additivo, basta che trovi il potenziale in $P$ dovuto da $dl$ e poi integri su $theta$; o, più semplicemente, visto che tutti i $dl$ si trovano alla stessa distanza da $P$ puoi considerare la carica complessiva $Q$ collocata in un punto qualunque della semicirconferenza
Per il terzo punto, devi trovare la componente $y$ del campo in $P$: una volta che hai il modulo del campo $dE$ dovuto a $dl$, la componente $y$ la trovi facendo prima la proiezione di $E$ sul piano $xy$ e e diventa $E_(xy) = E*R/sqrt((R^2+h^2))$, che in modulo è costante, non dipende da $theta$; e poi la componente di questo su $y$, cioè moltiplichi ancora per $sin theta$ ($theta$ angolo fra il raggio e l'asse $x$). Infine integri su $theta$ da $0$ a $pi$. Poi, trovare la carica puntiforme che neutralizza questa componente in $P$ mi pare facile.
Per il terzo punto, devi trovare la componente $y$ del campo in $P$: una volta che hai il modulo del campo $dE$ dovuto a $dl$, la componente $y$ la trovi facendo prima la proiezione di $E$ sul piano $xy$ e e diventa $E_(xy) = E*R/sqrt((R^2+h^2))$, che in modulo è costante, non dipende da $theta$; e poi la componente di questo su $y$, cioè moltiplichi ancora per $sin theta$ ($theta$ angolo fra il raggio e l'asse $x$). Infine integri su $theta$ da $0$ a $pi$. Poi, trovare la carica puntiforme che neutralizza questa componente in $P$ mi pare facile.
Così può andare? Il punto tre lo sto ancora svolgendo quindi non considerarlo grazie
Il punto 3 o il punto 4?
Comunque, guarda che non è vero che il campo ha solo componente z, ce l'ha anche su y... e in ogni caso, il buon teorema di Gauss ti permette di dimenticarti i dettagli del campo, il flusso dipende solo dalle cariche contenute nella superficie
Comunque, guarda che non è vero che il campo ha solo componente z, ce l'ha anche su y... e in ogni caso, il buon teorema di Gauss ti permette di dimenticarti i dettagli del campo, il flusso dipende solo dalle cariche contenute nella superficie
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