Ancora gabbia di Faraday
Apro un nuovo post, perchè il dubbio che ora mi assilla è diverso da quello scritto nel post "dubbi esistenziali di elettrostatica".
Mi occupo stavolta del problema esterno.
Nella cavità di un conduttore cavo (non necessariamente isolato) metto una carica Q. Perchè posso ridistribuire la carica come mi pare senza cambiare il campo all'esterno del conduttore?
Il libro Picasso da questa motivazione
"Per l'equivalenza del problema di Neumann e di Dirichlet"
dove, meglio precisarlo, con "problema di Neumann" intende assegnate le cariche interne ai conduttori (l'ho specificato perchè altra letteratura per "problema di Neumann" intende assegnata sul contorno $(\partial V)/(\partial n)$, non quindi le cariche interne, che sono l'integrale di $(\partial V)/(\partial n)$ lungo la superficie di contorno del conduttore).
Ora l'equivalenza tra "il problema di Neumann e di Dirichlet" viene dimostrata una pagina dopo dimostrando che per un sistema di N conduttori vale la relazione
$\vec V = A \vec Q$ (1)
dove $\vec V = (V_1,V_2,\cdots,V_n)$ e $\vec Q=(Q_1,Q_2,\cdots,Q_n)$.
Il problema che mi sorge è che la relazione (1) dovrebbe essere vera solo nel caso gli N conduttori siano isolati (cioè non ci sono altre sorgenti in giro). Altrimenti, se valesse sempre (mi limito a un solo conduttore)
$$Q=CV$$
dovrei dolorosamente dedurre che un conduttore privo di carica interna ha sempre potenziale nullo.
Inoltre non mi è chiaro in che modo il Picasso usa questa cosa per dimostrare l'invarianza del campo esterno alla gabbia di Faraday (a parità di carica Q interna alla cavità). Qui c'è scritto
"Infatti, siccme la carica totale di un conduttore ne determina il potenziale (equivalenza di Neumann e Dirichlet) la soluzione all'esterno del conduttore, e quindi anche la distribuzione $\sigma_e$ è determinata, e unica, indiendentemente da come le cariche sono distribuite all'interno. In particolare le cariche interne possono venire rimosse, ed una carica uguale fornita al conduttore (in modo da mantenere inalterata la carica totale) e al'esterno non cambia nulla"
Mi occupo stavolta del problema esterno.
Nella cavità di un conduttore cavo (non necessariamente isolato) metto una carica Q. Perchè posso ridistribuire la carica come mi pare senza cambiare il campo all'esterno del conduttore?
Il libro Picasso da questa motivazione
"Per l'equivalenza del problema di Neumann e di Dirichlet"
dove, meglio precisarlo, con "problema di Neumann" intende assegnate le cariche interne ai conduttori (l'ho specificato perchè altra letteratura per "problema di Neumann" intende assegnata sul contorno $(\partial V)/(\partial n)$, non quindi le cariche interne, che sono l'integrale di $(\partial V)/(\partial n)$ lungo la superficie di contorno del conduttore).
Ora l'equivalenza tra "il problema di Neumann e di Dirichlet" viene dimostrata una pagina dopo dimostrando che per un sistema di N conduttori vale la relazione
$\vec V = A \vec Q$ (1)
dove $\vec V = (V_1,V_2,\cdots,V_n)$ e $\vec Q=(Q_1,Q_2,\cdots,Q_n)$.
Il problema che mi sorge è che la relazione (1) dovrebbe essere vera solo nel caso gli N conduttori siano isolati (cioè non ci sono altre sorgenti in giro). Altrimenti, se valesse sempre (mi limito a un solo conduttore)
$$Q=CV$$
dovrei dolorosamente dedurre che un conduttore privo di carica interna ha sempre potenziale nullo.
Inoltre non mi è chiaro in che modo il Picasso usa questa cosa per dimostrare l'invarianza del campo esterno alla gabbia di Faraday (a parità di carica Q interna alla cavità). Qui c'è scritto
"Infatti, siccme la carica totale di un conduttore ne determina il potenziale (equivalenza di Neumann e Dirichlet) la soluzione all'esterno del conduttore, e quindi anche la distribuzione $\sigma_e$ è determinata, e unica, indiendentemente da come le cariche sono distribuite all'interno. In particolare le cariche interne possono venire rimosse, ed una carica uguale fornita al conduttore (in modo da mantenere inalterata la carica totale) e al'esterno non cambia nulla"
Risposte
up
$$Up_{2}+2Up_3 \to 4Up_2$$
Up
Ho deciso di riaprire questo post, perchè vorrei capire cosa mi dice questo libro. Essa fornisce un argomentazione abbastanza "stringata" riguardo al fatto che la disposizione delle cariche all'interno di un conduttore cavo non influenza il campo all'esterno della gabbia stessa.
Il mio testo di riferimento è Picasso, Lezioni di Fisica Generale II.
Esso dice che il problema di Dirichlet e di Neumann sono equivalenti, dove, si badi bene, per "problema di Neumann" non intende quello con fissate le distribuzioni superficiali di carica $\sigma_e$ esterne al conduttore, bensì quello con fissata l'ammontare complessivo di carica Q interno al conduttore. La dimostrazione di questo fatto viene fatta dimostrando che, in un sistema di N conduttori, la relazione che lega gli N potenziali con le N cariche è lineare ed invertibile: ovvero vale $\vec N=A\vec Q$ dove ho introdotto le ennuple $\vec N$ = potenziali conduttori, $\vec Q$=cariche conduttori.
Torniamo alla gabbia di Faraday. Si vuole dimostrare che "cambiando la disposizione delle cariche interne alla cavità, il campo fuori non cambia".
Riporto quello che è scritto nel libro (e che non ho capito).
Perplessità:
Le cariche dentro la gabbia non fanno parte del conduttore, quindi non è applicabile la relazione $N=AQ$ usata per dimostrare l'equivalenza tra Neumann e Dirichlet. Anzi, tale relazione non è neanche vera: infatti ci sono cariche esterne (quelle dentro la cavità), e la relazione corretta sarebbe $N = AQ+N_0$ dove N_0 è il potenziale generato dalle cariche interne alla cavità (e chi me lo dice che esso è indipendente dalla disposizione delle cariche? Inoltre non ho capito come ha dedotto che $\sigma_e$ è determinata, e unica, indipendentemente dalla disposizione delle cariche.
So di essere stato lungo, spero che qualcuno di voi possa aiutarmi!
Il mio testo di riferimento è Picasso, Lezioni di Fisica Generale II.
Esso dice che il problema di Dirichlet e di Neumann sono equivalenti, dove, si badi bene, per "problema di Neumann" non intende quello con fissate le distribuzioni superficiali di carica $\sigma_e$ esterne al conduttore, bensì quello con fissata l'ammontare complessivo di carica Q interno al conduttore. La dimostrazione di questo fatto viene fatta dimostrando che, in un sistema di N conduttori, la relazione che lega gli N potenziali con le N cariche è lineare ed invertibile: ovvero vale $\vec N=A\vec Q$ dove ho introdotto le ennuple $\vec N$ = potenziali conduttori, $\vec Q$=cariche conduttori.
Torniamo alla gabbia di Faraday. Si vuole dimostrare che "cambiando la disposizione delle cariche interne alla cavità, il campo fuori non cambia".
Riporto quello che è scritto nel libro (e che non ho capito).
La carica totale sulla superficie esterna del conduttore dipende anche dalla carica interna alla cavità (Qtot = Q+Q_i), ma la sua distribuzione $\sigma_e$ non dipende da come la carica $Q_i$ è distribuita all'interno, cioè dalle posizione delle cariche fisse e dalle distribuzioni sugli eventuali conduttori. Infatti, siccome la carica totale di un conduttore ne determina il potenziale (equivalenza di Neumann e Dirichlet), la soluzione all'esterno del conduttore, e quindi anche la distribuzione $\sigma_e$, è determinata, e unica, indipendentemente da come le cariche sono distribuite all'interno. In particolare le cariche interne possono venire rimosse, e una carica uguale fornita al conduttore in modo da mantenere inalterata la carica totale, e all'esterno non cambia nulla. Quindi anche le cariche sulla superficie esterna insieme alle cariche esterne generano un campo nullo nella regione occupata dal conduttore: ciò significa che il problema interno ed esterno sono indipendenti.
Perplessità:
Le cariche dentro la gabbia non fanno parte del conduttore, quindi non è applicabile la relazione $N=AQ$ usata per dimostrare l'equivalenza tra Neumann e Dirichlet. Anzi, tale relazione non è neanche vera: infatti ci sono cariche esterne (quelle dentro la cavità), e la relazione corretta sarebbe $N = AQ+N_0$ dove N_0 è il potenziale generato dalle cariche interne alla cavità (e chi me lo dice che esso è indipendente dalla disposizione delle cariche? Inoltre non ho capito come ha dedotto che $\sigma_e$ è determinata, e unica, indipendentemente dalla disposizione delle cariche.
So di essere stato lungo, spero che qualcuno di voi possa aiutarmi!
Per chi vuole consultare direttamente il libro
https://drive.google.com/folderview?id= ... jkzZWt6M3c
La parte incriminata è pag. 44-47
https://drive.google.com/folderview?id= ... jkzZWt6M3c
La parte incriminata è pag. 44-47
"newton_1372":
...Inoltre non ho capito come ha dedotto che $\sigma_e$ è determinata, e unica, indipendentemente dalla disposizione delle cariche.
Sorvolando sull'unicità, che la disposizione esterna delle cariche indotte sia indipendente da quella interna io me lo spiego considerando il fatto che, a regime, ovvero a induzione completata, il campo interno al volume conduttore del guscio va ad annullarsi in ogni suo punto e di conseguenza la carica interna trova interrotto[nota]O meglio viene a perdere il collegamento.[/nota] l'unico "canale di comunicazione" disponibile per "informare" le cariche della superficie esterna del conduttore sulla geometria interna , e quindi l'unica disposizione che la carica esterna potrà assumere all'equilibrio sarà la stessa che avrebbe assunto se depositata direttamente sulla superficie esterna a guscio vuoto e scarico.
Per quanto mi sia sforzato, non riesco a vedere i "campi" come "informazione". E soprattutto non so cosa rigorosamente significhi la parola informazione.
Vorrei che qualcuno mi aiutasse a decifrare il testo che ho messo in Quote, in particolare come ha dedotto l'invarianza di sigma_e, usando "l'equivalenza neumann-dirichlet"
Vorrei che qualcuno mi aiutasse a decifrare il testo che ho messo in Quote, in particolare come ha dedotto l'invarianza di sigma_e, usando "l'equivalenza neumann-dirichlet"
Up
In effetti si tratta di uno di quei problemi che nel corso di studio rimane, o perlomeno viene percepito come tale, in uno stato di incompletezza.
Si può provare a procedere così:
- se il conduttore è collegato a massa, il problema non si pone: si tratta del problema di Dirichlet con $\phi_0=0$ su una superficie chiusa e $\phi(r)$ nullo all'infinito. Il potenziale è quindi ovunque nullo, come il campo, e il conduttore scherma completamente l'esterno dalla carica interna.
- se il conduttore è isolato, inizialmente neutro, ma di forma sferica, l'esterno non è più schermato, ma la simmetria del problema permette di scrivere il potenziale all'esterno nella forma $\phi(r)= \phi_0 \frac{R}{r}$. Si può allora calcolare $\phi_0$ con il teorema di Gauss e si ottiene $\phi_0=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$, che non dipende dalla posizione della carica nel guscio.
- se il conduttore ha forma arbitraria, ma inizialmente neutro, una diversa posizione della carica potrebbe determinare un diverso valore del potenziale sulla superficiale (sempre equipotenziale, comunque). In questi appunti viene dimostrato un teorema
la cui dimostrazione mi sembra possa essere adattata anche la caso di una carica interna al guscio, e suppongo possa essere estesa anche al caso del conduttore inizialmente carico (dovrei però verificare un po' più in dettaglio).
Si può provare a procedere così:
- se il conduttore è collegato a massa, il problema non si pone: si tratta del problema di Dirichlet con $\phi_0=0$ su una superficie chiusa e $\phi(r)$ nullo all'infinito. Il potenziale è quindi ovunque nullo, come il campo, e il conduttore scherma completamente l'esterno dalla carica interna.
- se il conduttore è isolato, inizialmente neutro, ma di forma sferica, l'esterno non è più schermato, ma la simmetria del problema permette di scrivere il potenziale all'esterno nella forma $\phi(r)= \phi_0 \frac{R}{r}$. Si può allora calcolare $\phi_0$ con il teorema di Gauss e si ottiene $\phi_0=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$, che non dipende dalla posizione della carica nel guscio.
- se il conduttore ha forma arbitraria, ma inizialmente neutro, una diversa posizione della carica potrebbe determinare un diverso valore del potenziale sulla superficiale (sempre equipotenziale, comunque). In questi appunti viene dimostrato un teorema
In a region containing conductors and with specified charge density $\rho(r)$, the electric field is uniquely determined if the total charge on each conductor is given.
la cui dimostrazione mi sembra possa essere adattata anche la caso di una carica interna al guscio, e suppongo possa essere estesa anche al caso del conduttore inizialmente carico (dovrei però verificare un po' più in dettaglio).
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