Analisi qualitativa dell'oscillatore armonico
Buonasera,
ho appena iniziato il corso di fisica matematica e sto studiando l'analisi qualitativa del moto.
Il mio professore in classe ha studiato qualitativamente l'oscillatore armonico, arrivando alla fine ad avere, sul piano delle fasi, un punto se $E=0$ e delle ellissi se $E>0$, per quanto riguarda le orbite.
Il mio problema e' che non capisco come lui abbia fatto a capire che le orbite erano fatte cosi. Negli appunti ho delle spiegazioni ma non riesco proprio a collegare queste spiegazioni con il fatto che le orbite siano in un certo modo.
Precisamente, per il caso, $E>0$ io ho che, data l'equazione
$E=1/2 mv^2+1/2 kx^2$ posso dividere per E ed ottenere
$(kx^2)/(2E) + (mv)/(2E)=1$
Mi e' chiaro che questa e' l'equazione di un'ellisse ma perche' questa e' l'orbita? E qual e' il procedimento standard da seguire per capire come sono fatte le orbite? Esiste?
ho appena iniziato il corso di fisica matematica e sto studiando l'analisi qualitativa del moto.
Il mio professore in classe ha studiato qualitativamente l'oscillatore armonico, arrivando alla fine ad avere, sul piano delle fasi, un punto se $E=0$ e delle ellissi se $E>0$, per quanto riguarda le orbite.
Il mio problema e' che non capisco come lui abbia fatto a capire che le orbite erano fatte cosi. Negli appunti ho delle spiegazioni ma non riesco proprio a collegare queste spiegazioni con il fatto che le orbite siano in un certo modo.
Precisamente, per il caso, $E>0$ io ho che, data l'equazione
$E=1/2 mv^2+1/2 kx^2$ posso dividere per E ed ottenere
$(kx^2)/(2E) + (mv)/(2E)=1$
Mi e' chiaro che questa e' l'equazione di un'ellisse ma perche' questa e' l'orbita? E qual e' il procedimento standard da seguire per capire come sono fatte le orbite? Esiste?
Risposte
Il piano delle fasi è il piano $(x, dotx)$, quella è proprio l'equazione di una ellisse nel piano delle fasi.
Questo mi era chiaro, ma la mia domanda e': chi mi dice che quella e' la mia orbita?
Inoltre prendendo ad esempio il caso in cui $E=0$ perche' la mia orbita e' un punto?
Inoltre prendendo ad esempio il caso in cui $E=0$ perche' la mia orbita e' un punto?
Si può dimostrare che nel problema $mddotx=F(x)$ risulta :
$mddotx=F(x), x(t_0)=x_0, dotx(t_0)=v_0$ se e solo se $E(x, dotx)=E(x_0, v_0)$, in pratica le soluzioni del problema sono tutte e sole le curve di livello di E.
$mddotx=F(x), x(t_0)=x_0, dotx(t_0)=v_0$ se e solo se $E(x, dotx)=E(x_0, v_0)$, in pratica le soluzioni del problema sono tutte e sole le curve di livello di E.
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