Analisi II legge di Keplero
Ragazzi avrei bisogno di qualche delucidazione sulla seconda legge di Keplero.
L'enunciato è: '' Il raggio vettore Sole-Terra ''spazza'' aree uguali in tempi uguali.''
Nella dimostrazione della seconda legge di Keplero pero' non capisco il valore della velocità da considerare.
Alla base della dimostrazione di questa legge c'è la considerazione che un'area '' spazzata '' da quel vettore sia riconducibile ad un triangolo, la cui area è data dalla formula $(R_(TS) * dS)/2$ e $dS$ è la traiettoria sull'orbita descritta in un intervallo di tempo da quel raggio vettore.
Ora, il mio dubbio è: se $dS$ è uno spostamento, sarà dato ovviamente dal prodotto tra velocità e intervallo di tempo. Ma la velocità da prendere in considerazione, è una velocità angolare o no?
Il mio dubbio nasce dal fatto che stiamo parlando sempre in un contesto ellittico.
Grazie mille per le risposte!
L'enunciato è: '' Il raggio vettore Sole-Terra ''spazza'' aree uguali in tempi uguali.''
Nella dimostrazione della seconda legge di Keplero pero' non capisco il valore della velocità da considerare.
Alla base della dimostrazione di questa legge c'è la considerazione che un'area '' spazzata '' da quel vettore sia riconducibile ad un triangolo, la cui area è data dalla formula $(R_(TS) * dS)/2$ e $dS$ è la traiettoria sull'orbita descritta in un intervallo di tempo da quel raggio vettore.
Ora, il mio dubbio è: se $dS$ è uno spostamento, sarà dato ovviamente dal prodotto tra velocità e intervallo di tempo. Ma la velocità da prendere in considerazione, è una velocità angolare o no?
Il mio dubbio nasce dal fatto che stiamo parlando sempre in un contesto ellittico.
Grazie mille per le risposte!
Risposte
E' la velocità angolare.
Puoi fare la dimostrazione lavorando con gli angoli o con le velocità lineari.
Nel primo caso, a meno di un "pezzetto" da tagliare via che è un infinitesimo di ordine superiore, l'area del triangolo è $dA = \frac{1}{2} r^2 d\theta$ (puoi vederlo graficamente). La velocità areolare è $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}$, che è proporzionale al momento angolare, che è conservato.
Nel secondo caso: l'area del triangolo è, sempre a meno di infinitesimi di ordine superiore, $\frac{R_{TS} dS_{\bot}}{2}$ dove $dS_{\bot}$ è la componente ortogonale al raggio vettore di $dS$ (lo spostamento infinitesimo), verifica questo graficamente. Ovviamente hai $dS_{\bot} = \frac{R_{TS}}{|R_{TS}|} \cdot dS$, e ottieni la forma che hai scritto tu. A questo punto scrivi $dS = v dt$ (definizione di velocità.) Da qui in poi continui usando le informazioni che ti sono state fornite per dimostrare la legge. Fai attenzione che $v \ne v_{\bot} = cos \phi |v| $ dove \phi è l'angolo fra la traiettoria e la perpendicolare nel punto al raggio vettore.
Non serve nemmeno fare questa ipotesi. La seconda legge vale in ogni caso di campo centrale, anche per quelli che non hanno traiettorie chiuse.
Nel primo caso, a meno di un "pezzetto" da tagliare via che è un infinitesimo di ordine superiore, l'area del triangolo è $dA = \frac{1}{2} r^2 d\theta$ (puoi vederlo graficamente). La velocità areolare è $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}$, che è proporzionale al momento angolare, che è conservato.
Nel secondo caso: l'area del triangolo è, sempre a meno di infinitesimi di ordine superiore, $\frac{R_{TS} dS_{\bot}}{2}$ dove $dS_{\bot}$ è la componente ortogonale al raggio vettore di $dS$ (lo spostamento infinitesimo), verifica questo graficamente. Ovviamente hai $dS_{\bot} = \frac{R_{TS}}{|R_{TS}|} \cdot dS$, e ottieni la forma che hai scritto tu. A questo punto scrivi $dS = v dt$ (definizione di velocità.) Da qui in poi continui usando le informazioni che ti sono state fornite per dimostrare la legge. Fai attenzione che $v \ne v_{\bot} = cos \phi |v| $ dove \phi è l'angolo fra la traiettoria e la perpendicolare nel punto al raggio vettore.
Il mio dubbio nasce dal fatto che stiamo parlando sempre in un contesto ellittico.
Non serve nemmeno fare questa ipotesi. La seconda legge vale in ogni caso di campo centrale, anche per quelli che non hanno traiettorie chiuse.
Perfetto, grazie mille ragazzi 
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