Analisi elettrostatica di campo e potenziale
Ciao a tutti, volevo proporvi questo problema tratto da un esame di fisica 2. A causa di alcune mie lacune e mancanze di comprensione nei concetti, mi è difficile immaginare come funzionino i campi elettrici in questo problema.
Allora, abbiamo un campo diretto solo lungo l'asse delle x in una regione di spazio che va da x1=-D/2 a x2=D/2. Il campo elettrico in x=0 è uguale alla costante data E0, il campo elettrico nelle regioni oltre x1 e x2 è anch'esso costante (da trovare) e in questa regione di spazio (credo si riferisca a quella di spessore D) non vi sono distribuzioni superficiali di carica.
Secondo le mie conoscenze, anche in x=0 non dovrebbero esserci cariche poiché il campo è costante, quindi la sua divergenza sarebbe 0. Quindi possiamo schematizzare il problema come quattro regioni dello spazio separate da tre superfici piane illimitate non elettricamente cariche.
Il problema chiede di trovare in tutte le regioni: campo elettrico, distribuzione di carica che genera il campo, potenziale elettrico.
I miei problemi con questo problema partono proprio dalla radice, perché avevo molto intelligentemente cominciato a pensare di poter trovare la distribuzione di carica volumetrica eguagliando la divergenza del campo al flusso del campo elettrico secondo Gauss, ma ciò è possibile solo per superfici chiuse, a meno di non operare qualche modifica che non conosco. Il campo esterno probabilmente sarà generato dalle regioni di spessore D/2, le distinguo perché hanno funzioni diverse. Immaginando queste regioni come una successione di piani carichi, si potrebbe dire che ogni regione genera un campo elettrico uguale all'integrale del campo elettrico di un piano, che è E=σ/2ε. Facendo l'integrale, la formula cambierebbe da σ/2ε a ρ/2ε, quindi la densità superficiale di carica verrebbe sostituita da quella volumetrica. Però io non conosco questa densità; fosse uniforme, il campo all'interno delle regioni sarebbe nullo come nel caso della sfera piena (credo), quindi le cariche devono essere posizionate in punti specifici.
Mi aiutereste a trovare la funzione densità volumetrica? Ammesso e non concesso che abbia avuto le giuste intuizioni...
Allora, abbiamo un campo diretto solo lungo l'asse delle x in una regione di spazio che va da x1=-D/2 a x2=D/2. Il campo elettrico in x=0 è uguale alla costante data E0, il campo elettrico nelle regioni oltre x1 e x2 è anch'esso costante (da trovare) e in questa regione di spazio (credo si riferisca a quella di spessore D) non vi sono distribuzioni superficiali di carica.
Secondo le mie conoscenze, anche in x=0 non dovrebbero esserci cariche poiché il campo è costante, quindi la sua divergenza sarebbe 0. Quindi possiamo schematizzare il problema come quattro regioni dello spazio separate da tre superfici piane illimitate non elettricamente cariche.
Il problema chiede di trovare in tutte le regioni: campo elettrico, distribuzione di carica che genera il campo, potenziale elettrico.
I miei problemi con questo problema partono proprio dalla radice, perché avevo molto intelligentemente cominciato a pensare di poter trovare la distribuzione di carica volumetrica eguagliando la divergenza del campo al flusso del campo elettrico secondo Gauss, ma ciò è possibile solo per superfici chiuse, a meno di non operare qualche modifica che non conosco. Il campo esterno probabilmente sarà generato dalle regioni di spessore D/2, le distinguo perché hanno funzioni diverse. Immaginando queste regioni come una successione di piani carichi, si potrebbe dire che ogni regione genera un campo elettrico uguale all'integrale del campo elettrico di un piano, che è E=σ/2ε. Facendo l'integrale, la formula cambierebbe da σ/2ε a ρ/2ε, quindi la densità superficiale di carica verrebbe sostituita da quella volumetrica. Però io non conosco questa densità; fosse uniforme, il campo all'interno delle regioni sarebbe nullo come nel caso della sfera piena (credo), quindi le cariche devono essere posizionate in punti specifici.
Mi aiutereste a trovare la funzione densità volumetrica? Ammesso e non concesso che abbia avuto le giuste intuizioni...
Risposte
Sarà un problema mio, ma non ho capito quasi niente della situazione.
Che cosa sappiamo? Che c'è un campo elettrico di valore noto in x = 0? O in tutta le regione di spessore D?
E il campo all'esterno? Sappiamo che è costante, ma non il valore?
Poi sappiamo che nella regione di spessore D non ci sono distribuzioni superficiali di carica? All'interno, o anche sui piani che la delimitano?
Altra cosa oscura: parli di QUATTRO regioni? e TRE piani? E quali sarebbero?
Suggerimento: forse è il caso che riporti ESATTAMENTE il testo (e, se c'è una figura, anche quella)
Che cosa sappiamo? Che c'è un campo elettrico di valore noto in x = 0? O in tutta le regione di spessore D?
E il campo all'esterno? Sappiamo che è costante, ma non il valore?
Poi sappiamo che nella regione di spessore D non ci sono distribuzioni superficiali di carica? All'interno, o anche sui piani che la delimitano?
Altra cosa oscura: parli di QUATTRO regioni? e TRE piani? E quali sarebbero?
Suggerimento: forse è il caso che riporti ESATTAMENTE il testo (e, se c'è una figura, anche quella)
Abbiamo quattro regioni separate da tre superfici diverse.
Il campo elettrico nella regione compresa tra \(\displaystyle -D/2 \) e \(\displaystyle +D/2 \) varia in base ad una funzione; l'unico punto all'interno della regione avente campo elettrico costante è \(\displaystyle x=0 \). In questo punto il campo vale \(\displaystyle E_0 \), non ne conosciamo il valore numerico, sappiamo solo che è un campo costante. Proprio perché il punto \(\displaystyle x=0 \) fa da spartiacque, possiamo dividere questa regione in due regioni con campi elettrici diversi. La cosa che le accomuna è che sono due regioni con campi elettrici simmetrici, quindi a distanze uguali dall'origine si avranno campi elettrici di uguale intensità, si evince dalla formula.
All'esterno della regione centrale, quella di spessore D, abbiamo due regioni, una a destra e una a sinistra. Anche in queste regioni il campo elettrico è costante, ma non sappiamo quanto vale, non sappiamo se è \(\displaystyle E_0 \) oppure un qualsiasi altro valore.
Il testo è un po' sibillino riguardo le distribuzioni superficiali di carica, ma credo che possiamo assumere che si riferisca alla regione di spessore D, quindi probabilmente intende dire che le superfici poste in \(\displaystyle x_1=-D/2 \) e \(\displaystyle x_2=+D/2 \) non presentano cariche sulla loro superficie.
Spero di essere stato abbastanza chiaro stavolta, non vorrei creare altri dubbi
Direi che:
il campo è sempre diretto come x, è zero per x = -D/2 e x = +D/2, ha un massimo per x = 0, e, dallo zero al massimo varia linearmente: cresce per x < 0, decresce per x > 0. Il grafico è un triangolo isoscele.
Se consideri delle superfici gaussiane formate da cilindri con asse diretto come x, raggio qualsiasi e altezza (spessore) dx, trovi che il flusso è uscente per x < 0, entrante per x > 0, e dipende solo da dx e non da x, il che significa che la carica contenuta è sempre la stessa, dovunque tu metta il cilindro (fra -D/2 e +D/2): positiva per x < 0, negativa per x > 0.
In definitiva, c'è una densità di carica positiva costante per x < 0 e > -D/2, e negativa dall'altra parte. Sono due lastre, di spessore D/2, uniformemente cariche, più e meno, a contatto.
All'esterno il campo è nullo.
Se non mi sbaglio...
il campo è sempre diretto come x, è zero per x = -D/2 e x = +D/2, ha un massimo per x = 0, e, dallo zero al massimo varia linearmente: cresce per x < 0, decresce per x > 0. Il grafico è un triangolo isoscele.
Se consideri delle superfici gaussiane formate da cilindri con asse diretto come x, raggio qualsiasi e altezza (spessore) dx, trovi che il flusso è uscente per x < 0, entrante per x > 0, e dipende solo da dx e non da x, il che significa che la carica contenuta è sempre la stessa, dovunque tu metta il cilindro (fra -D/2 e +D/2): positiva per x < 0, negativa per x > 0.
In definitiva, c'è una densità di carica positiva costante per x < 0 e > -D/2, e negativa dall'altra parte. Sono due lastre, di spessore D/2, uniformemente cariche, più e meno, a contatto.
All'esterno il campo è nullo.
Se non mi sbaglio...
Come mai il campo all'esterno è nullo? Da cosa lo deduci? Se una lastra è carica positivamente e l'altra è carica negativamente (come del resto avevo intuito dalle funzioni) non dovrebbe esserci un campo elettrico uscente dalla prima lastra ed entrante nella seconda? In questo modo sarebbe diretto da sinistra verso destra.
"Filottete09":
Come mai il campo all'esterno è nullo? Da cosa lo deduci? Se una lastra è carica positivamente e l'altra è carica negativamente non dovrebbe esserci un campo elettrico uscente dalla prima lastra ed entrante nella seconda?
Infatti, fra una e l'altra è così, fra -D/2 e +D/2.
Ma all'esterno no. Una lastra carica, quando ne sei fuori, si comporta come un piano carico, quindi le due lastre, all'esterno, sono come due piani carichi si segno opposto: in ogni punto esterno i campi elettrici prodotti sono uguali e opposti.
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