[Analisi Dimensionale] Impostare esercizi
Essendo proprio alle prime armi in fisica ho bisogno di capire bene come si possono impostare dei problemi di analisi dimensionale
ad esempio trovare da quali grandezze dipende il periodo di oscillazione del pendolo oppure da quali parametri dipende la gittata di un proiettile
Help!
ad esempio trovare da quali grandezze dipende il periodo di oscillazione del pendolo oppure da quali parametri dipende la gittata di un proiettile
Help!
Risposte
Per fare l'analisi dimensionale, scrivi l'unità di misura della grandezza che vuoi considerare e poi scomponila fino ad ottenere un'espressione che contenga solo le 7 unità fondamentali del SI.
In alternativa puoi partire da una formula, ad esempio per la forza $F=m a$ e sostituisci le unità di misura della massa e dell'accelerazione, e poi procedi come ti ho detto.
In alternativa puoi partire da una formula, ad esempio per la forza $F=m a$ e sostituisci le unità di misura della massa e dell'accelerazione, e poi procedi come ti ho detto.
allora per il periodo di oscillazione del pendolo, dipenderà dalla lunghezza del pendolo dalla sua massa e dall'accellerazione.
Quindi $L$ $M$ $A$(F/M)
passo successivo?
Quindi $L$ $M$ $A$(F/M)
passo successivo?
Dopo aver sostituito ad ogni grandezza la sua unità di misura, applica le definizioni delle varie unità di misura fino ad ottenere solo le 7 fondamentali.
quindi
$L=>cm$
$M=>kg$
$A=>(m)/s^2$
giusto?
$L=>cm$
$M=>kg$
$A=>(m)/s^2$
giusto?
Non usare i centimetri: le lunghezze si misurano in metri!
Per il resto va bene, ora metti tutto insieme
Per il resto va bene, ora metti tutto insieme
in pratica finisce così l'esercizio?
No, ora scrivi la formula del periodo del pendolo e sostituisci ad ogni grandezza la sua unità di misura.
la formula è un prodotto delle grandezze?
quindi sarebbe
$T=L*M*A$
$T=m*kg*m/s^2$
quindi sarebbe
$T=L*M*A$
$T=m*kg*m/s^2$
In realtà così non si capisce nulla sulla finalità dell'analisi dimensionale...
Provo a scrivere qualcosa in proposito, spero riuscirai a seguirmi, non sono concetti che richiedono grandi conoscenze , ma sono difficili da digerire all'inizio. Spero comunque di darti qualche stimolo e qualche input.
L'analisi dimensionale è utile soprattutto per rendere una relazione tra grandezze fisiche indipendente da effetti scala. Questo è fondamentale nel caso le relazioni esatte tra le variabili non si conoscono e nel caso in cui si vogliono fare degli esperimenti da cui estrarre informazioni generali.
Per esempio supponiamo di non conoscere la relazione che lega il periodo del pendolo all'accelerazione di gravità e alla lunghezza del filo e facciamo una serie di esperimenti con pendoli di varie lunghezze e sottoposti sempre all'accelerazione di gravità.
Adesso chiediamoci cosa succede se la lunghezza del pendolo raddoppia, o se la gravità diventa quattro volte più alta. Come possiamo usare i risultati dei precedenti esperimenti?
Oppure, esempio più pratico, voglio sapere che forza resistente avrà un auto in funzione della velocità, allora costruisco un modellino in scala dell'auto e misuro la forza resistente, in funzione dalla velocità, come deduco la relazione sull'auto reale?
Alla base dell'analisi dimensionale c'è il cosiddetto teorema di Buckingam che detto in parole semplici stabilisce che se una relazione dimensionale dipende da $N$ grandezze e se queste grandezze possono essere scritte come combinazione di $K$ grandezze fondamentali allora è possibile scrivere una relazione che coinvolge solo $N-K$ variabili adimensionali.
Facciamo l'esempio del pendolo. Suppongo che esiste una relazione che lega il suo periodo $T$ a $L$, $g$ $m$ (rispettivamente lunghezza pendolo, accelerazione di gravità e massa).
Quindi
$T=f(L, g, m)$,
oppure in maniera equivalente
$F(T, L, m,g)=0$
Abbiamo 4 variabili che possono essere espresse tutte come combinazione di 3 grandezze fondamentali: lunghezza, massa e tempo pertanto esiste una relazione tra le variabili che coinvolge una sola variabile adimensionale.
Per scrivere questa variabile adimensionale basta osservare che l'unica variabile che non è espressa in funzione delle grandezze fondamentali è la $g$ che può essere però adimensionalizzata dividendola per $L T^(-2)$, cioè per la lunghezza del pendolo per il quadrato del periodo.
Per cui la grandezza adimensionale è $g/(L T^(-2))$ e la relazione adimensionale sarà una funzione generica
$G(g/(L T^(-2)))=0$
l'importanza di questa relazione sta nel fatto che anche se non conosco la $G$ so che esperimenti che hanno lo stesso valore della variabile adimensionale $g/(L T^(-2))$ hanno lo stesso valore di $G$ quindi se sperimentalmente mi costruisco la curva di $G$ al variare del parametro adimensionale, posso utilizzarla per estrarre dei risultati anche per esperimenti che non ho fatto.
Per esempio supponiamo che trovo per la $G$ un'espressione (che è quella corretta come sappiamo dall'equazione del pendolo)
$g /(L T^(-2)) - 4 pi^2=0$
A questo punto conoscendo $L$ e $g$ sono in grado di determinare il periodo del pendolo anche se un pendolo con quella lunghezza non l'ho mai testato. Oppure so che se la gravità fosse quattro volte $g$ il periodo di un pendolo della medesima lunghezza sarebbe la metà.
Esperimenti con gli stessi valori per le grandezze adimensionali si dicono "in similitudine".
Questo esempio è utile per capire, ma ovviamente, conoscendo per il pendolo la relazione analitica, è di fatto inutile dal punto di vista pratico, quindi torniamo all'esempio del modellino di auto.
Suppongo che la forza di resistenza $R$ dipenda dalle dimensioni del corpo come lunghezza, altezza, spessore e tutte le dimensioni geometriche che chiamo rispettivamente $L_0$, $L_1$, $L_2$, ...$L_m$, dalla velocità dell'auto $U$, dalla densità dell'aria $rho$ e dalla sua viscosità $mu$.
Quindi $F(R,L_0,L_1,..L_m, U,rho,mu)=0$
ho in questo caso $M+5$ variabili che possono essere espresse tutte come funzione di sole 3 grandezze fondamentali: lunghezza, velocità e densità (posso scegliere quelle che voglio basta che siano indipendenti per esempio non ha senso scegliere densità massa e lunghezza perché la massa posso esprimerla in funzione di densità e lunghezza).
Avrò quindi $5+M-3=2+M$ gruppi adimensionali.
Con un ragionamento simile a prima e ricordando le unità di misura delle grandezze coinvolte trovo che i gruppi adimensionali sono:
$R/(rho U^2 L^2)$, $mu/(U L rho)$, $L_1/L_0$, $L_2/L_0$ ..$L_m/L_0$
Il primo gruppo adimensionale di solito si chiama coefficiente di resistenza $c_d$ (in realtà si moltiplica per due per motivi di comodità che adesso non sono importanti) mentre l'inverso del secondo si chiama numero di Reynolds $Re$. Ovviamente prendere l'inverso di un gruppo adimensionale o dividerlo per una quantità non cambia nulla per cui per la $G$ otteniamo.
$G(c_d,Re,L_1/L_0,L_2/L_0,...L_m/L_0)=0$
osserviamo che se ho il modello in scala della mia auto so già che i vari rapporti $L_i/L_0$ sono sempre tutti uguali per i miei esperimenti quindi posso scrivere semplicemente:
$G(c_d,Re)=0$
Questa volta la curva di $G$ è molto più complessa, ma non importa. La cosa importante che so è che è funzione solo di $Re$ e $c_d$.
Per cui se sul modellino misuro un certo $Re$ e un certo $c_d$ lo stesso avrei sull'auto vera.
Quindi se per esempio l'auto è 8 volte più grande devo mantenere lo stesso Re e lo stesso $c_d$ per cui in scala reale la velocità dell'aria corrispondente sarà 8 volte più piccola e la forza sull'auto sarà la stessa per avere rispettivamente lo stesso $Re$ e lo stesso $c_d$.
Questo tra l'altro spiega anche perché i modellini in scala costino parecchio: devono essere fedeli in scala all'originale ma devono essere in grado di sopportare le medesime forze dei corpi in scala reale, quindi pressioni molto maggiori (in questo esempio la pressione massima dell'aria sul modellino sarebbe 64 volte più grande rispetto a quella dell'auto vera!)
EDIT: Corretta svista (inessenziale) nella definizione del $c_d$.
Provo a scrivere qualcosa in proposito, spero riuscirai a seguirmi, non sono concetti che richiedono grandi conoscenze , ma sono difficili da digerire all'inizio. Spero comunque di darti qualche stimolo e qualche input.
L'analisi dimensionale è utile soprattutto per rendere una relazione tra grandezze fisiche indipendente da effetti scala. Questo è fondamentale nel caso le relazioni esatte tra le variabili non si conoscono e nel caso in cui si vogliono fare degli esperimenti da cui estrarre informazioni generali.
Per esempio supponiamo di non conoscere la relazione che lega il periodo del pendolo all'accelerazione di gravità e alla lunghezza del filo e facciamo una serie di esperimenti con pendoli di varie lunghezze e sottoposti sempre all'accelerazione di gravità.
Adesso chiediamoci cosa succede se la lunghezza del pendolo raddoppia, o se la gravità diventa quattro volte più alta. Come possiamo usare i risultati dei precedenti esperimenti?
Oppure, esempio più pratico, voglio sapere che forza resistente avrà un auto in funzione della velocità, allora costruisco un modellino in scala dell'auto e misuro la forza resistente, in funzione dalla velocità, come deduco la relazione sull'auto reale?
Alla base dell'analisi dimensionale c'è il cosiddetto teorema di Buckingam che detto in parole semplici stabilisce che se una relazione dimensionale dipende da $N$ grandezze e se queste grandezze possono essere scritte come combinazione di $K$ grandezze fondamentali allora è possibile scrivere una relazione che coinvolge solo $N-K$ variabili adimensionali.
Facciamo l'esempio del pendolo. Suppongo che esiste una relazione che lega il suo periodo $T$ a $L$, $g$ $m$ (rispettivamente lunghezza pendolo, accelerazione di gravità e massa).
Quindi
$T=f(L, g, m)$,
oppure in maniera equivalente
$F(T, L, m,g)=0$
Abbiamo 4 variabili che possono essere espresse tutte come combinazione di 3 grandezze fondamentali: lunghezza, massa e tempo pertanto esiste una relazione tra le variabili che coinvolge una sola variabile adimensionale.
Per scrivere questa variabile adimensionale basta osservare che l'unica variabile che non è espressa in funzione delle grandezze fondamentali è la $g$ che può essere però adimensionalizzata dividendola per $L T^(-2)$, cioè per la lunghezza del pendolo per il quadrato del periodo.
Per cui la grandezza adimensionale è $g/(L T^(-2))$ e la relazione adimensionale sarà una funzione generica
$G(g/(L T^(-2)))=0$
l'importanza di questa relazione sta nel fatto che anche se non conosco la $G$ so che esperimenti che hanno lo stesso valore della variabile adimensionale $g/(L T^(-2))$ hanno lo stesso valore di $G$ quindi se sperimentalmente mi costruisco la curva di $G$ al variare del parametro adimensionale, posso utilizzarla per estrarre dei risultati anche per esperimenti che non ho fatto.
Per esempio supponiamo che trovo per la $G$ un'espressione (che è quella corretta come sappiamo dall'equazione del pendolo)
$g /(L T^(-2)) - 4 pi^2=0$
A questo punto conoscendo $L$ e $g$ sono in grado di determinare il periodo del pendolo anche se un pendolo con quella lunghezza non l'ho mai testato. Oppure so che se la gravità fosse quattro volte $g$ il periodo di un pendolo della medesima lunghezza sarebbe la metà.
Esperimenti con gli stessi valori per le grandezze adimensionali si dicono "in similitudine".
Questo esempio è utile per capire, ma ovviamente, conoscendo per il pendolo la relazione analitica, è di fatto inutile dal punto di vista pratico, quindi torniamo all'esempio del modellino di auto.
Suppongo che la forza di resistenza $R$ dipenda dalle dimensioni del corpo come lunghezza, altezza, spessore e tutte le dimensioni geometriche che chiamo rispettivamente $L_0$, $L_1$, $L_2$, ...$L_m$, dalla velocità dell'auto $U$, dalla densità dell'aria $rho$ e dalla sua viscosità $mu$.
Quindi $F(R,L_0,L_1,..L_m, U,rho,mu)=0$
ho in questo caso $M+5$ variabili che possono essere espresse tutte come funzione di sole 3 grandezze fondamentali: lunghezza, velocità e densità (posso scegliere quelle che voglio basta che siano indipendenti per esempio non ha senso scegliere densità massa e lunghezza perché la massa posso esprimerla in funzione di densità e lunghezza).
Avrò quindi $5+M-3=2+M$ gruppi adimensionali.
Con un ragionamento simile a prima e ricordando le unità di misura delle grandezze coinvolte trovo che i gruppi adimensionali sono:
$R/(rho U^2 L^2)$, $mu/(U L rho)$, $L_1/L_0$, $L_2/L_0$ ..$L_m/L_0$
Il primo gruppo adimensionale di solito si chiama coefficiente di resistenza $c_d$ (in realtà si moltiplica per due per motivi di comodità che adesso non sono importanti) mentre l'inverso del secondo si chiama numero di Reynolds $Re$. Ovviamente prendere l'inverso di un gruppo adimensionale o dividerlo per una quantità non cambia nulla per cui per la $G$ otteniamo.
$G(c_d,Re,L_1/L_0,L_2/L_0,...L_m/L_0)=0$
osserviamo che se ho il modello in scala della mia auto so già che i vari rapporti $L_i/L_0$ sono sempre tutti uguali per i miei esperimenti quindi posso scrivere semplicemente:
$G(c_d,Re)=0$
Questa volta la curva di $G$ è molto più complessa, ma non importa. La cosa importante che so è che è funzione solo di $Re$ e $c_d$.
Per cui se sul modellino misuro un certo $Re$ e un certo $c_d$ lo stesso avrei sull'auto vera.
Quindi se per esempio l'auto è 8 volte più grande devo mantenere lo stesso Re e lo stesso $c_d$ per cui in scala reale la velocità dell'aria corrispondente sarà 8 volte più piccola e la forza sull'auto sarà la stessa per avere rispettivamente lo stesso $Re$ e lo stesso $c_d$.
Questo tra l'altro spiega anche perché i modellini in scala costino parecchio: devono essere fedeli in scala all'originale ma devono essere in grado di sopportare le medesime forze dei corpi in scala reale, quindi pressioni molto maggiori (in questo esempio la pressione massima dell'aria sul modellino sarebbe 64 volte più grande rispetto a quella dell'auto vera!)
EDIT: Corretta svista (inessenziale) nella definizione del $c_d$.
Wow, non è assolutamente quello che intendevo per "analisi dimensionale", credevo che stesse chiedendo un'altra cosa! XD
Ovviamente chiedo scusa per questo
Ovviamente chiedo scusa per questo
Vediamo se ho capito,
si parte da un problema e lo si vuole formalizzare così da avere una formula che né contempli le variabili, in modo tale da poter vedere il comportamento del fenomeno che si sta osservando al mutare delle variabili.
Il primo passo è vedere quali variabili sono coinvolte nel fenomeno, una volta trovate si riscrivono le grandezze adimensionali (cioè quelle che non è possibile descrivere in funzione delle 3 fondamentali) in una relazione adimensionale che è una funzione generica e le altre grandezze come combinazione delle 3 grandezze principali (Massa Lunghezza Tempo).
Se quello che ho scritto è corretto, come riconoscere una grandezza adimensionale e come trovare una formula generica che permetta di scrivere tale grandezza in funzione delle 3 principali?
si parte da un problema e lo si vuole formalizzare così da avere una formula che né contempli le variabili, in modo tale da poter vedere il comportamento del fenomeno che si sta osservando al mutare delle variabili.
Il primo passo è vedere quali variabili sono coinvolte nel fenomeno, una volta trovate si riscrivono le grandezze adimensionali (cioè quelle che non è possibile descrivere in funzione delle 3 fondamentali) in una relazione adimensionale che è una funzione generica e le altre grandezze come combinazione delle 3 grandezze principali (Massa Lunghezza Tempo).
Se quello che ho scritto è corretto, come riconoscere una grandezza adimensionale e come trovare una formula generica che permetta di scrivere tale grandezza in funzione delle 3 principali?
Sì quello che dici è corretto.
Le grandezze adimensionali le scrivi una volta che hai scelto le grandezze fondamentali, (ovviamente tra queste conviene scegliere quelle che supponi regolano il fenomeno che stai osservando, nel secondo esempio che ho fatto infatti ho scelto densità, velocità e lunghezza non a caso....) adimensionalizzando le altre. Per adimensionalizzare basta considerare le unità di misura della grandezza che vuoi esprimere in funzione delle grandezze fondamentali e scrivere un sistema (a volte è banale e non è necessario).
Per esempio per la forza del secondo esempio:
$[R]= [M] [L][T]^(-2) = [L]^a ^b [rho]^c$
tutto sta nel trovare $a$ $b$ e $c$ ma questo è immediato se scrivo
$[M][L][T]^(-2)=[L]^a [L/T]^b[M/L^3]^c$
viene fuori un sistema:
$c=1$ per la relazione su $M$
$a+b-3c=1$ per la relazione su $L$
$b=2$ per la relazione su $T$.
Da cui
$c=1$ $b=2$ $a=2$
Quindi il gruppo adimensionale che coinvolge $R$ è $R/(L^2 U^2 rho)$.
La cosa da cui nasce tutto se vuoi è ovvia e intuitiva: in fisica le relazioni devono essere congruenti con le unità di misura. Quindi è ovvio che una relazione tra grandezze con diverse unità di misura deve presentare dei rapporti tra variabili che esprimano grandezze adimensionali che regolano tutto. Ma da questa considerazione come hai visto con gli esempi ne esce fuori uno strumento molto potente per fisici e ingegneri...
Come si scelgono le variabili che regolano un fenomeno? Be' questo si basa sulla conoscenza che ho del fenomeno stesso, da quello che mi aspetto e da quello che osservo, non ci sono regole.
Per esempio per il pendolo osservo che la lunghezza ha influenza sul periodo, poi immagino che la gravità deve influenzare il fenomeno, magari penso che anche la massa conta, in realtà poi vedo che non entra la massa nella variabile adimensionale che risulta, quindi mi accorgo che la massa non incide, almeno se le variabili che contano sono quelle che ho considerato.
ps: Nel secondo esempio infatti ho un po' barato... in realtà un altra grandezza che incide sul fenomeno ci sarebbe... se la velocità infatti è molto alta la densità dell'aria non è più costante e quindi entrerebbe anche la comprimibilità dell'aria che farebbe venir fuori un altro numero adimensionale: il numero di Mach, rapporto tra velocità e velocità del suono nel mezzo, ma per un auto in realtà gli effetti di comprimibilità sono trascurabili.
EDIT: Ho visto che parli di 3 grandezze fondamentali, occhio che il numero delle grandezze fondamentali non è fisso ovviamente.
Le grandezze adimensionali le scrivi una volta che hai scelto le grandezze fondamentali, (ovviamente tra queste conviene scegliere quelle che supponi regolano il fenomeno che stai osservando, nel secondo esempio che ho fatto infatti ho scelto densità, velocità e lunghezza non a caso....) adimensionalizzando le altre. Per adimensionalizzare basta considerare le unità di misura della grandezza che vuoi esprimere in funzione delle grandezze fondamentali e scrivere un sistema (a volte è banale e non è necessario).
Per esempio per la forza del secondo esempio:
$[R]= [M] [L][T]^(-2) = [L]^a ^b [rho]^c$
tutto sta nel trovare $a$ $b$ e $c$ ma questo è immediato se scrivo
$[M][L][T]^(-2)=[L]^a [L/T]^b[M/L^3]^c$
viene fuori un sistema:
$c=1$ per la relazione su $M$
$a+b-3c=1$ per la relazione su $L$
$b=2$ per la relazione su $T$.
Da cui
$c=1$ $b=2$ $a=2$
Quindi il gruppo adimensionale che coinvolge $R$ è $R/(L^2 U^2 rho)$.
La cosa da cui nasce tutto se vuoi è ovvia e intuitiva: in fisica le relazioni devono essere congruenti con le unità di misura. Quindi è ovvio che una relazione tra grandezze con diverse unità di misura deve presentare dei rapporti tra variabili che esprimano grandezze adimensionali che regolano tutto. Ma da questa considerazione come hai visto con gli esempi ne esce fuori uno strumento molto potente per fisici e ingegneri...
Come si scelgono le variabili che regolano un fenomeno? Be' questo si basa sulla conoscenza che ho del fenomeno stesso, da quello che mi aspetto e da quello che osservo, non ci sono regole.
Per esempio per il pendolo osservo che la lunghezza ha influenza sul periodo, poi immagino che la gravità deve influenzare il fenomeno, magari penso che anche la massa conta, in realtà poi vedo che non entra la massa nella variabile adimensionale che risulta, quindi mi accorgo che la massa non incide, almeno se le variabili che contano sono quelle che ho considerato.
ps: Nel secondo esempio infatti ho un po' barato... in realtà un altra grandezza che incide sul fenomeno ci sarebbe... se la velocità infatti è molto alta la densità dell'aria non è più costante e quindi entrerebbe anche la comprimibilità dell'aria che farebbe venir fuori un altro numero adimensionale: il numero di Mach, rapporto tra velocità e velocità del suono nel mezzo, ma per un auto in realtà gli effetti di comprimibilità sono trascurabili.
EDIT: Ho visto che parli di 3 grandezze fondamentali, occhio che il numero delle grandezze fondamentali non è fisso ovviamente.
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