Analisi complessa -> th. integrale Cauchy
Ciao!
In fisica, tilizzando la funzione di risposta G, relativamente ad uno stimolo, abbiamo utilizzato il th. di Cauchy scrivendo la risposta come \(\displaystyle G(\omega)=\frac{1}{i\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{G(\omega ')d\omega '}{\omega ' - \omega} \)
Rispetto a quello che dice il teorema http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_integrale_di_Cauchy, volevo chidere perché elimino l' 1/2 e compare P?
Grazie
In fisica, tilizzando la funzione di risposta G, relativamente ad uno stimolo, abbiamo utilizzato il th. di Cauchy scrivendo la risposta come \(\displaystyle G(\omega)=\frac{1}{i\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{G(\omega ')d\omega '}{\omega ' - \omega} \)
Rispetto a quello che dice il teorema http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_integrale_di_Cauchy, volevo chidere perché elimino l' 1/2 e compare P?
Grazie
Risposte
$P$ potrebbe stare per valore principale... Puoi descrivere il tuo problema facendo qualche passo indietro, spiegando
chi è $G$?
In ogni caso, per il momento, sposto in Fisica.
chi è $G$?
In ogni caso, per il momento, sposto in Fisica.
"*Ely":
Rispetto a quello che dice il teorema http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_integrale_di_Cauchy, volevo chidere perché elimino l' 1/2 e compare P?
$P$ sta per valore principale (a scanso di equivoci, e' questo.
Il fatto che "scompaia" il fattore [tex]\frac{1}{2}[/tex] e' dovuto essenzialmente alle proprieta' di analiticita' di $G$, e al suo andamento all'infinito nel semipiano superiore:
[tex]0 = \oint_\gamma d\omega' \frac{G(\omega')}{\omega-\omega'}[/tex]
laddove $\gamma$ non racchiude $\omega$. Tipicamente si prende per $\gamma$ un contorno composto da un semicerchio di raggio "grande" (che verra' mandato all'infinito) nel semipiano superiore con centro in $\omega$, un semicerchio concentrico nello stesso semipiano di raggio "piccolo" (che verra' mandato a $0$), e i due segmenti dell'asse reale che congiungono i due semicerchi (sarebbe stato piu' facile con un disegno...).
Quando mandi il semicerchio grande all'infinito, poiche' l'integrando si annulla abbastanza in fretta (piu' di [tex]\frac{1}{|\omega|}[/tex]) quel termine non contribuisce, l'integrale sui segmenti dell'asse reale diventano il valore principale di Cauchy dell'integrale, e l'integrale sul cerchiettino, visto che il polo dell'integrando e' semplice ($G$ e' analitica li') e', come si dice spesso nei corsi di fisica, "mezzo residuo"
[tex]0 = \mathcal{P} \int d\omega' \frac{G(\omega')}{\omega-\omega'} + \frac{1}{2} (-2\pi i G(\omega))[/tex]
che se non ho sbagliato segni dovrebbe essere quello che riporti tu.
Direi di sì. Grazie mille! 
Per rispondere anche a Seneca, la \(\displaystyle \omega \) è una funzione complessa così definita: \(\displaystyle \omega = \omega_1 + i\omega_2 \) perciò si ottiene:
\(\displaystyle G(\omega) = \int G(t-t') e^{i\omega_1(t-t')} e^{-\omega_2(t-t')} dt' \)
(sono passata dalla G(t-t') alla G(\(\displaystyle \omega \)) con la trasformata di Fourier).
A questo punto ho appuntato che il primo esponenziale è limitato su tutte le frequenze (perché?); mentre il secondo è limitato sul semipiano superiore/inferiore a seconda che (t-t') sia rispettivamente >0 / <0 con \(\displaystyle \omega_2 >0\).
Dunque, dato che G (la funzione risposta), per la causalità, è nulla per tempi antecedenti allo stimolo (t-t'<0 dove t è il tempo generico e t' è il tempo dello stimolo), si analizza il semipiano superiore.
Da qui continua, come iniziavo il post, con l'applicazione del teorema di Cauchy e quindi con \(\displaystyle G(\omega) \) che diventa
\(\displaystyle G(\omega) = \frac{1}{i\pi} P \int _{-\infty} ^{+\infty} \frac{G(\omega ') d\omega '}{\omega ' - \omega}\)
Ely
Per rispondere anche a Seneca, la \(\displaystyle \omega \) è una funzione complessa così definita: \(\displaystyle \omega = \omega_1 + i\omega_2 \) perciò si ottiene:
\(\displaystyle G(\omega) = \int G(t-t') e^{i\omega_1(t-t')} e^{-\omega_2(t-t')} dt' \)
(sono passata dalla G(t-t') alla G(\(\displaystyle \omega \)) con la trasformata di Fourier).
A questo punto ho appuntato che il primo esponenziale è limitato su tutte le frequenze (perché?); mentre il secondo è limitato sul semipiano superiore/inferiore a seconda che (t-t') sia rispettivamente >0 / <0 con \(\displaystyle \omega_2 >0\).
Dunque, dato che G (la funzione risposta), per la causalità, è nulla per tempi antecedenti allo stimolo (t-t'<0 dove t è il tempo generico e t' è il tempo dello stimolo), si analizza il semipiano superiore.
Da qui continua, come iniziavo il post, con l'applicazione del teorema di Cauchy e quindi con \(\displaystyle G(\omega) \) che diventa
\(\displaystyle G(\omega) = \frac{1}{i\pi} P \int _{-\infty} ^{+\infty} \frac{G(\omega ') d\omega '}{\omega ' - \omega}\)
Ely
"*Ely":
A questo punto ho appuntato che il primo esponenziale è limitato su tutte le frequenze (perché?);
Perche' e' di argomento immaginario puro ($\omega_1$ e' reale).
mentre il secondo è limitato sul semipiano superiore/inferiore a seconda che (t-t') sia rispettivamente >0 / <0 con \(\displaystyle \omega_2 >0\).
Aspetta, qui e' detto in maniera un po' confusa: io direi che se $t>t'$ (il caso ritardato) allora $\omega_2$ deve essere positivo, per cui $\omega$ deve essere nel semipiano superiore. Per questo il comportamento all'infinito della trasformata e' collegato con la causalita' della funzione di Green (o di risposta che dir si voglia), come dici correttamente dopo.
Nel caso anticipato ($t
Va bene. Grazie!
Ely
Ely
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