Amnesia di meccanica razionale
è da un bel po' di tempo che ho dato questo esame, perciò mi trovo un po' arrugginito.
ho questo semplicissimo problema che non riesco a risolvere e vi sarei grato se mi correggeste.
siamo in $RR^3$, con i soliti assi coordinati $x,y,z$.
una barra ha un angolo $alpha$ costante con l'asse $z$ e ruota intorno a tale asse alla velocità angolare $omega$.
un punto di massa $m$ e soggetto alla forza peso è vincolato su tale barra.
il punto è soggetto ad una forza di richiamo elastica di constante $k$ verso l'origine.
il mio svolgimento è il seguente:
le coordinate sferiche di un punto sulla barra saranno
$r=|(x,y,z)|
$x=r sin alpha quad cos phi
$y=r sin alpha quad sin phi
$z=r cos alpha
la velocità del punto è perciò $v=r(-sin alpha quad cos phi,sin alpha quad sin phi,0) dot(phi) + dot(r) (sin alpha quad cos phi,sin alpha quad sin phi,cos alpha).
l'energia cinetica è $T= frac(m)(2)(r^2 sin^2 alpha+dot(r)^2).
la risultante delle forze sul vincolo è $f=-kr-mg cos alpha$ e quindi ammette il potenziale $U=frac(k)(2)r^2+mg cos alpha quad r$ (dopo aver posto $U(0)=0$).
la lagrangiana è $L=frac(m)(2)(sin^2 alpha quad r^2 dot(phi)^2 +dot(r)^2) - frac(k)(2)r^2-mg cos alpha quad r= L(r,dot(r),dot(phi)).
dato che non c'è dipendenza esplicita in $phi$ nella lagrangiana si conserva l'impulso relativo a $phi$ ovvero $p_(phi):=frac(partial L)(partial dot(phi))=m quad sin^2 alpha quad r^2 dot(phi) = m quad sin^2 alpha quad r^2 omega = $cost.
a questo punto $r=sqrt(frac(p_(phi))(m quad sin^2 alpha omega))=$ costante.
e ciò è ovviamente sbagliato.
mi fareste un grosso favore a dirmi dove ho sbagliato.
grazie.
EDIT: mi ero scordato un ^2.
ho questo semplicissimo problema che non riesco a risolvere e vi sarei grato se mi correggeste.
siamo in $RR^3$, con i soliti assi coordinati $x,y,z$.
una barra ha un angolo $alpha$ costante con l'asse $z$ e ruota intorno a tale asse alla velocità angolare $omega$.
un punto di massa $m$ e soggetto alla forza peso è vincolato su tale barra.
il punto è soggetto ad una forza di richiamo elastica di constante $k$ verso l'origine.
il mio svolgimento è il seguente:
le coordinate sferiche di un punto sulla barra saranno
$r=|(x,y,z)|
$x=r sin alpha quad cos phi
$y=r sin alpha quad sin phi
$z=r cos alpha
la velocità del punto è perciò $v=r(-sin alpha quad cos phi,sin alpha quad sin phi,0) dot(phi) + dot(r) (sin alpha quad cos phi,sin alpha quad sin phi,cos alpha).
l'energia cinetica è $T= frac(m)(2)(r^2 sin^2 alpha+dot(r)^2).
la risultante delle forze sul vincolo è $f=-kr-mg cos alpha$ e quindi ammette il potenziale $U=frac(k)(2)r^2+mg cos alpha quad r$ (dopo aver posto $U(0)=0$).
la lagrangiana è $L=frac(m)(2)(sin^2 alpha quad r^2 dot(phi)^2 +dot(r)^2) - frac(k)(2)r^2-mg cos alpha quad r= L(r,dot(r),dot(phi)).
dato che non c'è dipendenza esplicita in $phi$ nella lagrangiana si conserva l'impulso relativo a $phi$ ovvero $p_(phi):=frac(partial L)(partial dot(phi))=m quad sin^2 alpha quad r^2 dot(phi) = m quad sin^2 alpha quad r^2 omega = $cost.
a questo punto $r=sqrt(frac(p_(phi))(m quad sin^2 alpha omega))=$ costante.
e ciò è ovviamente sbagliato.
mi fareste un grosso favore a dirmi dove ho sbagliato.
grazie.
EDIT: mi ero scordato un ^2.
Risposte
prendendo $z=rcosalpha$ essendo r il modulo del vettore e alfa costante si vede da qua che z non può assumere valori negativi (o positivi dipende da $alpha$). insomma mi sa che devi rivedere le coordinate lagrangiane. mi sono alzato da poco potrei aver detto una stupidaggine, continuerò a pensarci su comunque 
da come lo usi nella forza ho capito che sto r è un'ascissa curvilinea, a parte questo io ho provato a farmi due conti e mi pare che l'energia cinetica non è corretta
forse sono più brutale ma mi piace scrivere così la velocità:
$vecv=(dot(r)sin alpha cos phi - rdot(phi)sin alpha sin phi, dot(r)sin alpha sin phi + rdot(phi)sin alpha cos phi, dot(r)cos phi)$ quindi
$|vecv|^2=(dot(r)sin alpha cos phi - rdot(phi)sin alpha sin phi)^2+(dot(r)sin alpha sin phi + rdot(phi)sin alpha cos phi)^2+dot(r)^2cos^2phi=$
$=dot(r)^2sin^2alphacos^2phi+r^2dot(phi)^2sin^2alphasin^2phi-2rdot(r)sin^2alphacosphisinphi+$
$+dot(r)^2sin^2alphasin^2phi+r^2dot(phi)^2sin^2alphacos^2phi+2rdot(r)sin^2alphacosphisinphi+dot(r)^2cos^2phi=$
$=dot(r)^2sin^2alpha+r^2dot(phi)^2sin^2alpha+dot(r)^2cos^2phi$
quindi $T=m/2(dot(r)^2sin^2alpha+r^2dot(phi)^2sin^2alpha+dot(r)^2cos^2phi)$
questi sono i miei conti a te verificarli
forse sono più brutale ma mi piace scrivere così la velocità:
$vecv=(dot(r)sin alpha cos phi - rdot(phi)sin alpha sin phi, dot(r)sin alpha sin phi + rdot(phi)sin alpha cos phi, dot(r)cos phi)$ quindi
$|vecv|^2=(dot(r)sin alpha cos phi - rdot(phi)sin alpha sin phi)^2+(dot(r)sin alpha sin phi + rdot(phi)sin alpha cos phi)^2+dot(r)^2cos^2phi=$
$=dot(r)^2sin^2alphacos^2phi+r^2dot(phi)^2sin^2alphasin^2phi-2rdot(r)sin^2alphacosphisinphi+$
$+dot(r)^2sin^2alphasin^2phi+r^2dot(phi)^2sin^2alphacos^2phi+2rdot(r)sin^2alphacosphisinphi+dot(r)^2cos^2phi=$
$=dot(r)^2sin^2alpha+r^2dot(phi)^2sin^2alpha+dot(r)^2cos^2phi$
quindi $T=m/2(dot(r)^2sin^2alpha+r^2dot(phi)^2sin^2alpha+dot(r)^2cos^2phi)$
questi sono i miei conti a te verificarli
A parte gli errori di calcolo non hai considerato che $phi$ non è una coordinata lagrangiana , ovvero $phi(t)$ è una funzione nota ... Il sistema ha un solo grado di libertà $r$
"rubik":
forse sono più brutale ma mi piace scrivere così la velocità:
$vecv=(dot(r)sin alpha cos phi - rdot(phi)sin alpha sin phi, dot(r)sin alpha sin phi + rdot(phi)sin alpha cos phi, dot(r)cos phi)$
è vero, ho copiato male un $cos$ e un $sin$. comunque mi sa che hai sbagliato una cosa: l'argomento del coseno della terza componente della velocità è $alpha$ non $phi$, se non sbaglio.
"nnsoxke":
A parte gli errori di calcolo non hai considerato che $phi$ non è una coordinata lagrangiana , ovvero $phi(t)$ è una funzione nota ... Il sistema ha un solo grado di libertà $r$
il considerarlo una coordinata lagrangiana e sostituire poi $dotphi=omega$ non è uguale?
mi sembra che se il moto rotatorio dell'asta non fosse noto, e quindi $phi$ fosse una coordinata, il mio svolgimento sarebbe sbagliato lo stesso.
vero errore di trascrizione 
altra perplessità: dato che il punto può passare per l'origine è sbagliato usare coordinate sferiche?
quali dovrei usare allora?
quali dovrei usare allora?
La mia perplessità è che non hai assolutamente detto cosa vuoi ottenere... Inoltre, sarà, ma scomodare Lagrange per un problema del genere, mi sembra eccessivo, se è come penso basta usare una equazione cardinale di traslazione ed è fatto il gioco... ma evidentemente avrò frainteso il problema...
lo scopo è lo studio del sistema mediante le equazioni di lagrange.
non mi interessa ad ora il modo più veloce, ma esercitarmi nell'uso di questi strumenti.
dato che ho dei dubbi vuol dire che non li padroneggio, e vorrei cercare di risolvere questi dubbi.
non mi interessa ad ora il modo più veloce, ma esercitarmi nell'uso di questi strumenti.
dato che ho dei dubbi vuol dire che non li padroneggio, e vorrei cercare di risolvere questi dubbi.
Il motivo è essenzialmente quello indicato da nnsoxke.
Considerala da un altro punto di vista, più vicino al corso di Fisica 1: in effetti il momento $p_{\phi}=mr^2\dot{\phi}sin^2\alpha$ si conserva, e questo stabilisce una relazione tra $r$ e $\dot{\phi}$. Quindi $\dot{phi}$ non può essere una costante arbitraria, a meno che non intervenga una causa esterna che la mantenga tale, per esempio un motore che esercita la propria azione tramite il vincolo. Tuttavia questi fattori non sono compresi nella lagrangiana che hai scritto, ed in effetti se la scrivi considerando fin dall'inizio una rotazione a velocità costante ti accorgi che è un sistema diverso. Per lo stesso motivo, non hai considerato $\alpha$ una coordinata lagrangiana.
Considerala da un altro punto di vista, più vicino al corso di Fisica 1: in effetti il momento $p_{\phi}=mr^2\dot{\phi}sin^2\alpha$ si conserva, e questo stabilisce una relazione tra $r$ e $\dot{\phi}$. Quindi $\dot{phi}$ non può essere una costante arbitraria, a meno che non intervenga una causa esterna che la mantenga tale, per esempio un motore che esercita la propria azione tramite il vincolo. Tuttavia questi fattori non sono compresi nella lagrangiana che hai scritto, ed in effetti se la scrivi considerando fin dall'inizio una rotazione a velocità costante ti accorgi che è un sistema diverso. Per lo stesso motivo, non hai considerato $\alpha$ una coordinata lagrangiana.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo