Altro esercizio buca di potenziale infinita
Buongiorno,
Non riesco a risolvere l'esercizio sopra, spero possiate darmi una mano
Ecco come ho provato a risolverlo:
Il potenziale, lo capisco dalla forma delle energie, è una buca infinita.
Prendo la buca asimmetrica ($x in [0,L]$) perché la forma delle autofunzioni mi piace quindi
$u_n=sqrt(2/L)sin((npix)/L) $ per $x in [0,L]$.
Pongo:
$psi(x,0)=sum_(n=1)^infty C_n u_n$ con $C_n=int_0^L u_n psi(x,0) dx$
Siccome la probabilità di ottenere $E_2$ deve essere uguale a quella di ottenere $E_3$ devo avere $|C_2|$=$|C_3|$.
Dal momento che la probabilità di trovare la particella nella prima metà $P[0
$P[0
$P[L/2
ma
$P[0
Avevo pensato a:
$int_0^(L/2) |psi(x,0)|^2dx= sum_(n,m=1)^infty C_n^\ast C_m int_0^(L/2) u_n u_m dx$
ma
$int u_n u_m dx=1/pi [sin(((n-m)pix)/L)/(n-m)-sin(((n+m)pix)/L)/(n+m)]$ quindi
$int_0^(L/2) u_n u_m dx=1/pi [sin(((n-m)pi)/2)/(n-m)-sin(((n+m)pi)/2)/(n+m)]$
ho provato a riscrivere la serie ma senza successo
Risposte
Io vedo questa situazione, dimmi un po' se concordi.
Ho il mio sistema fatto dalla particella nella buca. Eseguo la misura dell'energia e trovo $E_2$ ed $E_3$ con la medesima probabilità. La probabilità non può che essere $1/2$ perchè non trovo altre energie.
Lo stato al tempo zero sarà quindi una sovrapposizione degli autostati dell'energia
$"|"\psi> = 1/\sqrt(2)"|"E_2>+1/\sqrt(2)"|"E_3>$
So inoltre che al tempo zero ho, come hai giustamente detto, la probabilità di trovare la particella nella prima metà pari a $2/3$.
Voglio sapere ad un tempo t la probabilità di trovare la particella nel primo tratto $[0,L/2]$ sapendo quale era la probabilità di essere già lì. Voglio insomma la probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti $P(A\capB)=P(A)P(B)$.
L'evoluto temporale dello stato iniziale sarà
$"|"\psi(t)> = 1/\sqrt(2)e^(-iE_2/\barh t)"|"E_2>+1/\sqrt(2)e^(-iE_3/\barh t)"|"E_3>$
Quindi la probabilità totale sarà $P=2/3 * "|"<\psi(t)|\psi(t)>"|"^2$ dove l'integrale è fatto sul tratto interessato.
Io risponderei così. Ti torna?
Ho il mio sistema fatto dalla particella nella buca. Eseguo la misura dell'energia e trovo $E_2$ ed $E_3$ con la medesima probabilità. La probabilità non può che essere $1/2$ perchè non trovo altre energie.
Lo stato al tempo zero sarà quindi una sovrapposizione degli autostati dell'energia
$"|"\psi> = 1/\sqrt(2)"|"E_2>+1/\sqrt(2)"|"E_3>$
So inoltre che al tempo zero ho, come hai giustamente detto, la probabilità di trovare la particella nella prima metà pari a $2/3$.
Voglio sapere ad un tempo t la probabilità di trovare la particella nel primo tratto $[0,L/2]$ sapendo quale era la probabilità di essere già lì. Voglio insomma la probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti $P(A\capB)=P(A)P(B)$.
L'evoluto temporale dello stato iniziale sarà
$"|"\psi(t)> = 1/\sqrt(2)e^(-iE_2/\barh t)"|"E_2>+1/\sqrt(2)e^(-iE_3/\barh t)"|"E_3>$
Quindi la probabilità totale sarà $P=2/3 * "|"<\psi(t)|\psi(t)>"|"^2$ dove l'integrale è fatto sul tratto interessato.
Io risponderei così. Ti torna?
In effetti avevo già fatto alcuni esercizi in cui si lavora con 2 sole energie, in effetti così è più ragionevole.
Credo di essermi messo a ragionare troppo sulle parole del testo perché anche se non cita altre energie non dice espressamente che $E_1$ $E_2$ sono le uniche energie ottenibili (almeno secondo me).
Comunque ti ringrazio per la dritta!!
Tra una settimana dopo aver ripassato un po' di teoria comincerò a fare esercizi sulla seconda parte del programma sei stato di grande aiuto
Credo di essermi messo a ragionare troppo sulle parole del testo perché anche se non cita altre energie non dice espressamente che $E_1$ $E_2$ sono le uniche energie ottenibili (almeno secondo me).
Comunque ti ringrazio per la dritta!!
Tra una settimana dopo aver ripassato un po' di teoria comincerò a fare esercizi sulla seconda parte del programma sei stato di grande aiuto
Sì, probabilmente ti sei affidato troppo al "lessico" del problema. Tieni conto però che non potrebbe essere diversamente. Il concetto di misura quantistica è diverso da quella classica. Classicamente per misurare una quantità di un sistema, prendi il sistema, fai molte misure su quel sistema e ne calcoli la media attribuendoci un errore. In quantistica non si può procedere così, perché dopo aver fatto una misura sul sistema, l'hai modificato. Quindi bisogna preparare tanti sistemi tutti uguali e, possibilmente contemporaneamente, eseguire una misura su ognuno. In questo modo rispetto al totale delle misure fatte si vede quante volte è uscito un valore e quante volte un altro. In questo modo si deduce la probabilità. Quindi ogni volta che in ambito quantistico leggi "effettuando una misura si trova $X_1$ e $X_2$ con probabilità $Y_1$ e $Y_2$" si sottintende tutto questo procedimento. Se il testo vuole dirti che, rispetto alla misura di una quantità, ci sono stati anche altri risultati di cui non si conosce (per qualunque motivo)la probabilità allora questo sì che deve essere specificato chiaramente. Altrimenti viene meno proprio il concetto stesso di misura quantistica.
Veramente, lo stato iniziale è del tipo:
Insomma, non si comprende per quale motivo i due coefficienti debbano avere la stessa fase. Tra l'altro, la condizione sulle probabilità della posizione è stata assegnata proprio per determinare la differenza di fase.
$\psi=sqrt2/2\psi_2+sqrt2/2e^(i\theta)\psi_3$
Insomma, non si comprende per quale motivo i due coefficienti debbano avere la stessa fase. Tra l'altro, la condizione sulle probabilità della posizione è stata assegnata proprio per determinare la differenza di fase.
Mi sembra una inutile complicazione visto che la richiesta è solo la probabilità dell'evento finale. Mi sembrava più semplice sfruttare quella informazione alla fine sull'intersezione degli eventi che non assegnare la giusta fase agli Stati visto che non lo chiede. In termini di probabilità non dovrebbe cambiare nulla. Al massimo a calcolo finito potrebbe verificare se viene uguale, ma dovrebbe.
Veramente, dimostrare che la tua soluzione all'istante $t=0$:
non è affatto quella corretta, è tutt'altro che complicato. Solo per fare un esempio, nel caso in cui $L=\pi$:
Tra l'altro, non si comprende nemmeno che cosa c'entri l'evento intersezione e come tu possa sostenere che la differenza di fase non incida sul calcolo delle probabilità.
$\psi(x)=sqrt2/2\psi_2(x)+sqrt2/2\psi_3(x)=sqrt(1/L)[sin((2\pix)/L)+sin((3\pix)/L)]$
non è affatto quella corretta, è tutt'altro che complicato. Solo per fare un esempio, nel caso in cui $L=\pi$:
$\psi(x)=sqrt(1/\pi)(sin2x+sin3x)$
Tra l'altro, non si comprende nemmeno che cosa c'entri l'evento intersezione e come tu possa sostenere che la differenza di fase non incida sul calcolo delle probabilità.
Non hai capito non ho detto che non incide, ho detto che imporre quella condizione prima o dopo non dovrebbe fare differenza sulla probabilità totale, ovvero incide allo stesso modo tutto qui. Non ci chiede l'esatta forma del livello al tempo zero, ci chiede una probabilità. Quindi considerarlo in quella forma e imporre la condizione nel momento del calcolo della probabilità oppure imporla subito per trovare la fase relativa a logica mi dovrebbe dare lo stesso risultato rispetto alla probabilità richiesta. Quando dico intersezione intendo la definizione probabilistica, cioè la probabilità che avvenga sia una cosa che l'altra.
Se sono intervenuto è perché, a discussione esaurita, il problema della differenza di fase non si era mai posto. Insomma, se Andrea avesse risolto l'esercizio seguendo le tue indicazioni, l'avrebbe semplicemente sbagliato. Se non siamo d'accordo nemmeno su questo, meglio lasciar perdere.
Non l'ho posto perché, come sto dicendo, non lo ritenevo rilevante ai fini della richiesta del problema. Questo non significa che tu non possa comunque avere ragione. Ogni volta che rispondo, ma penso come per chiunque, è implicito che la risposta è "a meno di miei errori". Poi cosa vuoi che ti dica, può provare a fare il conto in entrambi i modi, se viene diverso, a meno di errori di calcolo, significa che non è ininfluente imporre la condizione prima o dopo. A logica mi parrebbe così per la composizione delle probabilità, ma nulla toglie che non possa sbagliare. Sono ben lungi dall'infallibilitá 
L'importante è chiarirsi. Per quanto riguarda l'infallibilità, temo che non sia di questo mondo. 
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