Algebra vettoriale
Siano dati due vettori in componenti cartesiane: $ vec(a)= 3vec(i) + 4vec(j) $ e $ vec(b)= 5vec(i) $ . Determinare le componenti cartesiane ed il modulo del vettore di fferenza $ vec(d) = vec(a) - vec(b) $ , ed il prodotto scalare $ vec(a) \cdot vec(b) $ .
come trovo le componenti cartesiane?
come posso rappresentare graficamente i due vettori?
per il modulo $ vec(a)= root()(3^2+4^2)$ $ vec(b)= root()(5^2) $
differenza : $ vec(d)= (3vec(i)+4vec(j))-5vec(i)= -2vec(i)+4vec(j) $
come trovo il cos per calcolare il prodotto scalare?
come trovo le componenti cartesiane?
come posso rappresentare graficamente i due vettori?
per il modulo $ vec(a)= root()(3^2+4^2)$ $ vec(b)= root()(5^2) $
differenza : $ vec(d)= (3vec(i)+4vec(j))-5vec(i)= -2vec(i)+4vec(j) $
come trovo il cos per calcolare il prodotto scalare?
Risposte
Ciao, quello che hai fatto è giusto:
\begin{align*}
|\vec{a}| &= 5 \\
|\vec{b}| &= 5 \\
\vec{d} &= -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \\
\end{align*}Per il prodotto scalare puoi ricordare che, dati due vettori
\begin{align*}
\vec{a} &= \vec{a_x} + \vec{a_y} \\
\vec{b} &= \vec{b_x} + \vec{b_y}\\
a \cdot b &= a_x b_x + a_y b_y
\end{align*}Poi ti chiedeva anche il modulo del vettore differenza che trovi facendo
\[
|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
\begin{align*}
|\vec{a}| &= 5 \\
|\vec{b}| &= 5 \\
\vec{d} &= -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \\
\end{align*}Per il prodotto scalare puoi ricordare che, dati due vettori
\begin{align*}
\vec{a} &= \vec{a_x} + \vec{a_y} \\
\vec{b} &= \vec{b_x} + \vec{b_y}\\
a \cdot b &= a_x b_x + a_y b_y
\end{align*}Poi ti chiedeva anche il modulo del vettore differenza che trovi facendo
\[
|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
"minomic":
Ciao, quello che hai fatto è giusto:
\begin{align*}
|\vec{a}| &= 5 \\
|\vec{b}| &= 5 \\
\vec{d} &= -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \\
\end{align*}Per il prodotto scalare puoi ricordare che, dati due vettori
\begin{align*}
\vec{a} &= \vec{a_x} + \vec{a_y} \\
\vec{b} &= \vec{b_x} + \vec{b_y}\\
a \cdot b &= a_x b_x + a_y b_y
\end{align*}Poi ti chiedeva anche il modulo del vettore differenza che trovi facendo
\[
|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
Grazie
quindi $ a\cdot b= 3i\cdot 5i + 4j\cdot 0j= 15 $
devo fare qualcosa quando mi dice determinare le componenti cartesiane?
"Uccio87":
Grazie
quindi $ a\cdot b= 3i\cdot 5i + 4j\cdot 0j= 15 $
devo fare qualcosa quando mi dice determinare le componenti cartesiane?
Il prodotto scalare è corretto.
Ti chiedeva di trovare le componenti cartesiane del vettore differenza ma le hai già trovate quando hai detto
\[
\vec{d} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j}
\]Direi che l'esercizio è concluso!
Oppure vuoi anche rappresentarli graficamente e trovare l'angolo formato dai due vettori?
"minomic":
Oppure vuoi anche rappresentarli graficamente e trovare l'angolo formato dai due vettori?
si vorrei capire come si fa a rappresentare graficamente!grazie
"Uccio87":
si vorrei capire come si fa a rappresentare graficamente!grazie
Non è difficile. Dato un vettore
\[
\vec{a} = x\hat{i}+y\hat{j}
\]lo si rappresenta semplicemente collegando l'origine al punto \( (x, y) \).
Quindi il tuo primo vettore sarà applicato nell'origine e andrà fino al punto $(3, 4)$ mentre l'altro andrà fino a $(5, 0)$.
Se poi vuoi trovare l'angolo che formano puoi dire che
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = a_x b_x + a_y b_y = 15 \\
|\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 15 \\
\cos{\theta} = \dfrac{15}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \dfrac{15}{5 \cdot 5} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}\\
\theta = \arccos{\dfrac{3}{5}} \approx 53°7'48''.
\]
"minomic":
[quote="Uccio87"]si vorrei capire come si fa a rappresentare graficamente!grazie
Non è difficile. Dato un vettore
\[
\vec{a} = x\hat{i}+y\hat{j}
\]lo si rappresenta semplicemente collegando l'origine al punto \( (x, y) \).
Quindi il tuo primo vettore sarà applicato nell'origine e andrà fino al punto $(3, 4)$ mentre l'altro andrà fino a $(5, 0)$.
Se poi vuoi trovare l'angolo che formano puoi dire che
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = a_x b_x + a_y b_y = 15 \\
|\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta} = 15 \\
\cos{\theta} = \dfrac{15}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \dfrac{15}{5 \cdot 5} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}\\
\theta = \arccos{\dfrac{3}{5}} \approx 53°7'48''.
\][/quote]
Grazie ottima spiegazione!
ultima cosa se devo trovare l'angolo tra un vettore e l'asse delle x uso lo stesso metodo che si usa per trovare un angolo tra due vettori?
"Uccio87":
se devo trovare l'angolo tra un vettore e l'asse delle x uso lo stesso metodo che si usa per trovare un angolo tra due vettori?
In questo caso il problema si risolve in modo diverso.
Dato un vettore
\[
\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j}
\]l'angolo che esso forma con il semiasse positivo delle $x$ si trova facendo
\[
\theta = \arctan{\frac{y}{x}}
\]Dobbiamo però fare attenzione ai segni delle componenti. Il mio consiglio è di prenderle sempre positive, trovare l'angolo (che sarà ovviamente nel primo quadrante) e poi "spostarlo" nel quadrante corretto facendo attenzione ai segni.
Per ovviare a questo problema si può utilizzare una funzione definita appositamente e dire $$\theta = \mbox{Atan2}(y, x)$$ ma forse non ve l'hanno spiegata.
PS. Potremmo anche "inventare" un vettore sull'asse $x$, come ad esempio $\vec{b} = \alpha \hat{i}$ e procedere come prima, ma non è considerato un metodo molto elegante.
"minomic":
[quote="Uccio87"]se devo trovare l'angolo tra un vettore e l'asse delle x uso lo stesso metodo che si usa per trovare un angolo tra due vettori?
In questo caso il problema si risolve in modo diverso.
Dato un vettore
\[
\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j}
\]l'angolo che esso forma con il semiasse positivo delle $x$ si trova facendo
\[
\theta = \arctan{\frac{y}{x}}
\]Dobbiamo però fare attenzione ai segni delle componenti. Il mio consiglio è di prenderle sempre positive, trovare l'angolo (che sarà ovviamente nel primo quadrante) e poi "spostarlo" nel quadrante corretto facendo attenzione ai segni.
Per ovviare a questo problema si può utilizzare una funzione definita appositamente e dire $$\theta = \mbox{Atan2}(y, x)$$ ma forse non ve l'hanno spiegata.
PS. Potremmo anche "inventare" un vettore sull'asse $x$, come ad esempio $\vec{b} = \alpha \hat{i}$ e procedere come prima, ma non è considerato un metodo molto elegante.[/quote]
in un esercizio mi chiedeva di trovare la somma di due vettori $ vec(a)= 3i $ e $ vec(b)= -6i+3j $
$ vec(s)= vec(a)+vec(b)= -3i +3j $
Trovare l'angolo tra $ vec(s) $ e l'asse delle x.
quindi faccio $ \theta = arctan (3/-3)= -45 $
risultato esatto! grazie
"Uccio87":
in un esercizio mi chiedeva di trovare la somma di due vettori $ vec(a)= 3i $ e $ vec(b)= -6i+3j $
$ vec(s)= vec(a)+vec(b)= -3i +3j $
Trovare l'angolo tra $ vec(s) $ e l'asse delle x.
quindi faccio $ \theta = arctan (3/-3)= -45 $
risultato esatto! grazie
In realtà l'angolo di solito si considera in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle $x$, quindi nel tuo caso l'angolo sarebbe
\[
\arctan{\left( \frac{3}{3} \right)} = 45°
\]spostato nel secondo quadrante, quindi
\[
\theta = 180° - 45° = 135°
\]In ogni caso l'importante è capirsi!
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