Alcuni esercizi d'esame
Ciao a tutti ho sostenuto l'esame di Fisica I stamattina e volevo chiedervi alcuni esercizi in modo da controllare di averli svolti correttamente:
1)Un corpo parte da fermo ed è in caduta libera. "Questo corpo percorre ogni secondo una distanza maggiore della distanza complessiva percorsa nei secondi precedenti".T ale affermazione cm è?Tra le opzioni c'erano: sempre vera, sempre falsa, vera x tempi sufficientemente brevi, vera x tempi sufficientemente lunghi,vera per tempi intermedi.
2)2 corpi di massa M1 e M2 sono posti rispettivamente in x=0 e in x =D. Questi 2 corpi si attraggono. In quale punto si incontreranno?
Io ho pensato di ricavarmi le traiettorie e poi uguagliarle giusto?E per trovare le accelerazioni ho sfruttato ke i 2 corpi si attraggono e quindi hos critto la forza gravitazionale tra i 2 corpi e da li scrivendola come massa per accelerazione mi sono ricavato quest'ultima x entrambi i corpi. E' cosi?
3)Quale potenza occorre fornire per spingere un corpo posto su una superficie con attrito con velocità Vo?
Allora io so che la potenza è definita come Forza per velocità e la Forza in questo caso è quella di attrito quindi coefficente di attrito per la forza normale,cioè Mg. Quindi la potenza è forza di attrito per velocità. Solo il coefficente d'attrito devo considerare quello statico o dinamico?
4)10 corpi di massa identica sono posti su un piano a distanza d l'uno dall'altro.Il primo corpo a causa di un impulso inizia a muoversi con velocità Vo verso destra. I successivi urti sono anelastivi. Con che velocità inizierà a muoversi il terzo corpo?
Io ho pensato ke ad ogni urto, essendo anelastico, la velocità dimezza e quindi il terzo si inzierà a muovere con velocità Vo/3. Ok?
Grazie per le risposte
1)Un corpo parte da fermo ed è in caduta libera. "Questo corpo percorre ogni secondo una distanza maggiore della distanza complessiva percorsa nei secondi precedenti".T ale affermazione cm è?Tra le opzioni c'erano: sempre vera, sempre falsa, vera x tempi sufficientemente brevi, vera x tempi sufficientemente lunghi,vera per tempi intermedi.
2)2 corpi di massa M1 e M2 sono posti rispettivamente in x=0 e in x =D. Questi 2 corpi si attraggono. In quale punto si incontreranno?
Io ho pensato di ricavarmi le traiettorie e poi uguagliarle giusto?E per trovare le accelerazioni ho sfruttato ke i 2 corpi si attraggono e quindi hos critto la forza gravitazionale tra i 2 corpi e da li scrivendola come massa per accelerazione mi sono ricavato quest'ultima x entrambi i corpi. E' cosi?
3)Quale potenza occorre fornire per spingere un corpo posto su una superficie con attrito con velocità Vo?
Allora io so che la potenza è definita come Forza per velocità e la Forza in questo caso è quella di attrito quindi coefficente di attrito per la forza normale,cioè Mg. Quindi la potenza è forza di attrito per velocità. Solo il coefficente d'attrito devo considerare quello statico o dinamico?
4)10 corpi di massa identica sono posti su un piano a distanza d l'uno dall'altro.Il primo corpo a causa di un impulso inizia a muoversi con velocità Vo verso destra. I successivi urti sono anelastivi. Con che velocità inizierà a muoversi il terzo corpo?
Io ho pensato ke ad ogni urto, essendo anelastico, la velocità dimezza e quindi il terzo si inzierà a muovere con velocità Vo/3. Ok?
Grazie per le risposte
Risposte
2) Di che tipo di moto si tratta? L'accelerazione che hai trovato non è costante, dipende dalla posizione visto che dalla posizione dipende la forza. Provare con il centro di massa?
3) Visto che si sta muovendo...
3) Visto che si sta muovendo...
2)I 2 corpi sono fermi inizialmente e si trovano rispettivamente in 0 e d. Non va il mio ragionamento?
3)Quindi coefficente d'attrito dinamico..Grz
1 e 4 se puoi?
3)Quindi coefficente d'attrito dinamico..Grz
1 e 4 se puoi?
Per il 2 ragionando sul centro di massa il risultato mi viene sempre lo stesso cioè si incontrano a M2d/M1+M2..Spero vada bene anche il mio ragionamento..
Qualcun altro può darmi uno mano?sopratutto sul primo...
ti propongo 2 vie che in realtà dicono una cosa leggermente diversa ma che entrambe rispondono al tuo quesito.:
la prima un po' qualitativa si avvale di questo grafico
scusa la rozzezza ma l'ho fatto con paint
innanzitutto si vede che per motivi puramente geometrici triangoli e rettangoli sono tutti uguali fra di loro (teorema di talete mi pare si chiami). come saprai, lo spazio percorso è l'area sotto la curva velocità-tempo (che per la caduta libera con partenza da fermo è una retta passante per l'origine). immagina l'asse delle ascisse graduata in secondi. coi colori ho cercato di mostrarti che:
l'area fra 1 e 2 è + grande di quella fra 0 ed 1
l'area fra 2 e 3 è + grande di quella fra 0 e 2
l'area fra 3 e 4 è + piccola di quella fra 0 e 3
si intuisce che andando avanti col giochino la cosa peggiora... quindi qualitativamente si vede che la risposta giusta è "per tempi abbastanza piccoli"
provo a darti uan risposta un po' + rigorosa anche se non è esattamente precisamente quello che chiede il problema, c'è una piccola differenza.
andiamo a vedere per quali t vale che $s(t-1s) < s(t) - s(t-1s)$ ovvero ci andiamo a chiedere quando vale che lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante t-1s è minore dello spazio percorso fra t-1s e t. la cosa è un po' diversa da quello che abbiamo fatto prima perchè prima abbiamo considerato solo scatti discreti del tempo, cioè cosa accade ad $1s$, $2s$, $3s$ etc invece qui stiamo pensando al tempo come continuo e cerchiamo i valori di $t in RR$ che soddisfano la disequazione... nel primo caso abbiamo visto che dopo 3 secondi la disequazione era verificata e dopo 4 no, quindi grosso modo dobbiamo aspettarci che il punto di svolta della faccenda sia un t compreso fra 3 e 4... proviamo a fare i conti.
la legge $s(t)$ della caduta libera con partenza ferma come ben saprai è $s(tau)=1/2 g (tau)^2$
quindi:
$s(t-1s) <= s(t) - s(t-1s)$
$1/2 g (t-1s)^2 <= 1/2 g t^2 - 1/2 g (t-1s)^2
intanto vediamo che possiamo togliere l'accelerazione sia a destra che a sinistra, quindi il valore non dipende da quanto pende la retta (cosa che si intuiva dal grafico). togliamo anche l'$1/2$
$(t-1s)^2 <= t^2 - (t-1s)^2$
$2\(t-1s)^2 <= t^2$
$sqrt(2)\(t-1s) <= t$
$t <= (sqrt(2)/(sqrt(2)-1))s$
che guarda caso vale circa $3.41s$
quindi sia la rozzezza che i conti ci dicono che la risposta esatta è "per tempi abbastanza piccoli"
la prima un po' qualitativa si avvale di questo grafico
scusa la rozzezza ma l'ho fatto con paint
innanzitutto si vede che per motivi puramente geometrici triangoli e rettangoli sono tutti uguali fra di loro (teorema di talete mi pare si chiami). come saprai, lo spazio percorso è l'area sotto la curva velocità-tempo (che per la caduta libera con partenza da fermo è una retta passante per l'origine). immagina l'asse delle ascisse graduata in secondi. coi colori ho cercato di mostrarti che:
l'area fra 1 e 2 è + grande di quella fra 0 ed 1
l'area fra 2 e 3 è + grande di quella fra 0 e 2
l'area fra 3 e 4 è + piccola di quella fra 0 e 3
si intuisce che andando avanti col giochino la cosa peggiora... quindi qualitativamente si vede che la risposta giusta è "per tempi abbastanza piccoli"
provo a darti uan risposta un po' + rigorosa anche se non è esattamente precisamente quello che chiede il problema, c'è una piccola differenza.
andiamo a vedere per quali t vale che $s(t-1s) < s(t) - s(t-1s)$ ovvero ci andiamo a chiedere quando vale che lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante t-1s è minore dello spazio percorso fra t-1s e t. la cosa è un po' diversa da quello che abbiamo fatto prima perchè prima abbiamo considerato solo scatti discreti del tempo, cioè cosa accade ad $1s$, $2s$, $3s$ etc invece qui stiamo pensando al tempo come continuo e cerchiamo i valori di $t in RR$ che soddisfano la disequazione... nel primo caso abbiamo visto che dopo 3 secondi la disequazione era verificata e dopo 4 no, quindi grosso modo dobbiamo aspettarci che il punto di svolta della faccenda sia un t compreso fra 3 e 4... proviamo a fare i conti.
la legge $s(t)$ della caduta libera con partenza ferma come ben saprai è $s(tau)=1/2 g (tau)^2$
quindi:
$s(t-1s) <= s(t) - s(t-1s)$
$1/2 g (t-1s)^2 <= 1/2 g t^2 - 1/2 g (t-1s)^2
intanto vediamo che possiamo togliere l'accelerazione sia a destra che a sinistra, quindi il valore non dipende da quanto pende la retta (cosa che si intuiva dal grafico). togliamo anche l'$1/2$
$(t-1s)^2 <= t^2 - (t-1s)^2$
$2\(t-1s)^2 <= t^2$
$sqrt(2)\(t-1s) <= t$
$t <= (sqrt(2)/(sqrt(2)-1))s$
che guarda caso vale circa $3.41s$
quindi sia la rozzezza che i conti ci dicono che la risposta esatta è "per tempi abbastanza piccoli"
Grazie 
Per gli altri invece?
Per gli altri invece?
Nessuno??
per il 2 non ho capito bene come l'hai fatto... nel senso che come ti ha detto maurizio, ricavare le traiettorie non è banale visto che la forza che sentono i corpi varia istantaneamente. per risolverlo con la cinematica dovresti usare delle equazioni differenziali. il risultato però a cui sei arrivato è giusto.. essi devono incontrarsi nel centro di massa... il motivo è che il sistema (i 2 coripi) è isolato, non vi sono forze esterne che agiscono, vi sono solo quelle di attrazione reciproca che sono interne. Per la prima eq cardinale della dinamica, la quantità di moto del centro di massa si deve conservare. siccome i corpi partono da fermi, all'inizio la quantità di moto del cdm è nulla e nulla deve rimanere in tutto il moto dei corpi. Siccome il centro di massa deve riamnere fermo, le masse devono incontrarsi proprio li.
per il 4: non è vero che ad ogni urto la velocità si dimezza (e anche se fosse, questo ragionamente porterebbe al risultato (V_0)/4, la metà della metà). applica la conservazione della qta di moto per il primo urto ricordando che in un urto anelastico i 2 corpi poi rimangono attaccati:
$mV_0 + 0\m = (m+m)\V_1$
$V_1=(V_0)/2$
che è come hai detto tu. ora però ciò che urta il 3 corpo è il blocco formato dai primi 2 con massa 2m, quindi riapplicando la conservazione:
$2m\v_1 + 0\m = (2m + m)\v_f$
$V_f=(2/3)\V_1$ che sostituendo $V_1$ con quello che hai trovato prima trovi proprio $V_f = (V_0)/3$.
Il fatto che sia nel problema 2 che nel 4 tu abbia trovato il risultato giusto con ragionamenti sbagliati, mi fa pensare che te abbia già le soluzioni dei problemi e hai provato a risolverli al contrario, costruendo i ragionamenti partendo dai risultati... sbaglio?
$mV_0 + 0\m = (m+m)\V_1$
$V_1=(V_0)/2$
che è come hai detto tu. ora però ciò che urta il 3 corpo è il blocco formato dai primi 2 con massa 2m, quindi riapplicando la conservazione:
$2m\v_1 + 0\m = (2m + m)\v_f$
$V_f=(2/3)\V_1$ che sostituendo $V_1$ con quello che hai trovato prima trovi proprio $V_f = (V_0)/3$.
Il fatto che sia nel problema 2 che nel 4 tu abbia trovato il risultato giusto con ragionamenti sbagliati, mi fa pensare che te abbia già le soluzioni dei problemi e hai provato a risolverli al contrario, costruendo i ragionamenti partendo dai risultati... sbaglio?
Allora per il 4 mi ero espresso male io ho fatto esattamente come te scrivendo le stesse equazioni per la conservazione della quantità di moto.Quindi ok!
Il secondo solo dopo mi è venuto in mente che si poteva risolvere ragionando sul centro di massa, ma siccome nel testo dell'esercizio c'era scritto che "i 2 corpi si attraevano" mi è venuto subito in mente la forza gravitazionale di Newton. Quindi per il primo ho scritto F(m1a)=G m1m2/d^2 da cui a= G m2/d^2 quindi la traiettoria del primo corpo sarà: x1(t)=1/2 G m2/d^2 t^2 e uguale per il secondo corpo che però trovandosi a distanza d avrà come traiettoria x2(t): D - 1/2 G m1/d^2 .Dopo di che ugugliando le 2 traiettorie mi ricavo il tempo per cui esse sono nello stesso punto e lo sostituisco in una delle 2 e il risultato viene proprio m2 d/m1+m2. Capito? Ho controllato che anche le accelerazioni che mi sono ricavato sono dimensionalmente corrette(m/s^2).
Il secondo solo dopo mi è venuto in mente che si poteva risolvere ragionando sul centro di massa, ma siccome nel testo dell'esercizio c'era scritto che "i 2 corpi si attraevano" mi è venuto subito in mente la forza gravitazionale di Newton. Quindi per il primo ho scritto F(m1a)=G m1m2/d^2 da cui a= G m2/d^2 quindi la traiettoria del primo corpo sarà: x1(t)=1/2 G m2/d^2 t^2 e uguale per il secondo corpo che però trovandosi a distanza d avrà come traiettoria x2(t): D - 1/2 G m1/d^2 .Dopo di che ugugliando le 2 traiettorie mi ricavo il tempo per cui esse sono nello stesso punto e lo sostituisco in una delle 2 e il risultato viene proprio m2 d/m1+m2. Capito? Ho controllato che anche le accelerazioni che mi sono ricavato sono dimensionalmente corrette(m/s^2).
"M&C88":
da cui a= G m2/d^2 quindi la traiettoria del primo corpo sarà: x1(t)=1/2 G m2/d^2 t^2
Questo è sbagliato. la legge oraria $s_f=s_0 + (v_0)t + (1/2)a(t)^2$ è valida solo quando l'accelerazione è costante. qui non lo è perchè dipende da $d$ che è variabile nel tempo.
Mi congratulo con giacor86 sia per la chiarezza che per la pazienza....
Il fatto che il risultato sia uscito comunque è una circostanza fortuita, perchè hai messo due forze interne direttamente proporzionali alla massa dei corpi con la stessa costante di proporzionalità.....il che ti ha portato a calcolare una media pesata di masse per relativa distanza....
Ciao
in bocca al lupo cmq per l'esame.
Il fatto che il risultato sia uscito comunque è una circostanza fortuita, perchè hai messo due forze interne direttamente proporzionali alla massa dei corpi con la stessa costante di proporzionalità.....il che ti ha portato a calcolare una media pesata di masse per relativa distanza....
Ciao
in bocca al lupo cmq per l'esame.
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