Alcuni dubbi sul I° capitolo della Meccanica di Landau
Salve a tutti. Sto leggendo il 1° volume - quello di Meccanica - della serie di Landau, e ritengo di non aver compreso bene tutti i passaggi logici di derivazione delle varie formule e dei principi.
Espongo qui tutti i miei dubbi nella speranza di una risposta veloce. Mi farebbe molto piacere. Grazie.
1) Il primo dubbio riguarda pag. 30 dove Landau ricava la lagrangiana di un sistema $ A + B $ composto da due parti separate $ A $ e $ B $ che si suppongono a grande distanza l'una dall'altra (e per questo motivo non interagenti, o meglio la cui interazione può essere considerata trascurabile nella lagrangiana di ciascuno di essi). Se chiamiamo $ L_A $ ed $ L_B $ rispettivamente le lagrangiane (ovviamente indipendenti) delle due parti del sistema, allora la lagrangiana totale dell'intero sistema, come specifica il testo, tenderà a:
$ lim L = L_A + L_B $
Questa proprietà viene chiamata "additività della funzione di Lagrange" ed esprime, come ovvio, il fatto che le lagrangiane di due sistemi non interagenti non possono contenere grandezze riguardanti l'altro sistema.
Fino a qui è tutto chiaro, è sul seguito che invece ho qualche dubbio, perché il libro poi dice:
Il Landau poi userà questa proprietà per definire il concetto di massa. (come meglio specificato a pag. 35).
Io non ho ben compreso però questo fatto relativo alla moltiplicazione delle lagrangiane di A e B soltanto per una stessa costante. Perché non si possono moltiplicare $L_A$ e $L_B$ per due costanti arbitrarie diverse? Cioè, mi spiego meglio, se io considero $ L' $ costruito in tale modo, come combinazione lineare arbitraria tra $L_A $ ed $L_B$:
$ L' = a*L_A + b*L_B $
non dovrebbe essere anche questa una lagrangiana del sistema $ A + B $ ? Mi spiego in altri termini: una qualunque combinazione lineare delle lagrangiane non è a sua volta una lagrangiana del sistema totale? Del resto se io provo ad ottenere le equazioni di Lagrange rispetto ad $ L' $ sia per le coordinate generalizzate di $ A $ sia per quelle di $ B $ otterrei le stesse equazioni di Lagrange che otterrei se tenessi conto esclusivamente di $ L_A $, per quanto riguarda le coordinate generalizzate $ A $, ed esclusivamente di $ L_b $ per quanto riguarda le coordinate di $ B $.
Del resto, si deve tenere conto del fatto che - ad esempio - $L_A$ dipende esclusivamente dalle generiche $q_A$ (ovvero le coordinate generalizzate di A) e dalle $ \dot{q_a} $ (ovvero le relative velocità generalizzate di A). Infatti, per costruzione, A non dipende né dalle $q_b$ né dalle $ \dot{q_b} $ (condizione che può essere esplicitata dal fatto (1) che $ \frac{\partial L_A}{\partial q_b} = 0 $ e (2) che $ \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_a}} = 0 $).
Per questo motivo concludiamo che le equazioni di Lagrange di $L'$ ed $L_A$ relative alle $q_a$ sono esattamente identiche. Infatti si può dimostrare semplicemente:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}} = 0 \forall i=1,...,k $
qualunque siano le costanti $a$ e $b$ con cui abbiamo sviluppato la $ L' $.
Questa asserzione può essere dimostrata banalmente per la linearità delle derivate. Infatti, qualunque siano $a$ e $b$:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = \frac{d}{dt}( \frac{\partial (a*L_A + b*L_B)}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial (a*L_A + b*L_B)}{\partial q_{i,a}} =a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}}] + b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{i,a}}] $
E per le considerazioni (1) e (2) sull'indipendenza di $L_B$ dalle coordinate e dalle velocità generalizzate di $A$ otteniamo:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{i,a}}= \frac{d}{dt}(0) - 0= 0 $
e quindi:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}}] $
Da cui deriva banalmente la tesi ricordandosi che $X=Y \Rightarrow (X=0 \Leftrightarrow Y=0) $
(Considerazioni esattamente analoghe valgono per $ L_B $.)
Insomma, mi pare evidente che una qualunque combinazione lineare delle lagrangiane permetta di ottenere le stesse identiche equazioni del moto. E allora non capisco perché secondo il Landau la proprietà di additività della lagrangiana implica necessariamente che $a=b$. E' evidente che ci debba essere una falla nel mio ragionamento, o qualcosa che mi sono dimenticato (questo perché ovviamente Landau deve avere ragione ), il fatto è che non capisco proprio cosa ho dimenticato. 
2) Il mio secondo dubbio è relativo ad un fatto esposto a pagina 32. Landau espone una definizione di sistemi inerziali, ovvero sistemi rispetto ai quali lo spazio è omogeneo e isotropo e il tempo è omogeneo. Da queste proprietà dei sistemi inerziali Landau riesce a derivare il fatto che la Lagrangiana di un punto materiale libero non possa dipendere né dal raggio vettore $ \vec{r} $ né dal tempo $ t $ né dalla direzione della velocità $ \vec{v} $ ma solo dal modulo di quest'ultima. Quindi:
$ L=L(v^2) $
Fin qui tutto chiaro. E a questo punto sul testo c'è scritto:
E con questo il Landau conclude di aver dimostrato, a partire dalla definizione di sistema inerziale e delle sue proprietà (spazio omogeneo, isotropo e tempo omogeneo), il "principio di inerzia".
A me è chiaro tutto meno che l'ultimo passaggio, quello fondamentale. Ovvero, come fa il Landau a dimostrare che dalla costanza di $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $ derivi la costanza di $ \vec{v} $? Proprio non lo capisco.
3) L'ultimo dubbio è legato ad una considerazione che il testo fa, e che mi è abbastanza chiara stavolta, ma che preferirei venisse formalizzata e dimostrata matematicamente per bene anche se è abbastanza intuitiva.
A pag. 36 il Landau definisce infatti la Lagrangiana di un sistema isolato di punti materiali come di consueto:
$ L = \sum_{a}\frac{m_a*(v_a)^2}{2} - U(\vec{r_1},\vec{r_2},...) $
dove gli $ \vec{r_i} $ sono ovviamente i raggi vettori degli i-esimi punti.
Il testo prosegue dicendo:
A me è chiaro e rimane intuitivo il fatto che se l'interazione non si trasferisse istantaneamente le leggi del moto non si conserverebbero, ma non mi viene in mente alcun modo per dimostrarlo matematicamente. Ovvero, c'è un modo che permette di dimostrare che le equazioni di Lagrange dello stesso sistema isolato di punti materiali sono "formalmente" diverse tra i due sistemi di riferimento inerziali se l'interazione si trasferisse a velocità finita? Come si potrebbe dimostrare matematicamente?
Grazie mille a chi avrà il coraggio di rispondermi.
Espongo qui tutti i miei dubbi nella speranza di una risposta veloce. Mi farebbe molto piacere. Grazie.
1) Il primo dubbio riguarda pag. 30 dove Landau ricava la lagrangiana di un sistema $ A + B $ composto da due parti separate $ A $ e $ B $ che si suppongono a grande distanza l'una dall'altra (e per questo motivo non interagenti, o meglio la cui interazione può essere considerata trascurabile nella lagrangiana di ciascuno di essi). Se chiamiamo $ L_A $ ed $ L_B $ rispettivamente le lagrangiane (ovviamente indipendenti) delle due parti del sistema, allora la lagrangiana totale dell'intero sistema, come specifica il testo, tenderà a:
$ lim L = L_A + L_B $
Questa proprietà viene chiamata "additività della funzione di Lagrange" ed esprime, come ovvio, il fatto che le lagrangiane di due sistemi non interagenti non possono contenere grandezze riguardanti l'altro sistema.
Fino a qui è tutto chiaro, è sul seguito che invece ho qualche dubbio, perché il libro poi dice:
E' evidente che la moltiplicazione della funzione di Lagrange per una costante arbitraria non produce alcun effetto sulle equazioni del moto. Di qui sembrerebbe derivare una sostanziale indeterminatezza: le funzioni di Lagrange di differenti sistemi meccanici isolati si potrebbero moltiplicare per costanti arbitrarie diverse. La proprietà di additività elimina questa indeterminatezza: essa ammette soltanto la moltiplicazione simultanea delle funzioni di Lagrange di tutti i sistemi per una stessa costante, ciò che corrisponde semplicemente alla naturale arbitrarietà nella scelta delle unità di misura di questa grandezza fisica.
Il Landau poi userà questa proprietà per definire il concetto di massa. (come meglio specificato a pag. 35).
Io non ho ben compreso però questo fatto relativo alla moltiplicazione delle lagrangiane di A e B soltanto per una stessa costante. Perché non si possono moltiplicare $L_A$ e $L_B$ per due costanti arbitrarie diverse? Cioè, mi spiego meglio, se io considero $ L' $ costruito in tale modo, come combinazione lineare arbitraria tra $L_A $ ed $L_B$:
$ L' = a*L_A + b*L_B $
non dovrebbe essere anche questa una lagrangiana del sistema $ A + B $ ? Mi spiego in altri termini: una qualunque combinazione lineare delle lagrangiane non è a sua volta una lagrangiana del sistema totale? Del resto se io provo ad ottenere le equazioni di Lagrange rispetto ad $ L' $ sia per le coordinate generalizzate di $ A $ sia per quelle di $ B $ otterrei le stesse equazioni di Lagrange che otterrei se tenessi conto esclusivamente di $ L_A $, per quanto riguarda le coordinate generalizzate $ A $, ed esclusivamente di $ L_b $ per quanto riguarda le coordinate di $ B $.
Del resto, si deve tenere conto del fatto che - ad esempio - $L_A$ dipende esclusivamente dalle generiche $q_A$ (ovvero le coordinate generalizzate di A) e dalle $ \dot{q_a} $ (ovvero le relative velocità generalizzate di A). Infatti, per costruzione, A non dipende né dalle $q_b$ né dalle $ \dot{q_b} $ (condizione che può essere esplicitata dal fatto (1) che $ \frac{\partial L_A}{\partial q_b} = 0 $ e (2) che $ \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_a}} = 0 $).
Per questo motivo concludiamo che le equazioni di Lagrange di $L'$ ed $L_A$ relative alle $q_a$ sono esattamente identiche. Infatti si può dimostrare semplicemente:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}} = 0 \forall i=1,...,k $
qualunque siano le costanti $a$ e $b$ con cui abbiamo sviluppato la $ L' $.
Questa asserzione può essere dimostrata banalmente per la linearità delle derivate. Infatti, qualunque siano $a$ e $b$:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = \frac{d}{dt}( \frac{\partial (a*L_A + b*L_B)}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial (a*L_A + b*L_B)}{\partial q_{i,a}} =a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}}] + b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{i,a}}] $
E per le considerazioni (1) e (2) sull'indipendenza di $L_B$ dalle coordinate e dalle velocità generalizzate di $A$ otteniamo:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{i,a}}= \frac{d}{dt}(0) - 0= 0 $
e quindi:
$ \frac{d}{dt}( \frac{\partial L'}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L'}{\partial q_{i,a}} = a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{ia}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{i,a}}] $
Da cui deriva banalmente la tesi ricordandosi che $X=Y \Rightarrow (X=0 \Leftrightarrow Y=0) $
(Considerazioni esattamente analoghe valgono per $ L_B $.)
Insomma, mi pare evidente che una qualunque combinazione lineare delle lagrangiane permetta di ottenere le stesse identiche equazioni del moto. E allora non capisco perché secondo il Landau la proprietà di additività della lagrangiana implica necessariamente che $a=b$. E' evidente che ci debba essere una falla nel mio ragionamento, o qualcosa che mi sono dimenticato (questo perché ovviamente Landau deve avere ragione
), il fatto è che non capisco proprio cosa ho dimenticato. 2) Il mio secondo dubbio è relativo ad un fatto esposto a pagina 32. Landau espone una definizione di sistemi inerziali, ovvero sistemi rispetto ai quali lo spazio è omogeneo e isotropo e il tempo è omogeneo. Da queste proprietà dei sistemi inerziali Landau riesce a derivare il fatto che la Lagrangiana di un punto materiale libero non possa dipendere né dal raggio vettore $ \vec{r} $ né dal tempo $ t $ né dalla direzione della velocità $ \vec{v} $ ma solo dal modulo di quest'ultima. Quindi:
$ L=L(v^2) $
Fin qui tutto chiaro. E a questo punto sul testo c'è scritto:
Dato che la funzione di Lagrange non dipende da $ \vec{r} $ abbiamo che $ \frac{\partial L}{\partial \vec{r}}= 0 $, e le equazioni di Lagrange assumono quindi la forma:
$ \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \vec{v}})= 0 $
da cui deriva $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = costante $. Essendo dato che $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $ è funzione soltanto della velocità, ne segue anche che:
$ \vec{v}= costante $
E con questo il Landau conclude di aver dimostrato, a partire dalla definizione di sistema inerziale e delle sue proprietà (spazio omogeneo, isotropo e tempo omogeneo), il "principio di inerzia".
A me è chiaro tutto meno che l'ultimo passaggio, quello fondamentale. Ovvero, come fa il Landau a dimostrare che dalla costanza di $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} $ derivi la costanza di $ \vec{v} $? Proprio non lo capisco.
3) L'ultimo dubbio è legato ad una considerazione che il testo fa, e che mi è abbastanza chiara stavolta, ma che preferirei venisse formalizzata e dimostrata matematicamente per bene anche se è abbastanza intuitiva.
A pag. 36 il Landau definisce infatti la Lagrangiana di un sistema isolato di punti materiali come di consueto:
$ L = \sum_{a}\frac{m_a*(v_a)^2}{2} - U(\vec{r_1},\vec{r_2},...) $
dove gli $ \vec{r_i} $ sono ovviamente i raggi vettori degli i-esimi punti.
Il testo prosegue dicendo:
Il fatto, che l'energia potenziale $U$ dipenda soltanto dalla distribuzione di tutti i punti materiali in un medesimo istante di tempo, significa che il cambiamento della posizione di un punto si ripercuote istantaneamente su tutti gli altri;
si può dire che l'interazione si "propaga" istantaneamente. Questo carattere è inevitabile in meccanica classica; ciò deriva direttamente dai postulati fondamentali di quest'ultima, e cioè: tempo assoluto e principio di relatività di Galileo (ovvero l'invarianza delle equazioni di Lagrange rispetto alle trasformazioni di Galileo). Se l'interazione si propagasse non istantaneamente, bensì con una velocità finita, quest'ultima varierebbe nei differenti sistemi di riferimento (che si muovono l'uno rispetto all'altro); infatti l'esistenza del tempo assoluto comporta automaticamente che la regola comune di composizione delle velocità è applicabile in tutti i fenomeni. Ma in questo caso le leggi del moto di corpi interagenti sarebbero diverse nei diversi sistemi di riferimento (inerziali), cosa che sarebbe in contraddizione con il principio di relatività (di Galileo).
A me è chiaro e rimane intuitivo il fatto che se l'interazione non si trasferisse istantaneamente le leggi del moto non si conserverebbero, ma non mi viene in mente alcun modo per dimostrarlo matematicamente. Ovvero, c'è un modo che permette di dimostrare che le equazioni di Lagrange dello stesso sistema isolato di punti materiali sono "formalmente" diverse tra i due sistemi di riferimento inerziali se l'interazione si trasferisse a velocità finita? Come si potrebbe dimostrare matematicamente?
Grazie mille a chi avrà il coraggio di rispondermi.
Risposte
Scrivo un altro messaggio per non far cadere nel dimenticatoio questa discussione, nella speranza che qualcuno possa risolvere (anche solo parzialmente) i miei dubbi. Grazie. 
1- Le considerazioni 1 e 2 ti portano ad avere un'equazione differenziale del tipo
$ a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{a}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{a}}] + b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{b}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{b}}]=0 $
quindi se $ a = b $ queste si semplificano altrimenti ottieni equazioni diverse
2- $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = costante $ $ L $ dipende solo dal modulo della velocita' quindi la derivata costante dipende solo dalla velocita' e quindi la velocita' sara' costante
3- Mi sembra una perdita di tempo
$ a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{a}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{a}}] + b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{b}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{b}}]=0 $
quindi se $ a = b $ queste si semplificano altrimenti ottieni equazioni diverse
2- $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = costante $ $ L $ dipende solo dal modulo della velocita' quindi la derivata costante dipende solo dalla velocita' e quindi la velocita' sara' costante
3- Mi sembra una perdita di tempo
"MementoMori":
1- Le considerazioni 1 e 2 ti portano ad avere un'equazione differenziale del tipo
$ a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{a}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{a}}] + b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{b}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{b}}]=0 $
quindi se $ a = b $ queste si semplificano altrimenti ottieni equazioni diverse
2- $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = costante $ $ L $ dipende solo dal modulo della velocita' quindi la derivata costante dipende solo dalla velocita' e quindi la velocita' sara' costante.
3- Mi sembra una perdita di tempo
Grazie per la risposta... sei stato molto gentile, ma sinceramente non capisco per quanto riguarda la 1. Le considerazioni (1) e (2), qualunque siano $ a $ e $ b $ ti dovrebbero portare ad ottenere le stesse equazioni del moto per $ L'= a*L_A + B*L_B $ rispetto a qualunque coordinata generalizzata $ q_A $ o $ q_B $. Mi pare di averlo dimostrato, insomma dovremmo avere:
$ a[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_A}{\partial \dot{q_{a}}}) - \frac{\partial L_A}{\partial q_{a}}] = 0 $
$b[\frac{d}{dt}( \frac{\partial L_B}{\partial \dot{q_{b}}}) - \frac{\partial L_B}{\partial q_{b}}]=0 $
Dove brutalmente puoi semplificare le costanti a e b qualunque esse siano. Perciò anche se a e b sono diverse le equazioni del moto rimangono identiche.
Non riesco a capire. Davvero.
Per quanto riguarda la 2 credo invece di aver capito tutto.
Tu sai per ipotesi che $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = costante $
Sappiamo però che $ L=L(v^2) $ dunque anche la derivata è una funzione di $ v^2 $, ovvero:
$ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{\partial L(v^2)}{\partial \vec{v}} = costante $
Faccio la derivata della funzione composta:
$ \frac{\partial L(v^2)}{\partial \vec{v}} = \frac{\partial L}{\partial v^2}(v^2)\frac{\partial v^2}{\partial \vec{v}} = costante $
Ricordandoci che:
$ \frac{\partial v^2}{\partial \vec{v}} = \frac{\partial (\vec{v}*\vec{v})}{\partial \vec{v}} = 2\vec{v} $
Di conseguenza:
$ \frac{\partial L}{\partial v^2}(v^2) 2\vec{v} = costante $
Ma prima abbiamo detto che $ \frac{\partial L}{\partial \vec{v}}(v^2) = costante $, che banalmente implica $ \frac{\partial L}{\partial v^2}(v^2) = costante $ anche perché se una variazione della velocità non genera variazioni della funzione Lagrangiana, non le può generare nemmeno un cambio di modulo che poi, sarebbe equivalente ad cambiamento della velocità.
Di conseguenza $ \vec{v} = costante $
Dimmi se il procedimento è corretto. Perdonami l'abuso di notazione, ma mi è parso opportuno fare tutti i passaggi per evitare fraintendimenti. Comunque mi pare abbastanza lineare. Almeno un dubbio penso di essermelo definitivamente levato.
3) Per quanto riguarda la 3, lo so... in effetti pare una perdita di tempo, però davvero non riesco a convincermi del fatto che sia vera nonostante sia un concetto abbastanza intuitivo. Tutto questo accade perché non riesco davvero a scrivermi la lagrangiana rispetto ad un potenziale la cui "informazione" viaggia a velocità finita. In effetti questa è una delle grandi differenze tra la meccanica classica dove l'interazione si trasmette istantaneamente e la relatività dove ciò, ovviamente, non accade.
Comunque sei stato gentilissimo.
"IndividuoX":
Non riesco a capire. Davvero.
La proprietà di additività:
$[lim_(d_(AB)->+oo)L_(AB)=L_A+L_B]$
è imposta proprio per eliminare l'indeterminatezza di cui parli. A questo punto, moltiplicando le funzioni di Lagrange per delle costanti arbitrarie, la proprietà di additività assume il seguente aspetto:
$[lim_(d->+oo)c_(AB)L_(AB)=c_AL_A+c_BL_B]$
e quindi, necessariamente:
$[c_(AB)lim_(d->+oo)L_(AB)=c_AL_A+c_BL_B] rarr$
$rarr [c_(AB)(L_A+L_B)=c_AL_A+c_BL_B] rarr$
$rarr [(c_(AB)-c_A)L_A+(c_(AB)-c_B)L_B=0] rarr$
$rarr [c_(AB)=c_A=c_B]$
Insomma, proprio imponendo la proprietà di additività, le funzioni di Lagrange possono essere moltiplicate solo per la stessa costante, ciò che corrisponde alla scelta delle unità di misura. Senza imporla, le tue argomentazioni non farebbero una grinza. Tra l'altro, al netto della formalizzazione di cui sopra, non ho fatto altro che riportare le parole di Landau.
"anonymous_0b37e9":
[quote="IndividuoX"]
Non riesco a capire. Davvero.
La proprietà di additività:
$[lim_(d_(AB)->+oo)L_(AB)=L_A+L_B]$
è imposta proprio per eliminare l'indeterminatezza di cui parli. A questo punto, moltiplicando le funzioni di Lagrange per delle costanti arbitrarie, la proprietà di additività assume il seguente aspetto:
$[lim_(d->+oo)c_(AB)L_(AB)=c_AL_A+c_BL_B]$
e quindi, necessariamente:
$[c_(AB)lim_(d->+oo)L_(AB)=c_AL_A+c_BL_B] rarr$
$rarr [c_(AB)(L_A+L_B)=c_AL_A+c_BL_B] rarr$
$rarr [(c_(AB)-c_A)L_A+(c_(AB)-c_B)L_B=0] rarr$
$rarr [c_(AB)=c_A=c_B]$
Insomma, proprio imponendo la proprietà di additività, le funzioni di Lagrange possono essere moltiplicate solo per la stessa costante, ciò che corrisponde alla scelta delle unità di misura. Senza imporla, le tue argomentazioni non farebbero una grinza. Tra l'altro, al netto della formalizzazione di cui sopra, non ho fatto altro che riportare le parole di Landau.[/quote]
Adesso ho capito. E' un'imposizione che si fa a priori sulla lagrangiana per evitare di moltiplicare le componenti per costanti arbitrarie. E questa cosa poi permette in definitiva di scegliere l'unità di misura.
Io pensavo che tale proprietà fosse invece qualcosa da dimostrare a partire dalla definizione di lagrangiana, ma non è così e adesso è tutto molto più chiaro. Grazie.
P.S.
Domandina: anche secondo te il 3° dubbio è una perdita di tempo? Insomma, non riesco a capire come si potrebbe scrivere una lagrangiana nel caso in cui il potenziale "viaggiasse" a velocità finita... in modo da dimostrare che per trasformazioni di Galileo tra sistemi inerziali le equazioni del moto non siano invarianti.
"IndividuoX":
... c'è un modo che permette di dimostrare che le equazioni di Lagrange dello stesso sistema isolato di punti materiali sono "formalmente" diverse tra i due sistemi di riferimento inerziali se l'interazione si trasferisse a velocità finita? Come si potrebbe dimostrare matematicamente?
Senza scomodare le interazioni nucleare e gravitazionale, non resta che considerare quella elettromagnetica. Le trasformazioni di Lorentz, quelle che rendono conto della velocità finita dell'interazione elettromagnetica, se applicate alla Lagrangiana classica, non fanno assumere lo stesso aspetto alle equazioni del moto in un qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Tuttavia, il procedimento tipicamente seguito in un corso di relatività è quello di mostrare che le trasformazioni di Galileo, quelle per le quali l'interazione elettromagnetica ha una velocità infinita, non fanno assumere lo stesso aspetto alle equazioni di Maxwell, per loro stessa natura relativistiche.
"IndividuoX":
Tutto questo accade perché non riesco davvero a scrivermi la lagrangiana rispetto ad un potenziale la cui "informazione" viaggia a velocità finita.
Si tratta della Lagrangiana relativistica. Se riuscissi a scriverla dopo aver letto il primo capitolo del primo volume (Meccanica) della collana di Landau saresti un fenomeno. Ad ogni modo, nella sezione 65 del secondo volume (Teoria dei campi) della stessa collana, intitolata "La Lagrangiana limitata ai termini del secondo ordine", si illustra quali correzioni apportare alla Lagrangiana classica per ottenere i risultati che deriverebbero dalla Lagrangiana relativistica, limitatamente ai termini del secondo ordine in $v/c$ per l'appunto, essendo $v$ la velocità di una carica qualsiasi. Insomma, ti stai addentrando in un terreno piuttosto insidioso dove, per ottenere delle risposte, è necessaria una notevole dose di comprensione e di esperienza.
"anonymous_0b37e9":
[quote="IndividuoX"]
... c'è un modo che permette di dimostrare che le equazioni di Lagrange dello stesso sistema isolato di punti materiali sono "formalmente" diverse tra i due sistemi di riferimento inerziali se l'interazione si trasferisse a velocità finita? Come si potrebbe dimostrare matematicamente?
Senza scomodare le interazioni nucleare e gravitazionale, non resta che considerare quella elettromagnetica. Le trasformazioni di Lorentz, quelle che rendono conto della velocità finita dell'interazione elettromagnetica, se applicate alla Lagrangiana classica, non fanno assumere lo stesso aspetto alle equazioni del moto in un qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Tuttavia, il procedimento tipicamente seguito in un corso di relatività è quello di mostrare che le trasformazioni di Galileo, quelle per le quali l'interazione elettromagnetica ha una velocità infinita, non fanno assumere lo stesso aspetto alle equazioni di Maxwell, per loro stessa natura relativistiche.
"IndividuoX":
Tutto questo accade perché non riesco davvero a scrivermi la lagrangiana rispetto ad un potenziale la cui "informazione" viaggia a velocità finita.
Si tratta della Lagrangiana relativistica. Se riuscissi a scriverla dopo aver letto il primo capitolo del primo volume (Meccanica) della collana di Landau saresti un fenomeno. Ad ogni modo, nella sezione 65 del secondo volume (Teoria dei campi) della stessa collana, intitolata "La Lagrangiana limitata ai termini del secondo ordine", si illustra quali correzioni apportare alla Lagrangiana classica per ottenere i risultati che deriverebbero dalla Lagrangiana relativistica, limitatamente ai termini del secondo ordine in $v/c$ per l'appunto, essendo $v$ la velocità di una carica qualsiasi. Insomma, ti stai addentrando in un terreno piuttosto insidioso dove, per ottenere delle risposte, è necessaria una notevole dose di comprensione e di esperienza.[/quote]
Grazie mille. Comunque certamente so che è qualcosa di molto difficile. Allora metto (per ora) da parte questo dubbio e cercherò di risolverlo quando avrò gli strumenti matematici e concettuali per farlo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo