Alcuni chiarimenti di fisica
Supponiamo di avere un'asta di lunghezza $l$ che ruota con velocità angolare costante, ed il suo centro $c$ scorre lungo l'asse x con velocità costante.
1) quali sono le equazioni del moto di un estremo dell'asta?
sistema di riferimento assoluto ${0,x,y}$
sistema di riferimento relativo ${0',x',y'}$
$v_c=costante$; $v_c(v,0,0)$; supponendo $x_c(0)=0$ $rarr$ $x_c(t)=v*t$
$v_theta=costante$; $v_theta(0,0,omega)$; supponendo $theta(0)=0$ $rarr$ $theta(t)=omega*t$
le equazioni di un estremo $E$ dell'asta sono:
${(x'_E(t)=l/2),(y'_E(t)=0))$ nel sistema di riferimeto relativo
E in quello assoluto?
${(x_E(t)=0*cos(omega*t)-x_c*sin(omega*t)),(y_E(t)=0*sin(omega*t)+x_c*cos(omega*t)))$ ma è sbagliato vero?
2)qual è l'accelerazione normale e tangenziale di $E$?
1) quali sono le equazioni del moto di un estremo dell'asta?
sistema di riferimento assoluto ${0,x,y}$
sistema di riferimento relativo ${0',x',y'}$
$v_c=costante$; $v_c(v,0,0)$; supponendo $x_c(0)=0$ $rarr$ $x_c(t)=v*t$
$v_theta=costante$; $v_theta(0,0,omega)$; supponendo $theta(0)=0$ $rarr$ $theta(t)=omega*t$
le equazioni di un estremo $E$ dell'asta sono:
${(x'_E(t)=l/2),(y'_E(t)=0))$ nel sistema di riferimeto relativo
E in quello assoluto?
${(x_E(t)=0*cos(omega*t)-x_c*sin(omega*t)),(y_E(t)=0*sin(omega*t)+x_c*cos(omega*t)))$ ma è sbagliato vero?
2)qual è l'accelerazione normale e tangenziale di $E$?
Risposte
Per prima cosa le coordinate del punto E nel sistema "fermo".
Nel seguito i simboli senza apice si intendono riferiti al sistema fermo, mentre quelli con apice riferiti al sistema in movimento.
$\vec r_{OE} = \vec r_{OC} + \vec r'_{CE}$
dove con r indico i vettori posizione.
$\vec r_{OE} = \vec r_{OC} + r'_{CEx}\vec u'_x + r'_{CEy}\vec u'_y$
$\vec r_{OE} = vt\vec u_x + \frac{l}{2}\vec u'_x$
con u e u' indico i versori (vettori unitari) nel sistema fisso e mobile rispettivamente.
$\vec u'_x = ( \vec u'_x \cdot \vec u_x )\vec u_x + ( \vec u'_x \cdot \vec u_y )\vec u_y = \cos \omega t\vec u_x + \sin \omega t\vec u_y$
da cui la relazione cercata:
$\vec r_{OE} = ( vt + \frac{l}{2}\cos \omega t )\vec u_x + \frac{l}{2}\sin \omega t\vec u_y$
Per calcolare l'accelerazione riparto dalla relazione di posizione
$\vec r_{OE} = vt\vec u_x + \frac{l}{2}\vec u'_x$
La velocità è la derivata rispetto al tempo del vettore posizione, mentre l'accelerazione è la derivata del vettore velocità. Riguardo ai versori occorre ricordare le seguenti relazioni:
$\frac{d}{dt}\vec u'_x = \omega \vec u'_y$
$\frac{d}{dt}\vec u'_y = - \omega \vec u'_x$
Derivando una prima volta si ha:
$\dot \vec r_{OE} = \vec v_E = v\vec u_x + \frac{l}{2}\omega \vec u'_y$
Derivando una seconda volta siha:
$\dot \vec v_E = \vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\vec u'_x$
Si vede che l'accelerazione nel sistema mobile è esclusivamente radiale, poiché è diretta verso l'origine C.
Nel sistema fisso invece occorre notare che l'accelerazione di cui sopra forma un angolo $\alpha$ rispetto alla congiungente all'origine O da cui l'accelerazione radiale:
$a_{Er} = - \frac{l}{2}\omega ^2\cos \alpha $
e l'accelerazione trasversale:
$a_{E\theta } = - \frac{l}{2}\omega ^2\sin \alpha$
Con un po' di geometria si ricava:
$\alpha = \omega t - \arctan [ \frac{\frac{l}{2}\sin \omega t}{vt + \frac{l}{2}\cos \omega t} ]$
Nel seguito i simboli senza apice si intendono riferiti al sistema fermo, mentre quelli con apice riferiti al sistema in movimento.
$\vec r_{OE} = \vec r_{OC} + \vec r'_{CE}$
dove con r indico i vettori posizione.
$\vec r_{OE} = \vec r_{OC} + r'_{CEx}\vec u'_x + r'_{CEy}\vec u'_y$
$\vec r_{OE} = vt\vec u_x + \frac{l}{2}\vec u'_x$
con u e u' indico i versori (vettori unitari) nel sistema fisso e mobile rispettivamente.
$\vec u'_x = ( \vec u'_x \cdot \vec u_x )\vec u_x + ( \vec u'_x \cdot \vec u_y )\vec u_y = \cos \omega t\vec u_x + \sin \omega t\vec u_y$
da cui la relazione cercata:
$\vec r_{OE} = ( vt + \frac{l}{2}\cos \omega t )\vec u_x + \frac{l}{2}\sin \omega t\vec u_y$
Per calcolare l'accelerazione riparto dalla relazione di posizione
$\vec r_{OE} = vt\vec u_x + \frac{l}{2}\vec u'_x$
La velocità è la derivata rispetto al tempo del vettore posizione, mentre l'accelerazione è la derivata del vettore velocità. Riguardo ai versori occorre ricordare le seguenti relazioni:
$\frac{d}{dt}\vec u'_x = \omega \vec u'_y$
$\frac{d}{dt}\vec u'_y = - \omega \vec u'_x$
Derivando una prima volta si ha:
$\dot \vec r_{OE} = \vec v_E = v\vec u_x + \frac{l}{2}\omega \vec u'_y$
Derivando una seconda volta siha:
$\dot \vec v_E = \vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\vec u'_x$
Si vede che l'accelerazione nel sistema mobile è esclusivamente radiale, poiché è diretta verso l'origine C.
Nel sistema fisso invece occorre notare che l'accelerazione di cui sopra forma un angolo $\alpha$ rispetto alla congiungente all'origine O da cui l'accelerazione radiale:
$a_{Er} = - \frac{l}{2}\omega ^2\cos \alpha $
e l'accelerazione trasversale:
$a_{E\theta } = - \frac{l}{2}\omega ^2\sin \alpha$
Con un po' di geometria si ricava:
$\alpha = \omega t - \arctan [ \frac{\frac{l}{2}\sin \omega t}{vt + \frac{l}{2}\cos \omega t} ]$
grazie per l'aiuto! 
$\dot \vec v_E = \vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\vec u'_x$ $->$ $\vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\*(cos(w*t)*\vec u_x\+sin(w*t)*\vec u_y\)$ è l'accelerazione nel sistema fisso che poi si può scomporre in una componente tangente e una normale alla traiettoria, giusto?
Siccome so che in generale $\vec a\= a_T * \vec u_T\+ a_N * \vec u_N\ $ allora $\vec a_E = a_(Er)+ a_ (E theta)$ ?
Io avrei fatto così : $a_T= d/dt* v(t)= - \frac{l}{2}\omega ^2\*cos(w*t)*\vec u_x\ - \frac{l}{2}\omega ^2\*sin(w*t)*\vec u_y\ $;
se voglio il modulo dell'acc. trasversa $|a_T|=sqrt(( \frac{l}{2}\omega ^2\*cos(w*t))^2 + (\frac{l}{2}\omega ^2\*sin(w*t))^2)$; quindi è sbagliato?
Dopo l'acc. normale $a_N=(v(t)^2)/rho$ con $rho$ raggio di curvatura...
$\dot \vec v_E = \vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\vec u'_x$ $->$ $\vec a_E = - \frac{l}{2}\omega ^2\*(cos(w*t)*\vec u_x\+sin(w*t)*\vec u_y\)$ è l'accelerazione nel sistema fisso che poi si può scomporre in una componente tangente e una normale alla traiettoria, giusto?
Siccome so che in generale $\vec a\= a_T * \vec u_T\+ a_N * \vec u_N\ $ allora $\vec a_E = a_(Er)+ a_ (E theta)$ ?
Io avrei fatto così : $a_T= d/dt* v(t)= - \frac{l}{2}\omega ^2\*cos(w*t)*\vec u_x\ - \frac{l}{2}\omega ^2\*sin(w*t)*\vec u_y\ $;
se voglio il modulo dell'acc. trasversa $|a_T|=sqrt(( \frac{l}{2}\omega ^2\*cos(w*t))^2 + (\frac{l}{2}\omega ^2\*sin(w*t))^2)$; quindi è sbagliato?
Dopo l'acc. normale $a_N=(v(t)^2)/rho$ con $rho$ raggio di curvatura...
"moxetto":
Io avrei fatto così : $a_T= d/dt* v(t)= - \frac{l}{2}\omega ^2\*cos(w*t)*\vec u_x\ - \frac{l}{2}\omega ^2\*sin(w*t)*\vec u_y\ $
Io avevo indicato accelerazioni radiali e trasversali, che sono cose diverse da quelle che mi hai chiesto (chiedo scusa). Venendo invece alle accelerazioni tangenziali e normali alla traiettoria nel sistema assoluto, la tua espressione della accelerazione tangenziale sarebbe giusta se tu l'avessi ricavata lavorando sul modulo della velocità, ma poi a secondo membro vedo una espressione vettoriale e allora non capisco.
Io procederei così.
$\vec v_E = v\vec u_x + \frac{l}{2}\omega \vec u'_y = v\vec u_x + \frac{l}{2}\omega ( - \sin \omega t\vec u_x + \cos \omega t\vec u_y ) = ( v - \frac{l}{2}\omega \sin \omega t )\vec u_x + \frac{l}{2}\omega \cos \omega t\vec u_y$
$v_(Ex) = v - \frac{l}{2}\omega \sin \omega t$
$v_(Ey) = \frac{l}{2}\omega \cos \omega t$
$v_E = \sqrt (v_{Ex}^2 + v_{Ey}^2) $
$\vec u_T = \frac{\vec v_E}{v_E} = \frac{v_{Ex}}{v_E}\vec u_x + \frac{v_{Ey}}{v_E}\vec u_y$
$\vec u_N = - \frac{v_{Ey}}{v_E}\vec u_x + \frac{v_{Ex}}{v_E}\vec u_y$
$\vec a_T = a_T\vec u_T = \frac{dv_E}{dt}\vec u_T$
$\vec a_N = a_N\vec u_N = \frac{v_E^2}{\rho }\vec u_N$
A questo punto se vuoi procedere tu... io non posso proprio, il medico mi ha vietato stress troppo intensi
Giusto giusto dovevo considerare il modulo
Quindi $|v_E|=sqrt((v-l/2omegasinomegat)^2+(l/2omegacosomegat)^2)=sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)$
trascurando i conti (che magari sono sbagliati)
$\vec a_T\=d/dt(v_E)\vec u_t\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_t\
ora $vec u_t$ è uguale a quello che hai scritto tu (però non ho capito bene perchè!) quindi la componente x è la
componente x della velocità sul modulo della velocità e quella y ecc...
$\vec a_T\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_t\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))*((v-l/2omegasinomegat)/((sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_x\+((l/2omegacosomegat)/(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_y\)$
poi faccio la derivata e moltiplico
$\vec a_T\= (-(lvomega^2cos()omegat)/(2*sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_T\=(-(lvomega^2cos()omegat)/(2*sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))*((v-l/2omegasinomegat)/((sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_x\+((l/2omegacosomegat)/(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_y\)$
se voglio il modulo faccio la radice della somma delle componeti al quadrato! adesso è esatto fin qua?
Come faccio invece per trovare $rho$?
Posso fare direttamente $ a_N\vec u_N\=\vec a\- a_T \vec u_T\?
Però devo considerare sempre i moduli e quindi così avrò solo il modulo dell'acc. normale?
Quindi $|v_E|=sqrt((v-l/2omegasinomegat)^2+(l/2omegacosomegat)^2)=sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)$
trascurando i conti (che magari sono sbagliati)
$\vec a_T\=d/dt(v_E)\vec u_t\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_t\
ora $vec u_t$ è uguale a quello che hai scritto tu (però non ho capito bene perchè!) quindi la componente x è la
componente x della velocità sul modulo della velocità e quella y ecc...
$\vec a_T\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_t\=d/dt(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))*((v-l/2omegasinomegat)/((sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_x\+((l/2omegacosomegat)/(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_y\)$
poi faccio la derivata e moltiplico
$\vec a_T\= (-(lvomega^2cos()omegat)/(2*sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_T\=(-(lvomega^2cos()omegat)/(2*sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))*((v-l/2omegasinomegat)/((sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2)))\vec u_x\+((l/2omegacosomegat)/(sqrt(v^2-lvomegasinomegat+l^2/4omega^2))\vec u_y\)$
se voglio il modulo faccio la radice della somma delle componeti al quadrato! adesso è esatto fin qua?
Come faccio invece per trovare $rho$?
Posso fare direttamente $ a_N\vec u_N\=\vec a\- a_T \vec u_T\?
Però devo considerare sempre i moduli e quindi così avrò solo il modulo dell'acc. normale?
"moxetto":
ora $vec u_t$ è uguale a quello che hai scritto tu (però non ho capito bene perchè!)
Quello che ho scritto io è che il versore tangente alla traiettoria è un vettore esattamente parallelo al vettore velocità, ma di modulo unitario. Allora se prendo le stesse componenti della velocità e le divido per il modulo della velocità ottengo proprio un vettore parallelo ad essa ma di lunghezza unitaria, ovvero il suddetto versore.
Il versore normale invece è quel vettore di lunghezza unitaria che dà prodotto scalare zero con il versore tangente.
"moxetto":
Come faccio invece per trovare $rho$?
Facendo qualche valutazione geometrica si vede che $\frac(1)(\rho_E)=|\frac(d\vecU_T)(dt)|\frac(1)(v_E)$
Se invece ho una situazione di questo tipo: il centro dell'asta si muove su una circonferenza di raggio r con velocita $v=r*omega$ e l'asta è di lungnezza $L=2*r$ e ruota in senso orario intorno al proprio centro.
L'equazione dell'estremo E sono $x_E=2*r*sin(omega*t)$, $y_E=2*r*cos(omega*t)$? Gli angoli a e b restano sempre uguali o devo supporre delle determinate condizioni iniziali? Io nel ricavare l'equazione ho supposto che rimanessero sempre uguali.
L'equazione dell'estremo E sono $x_E=2*r*sin(omega*t)$, $y_E=2*r*cos(omega*t)$? Gli angoli a e b restano sempre uguali o devo supporre delle determinate condizioni iniziali? Io nel ricavare l'equazione ho supposto che rimanessero sempre uguali.
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