AIUTO: MECCANICA RAZIONALE
Salve,
il mio problema è il seguente:
una carrucola priva di massa è appesa al soffitto tramite una molla, alla carrucola sono applicate due masse m1 e m2, devo descrivere la dinamica del sistema. Io ho pensato di utilizzare un sistema di riferimento solidale alla carrucola, ma poi ho delle difficoltà nel proseguire.
Grazie in anticipo per l'aiuto
il mio problema è il seguente:
una carrucola priva di massa è appesa al soffitto tramite una molla, alla carrucola sono applicate due masse m1 e m2, devo descrivere la dinamica del sistema. Io ho pensato di utilizzare un sistema di riferimento solidale alla carrucola, ma poi ho delle difficoltà nel proseguire.
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
ci sono due gradi di libertà, l'elongazione della molla alla quale è appesa la carrucola (chiamiamola h) e la distanza di m1 dalla carrucola (chiamiamola y).
la distanza di m2 dalla carrucola è univocamente determinata da l-y (supposto il filo inestensibile di lunghezza l)
quindi scriviamo la lagrangiana L=T-V:
se x1=h+y e x2=h+l-y sono le posizioni delle masse misurate dal soffitto abbiamo
$T(h,y)=1/2 (m_1 dot x_1 ^2 + m_2 dot x_2 ^2) = 1/2 (m_1 (doth+doty) ^2 + m_2 (doth-doty) ^2)$
$V(h,y)=-m_1gx_1-m_2gx_2+1/2 k h^2=-m_1g(h+y)-m_2g(h+l-y)+1/2 k h^2$
risolvi l'equazione di Lagrange e il gioco è fatto (controlla anche eventuali mie sviste
)
ciao e buona giornata
la distanza di m2 dalla carrucola è univocamente determinata da l-y (supposto il filo inestensibile di lunghezza l)
quindi scriviamo la lagrangiana L=T-V:
se x1=h+y e x2=h+l-y sono le posizioni delle masse misurate dal soffitto abbiamo
$T(h,y)=1/2 (m_1 dot x_1 ^2 + m_2 dot x_2 ^2) = 1/2 (m_1 (doth+doty) ^2 + m_2 (doth-doty) ^2)$
$V(h,y)=-m_1gx_1-m_2gx_2+1/2 k h^2=-m_1g(h+y)-m_2g(h+l-y)+1/2 k h^2$
risolvi l'equazione di Lagrange e il gioco è fatto (controlla anche eventuali mie sviste
)ciao e buona giornata
Grazie per la risoluzione, ma se volessi studiarne la dinamica con un approccio non lagrangiano, in pratica come dovrei operare? Grazie di nuovo
"melpo":
se volessi studiarne la dinamica con un approccio non lagrangiano, in pratica come dovrei operare?
io non so se ne verrei fuori... se utilizzi un sistema solidale alla carrucola devi considerare le forze apparenti sulle masse date dall'accelerazione del sistema di riferimento non inerziale, accelerazione che però non è indipendente dalle masse... è un casino che rischia di diventare un circolo vizioso.
ma ti è chiesto esplicitamente di utililizzare un approccio non lagrangiano? Lagrange è utile appunto per produrre le equazioni di moto in una via sciolta, why not?
Ti spiego, il mio Prof a ricevimento mi ha consigliato di procedere così: ovvero di considerare un sistema solidale alla carrucola. Tu hai perfettamente ragione ma se all'esame me lo chiedesse, sarebbe un pò difficile come hai detto tu risolverlo non lagrangianamente parlando.
Cioè è più una sorta di esercizio guida qualora mi trovi in situazioni simili.
Tu che ne pensi se considerassi questo sistema solidale come "baricentrico", ovvero che durante il moto mantenga gli assi paralleli a se stesso, di forza apparente ci sarebbe solo quela dovuta all'accelerazione del baricentro ma provando mi blocco comunque.
Cioè è più una sorta di esercizio guida qualora mi trovi in situazioni simili.
Tu che ne pensi se considerassi questo sistema solidale come "baricentrico", ovvero che durante il moto mantenga gli assi paralleli a se stesso, di forza apparente ci sarebbe solo quela dovuta all'accelerazione del baricentro ma provando mi blocco comunque.
Facendo due conti veloci, prendendo un sistema fisso rispetto alla carrucola e scrivendo le equazioni del moto per le due masse e per la carrucola stessa, essendo $z$ lo spostamento assoluto della carrucola dalla posizione di equilibrio ed $delta$ la freccia statica della molla ed $y$ lo spostamento relativo della massa $m_1$ positivo se verso il basso:
${(m_1g-T-m_1\ddotz=m_1\ddoty),(m_2g-T-m_2\ddotz=-m_2\ddoty),(2T-k(z+\delta)=0),(k\delta=(m_1+m_2)g):}=>{((m_1-m_2)/2g-k/2z-m_1\ddotz=m_1ddoty),((m_2-m_1)/2g-k/2z-m_2\ddotz=-m_2\ddoty):}$
Se non ho fatto errori questo dovrebbe essere il sistema risolutivo...
${(m_1g-T-m_1\ddotz=m_1\ddoty),(m_2g-T-m_2\ddotz=-m_2\ddoty),(2T-k(z+\delta)=0),(k\delta=(m_1+m_2)g):}=>{((m_1-m_2)/2g-k/2z-m_1\ddotz=m_1ddoty),((m_2-m_1)/2g-k/2z-m_2\ddotz=-m_2\ddoty):}$
Se non ho fatto errori questo dovrebbe essere il sistema risolutivo...
Una ulteriore prova che convalida la mia soluzione è questa: prova a pensare le due masse saldate alla carrucola, avresti un corpo infinitamente rigido, quindi $z\ddoty=0$. A quel punto, sommando membro a membro le eqauzioni che ho lasciato poco sopra ottieni:
$kz+(m_1+m_2)\ddotz=0$ il che è formalmente equivalente alla: $kx+mx=0$ la più semplice eqauzione differenziale ad un grado di libertà (massa molla)...
$kz+(m_1+m_2)\ddotz=0$ il che è formalmente equivalente alla: $kx+mx=0$ la più semplice eqauzione differenziale ad un grado di libertà (massa molla)...
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