Aiuto esercizio relatività ristretta
Ciao a tutti, sono alle prese con un eserzio e credo di non averlo impostato male, ma non riesco a portarlo a termine, l'esercizio è questo:
Un mesone $\pi$ carico $(text{massa a riposo} \ \ m_0(\pi)=273 m(e^-) )$ a riposo, decade in un neutrino $(m_0(\nu)=0)$ e in un mesone $\mu$
$(m_0(\mu)=207 m(e^-) )$. Trovare le energie cinetiche del neutrino e del mesone $\mu$
Allora dato che abbiamo in due incognite ho pensato di trovare 2 equazioni: la conservazione dell'energia e della quantità di moto, quindi :
$E_i=m_0(\pi)c^2=m_0(\mu)c^2+K(\mu)+K(\nu)$
per la quantità di moto però non so bene come trovare qualcosa in cui compaiano le mie incognite, per il momento ho solo scritto:
$p_i=0 => p(\mu)=p(\nu)$, ma ora nel caso sia corretto non so come "ficcarci" le energie cinetiche nell'espressione della conservazione della $p$.
Qualcuno mi da una mano? o se ho sbagliato eventualmente mi corregge? Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Un mesone $\pi$ carico $(text{massa a riposo} \ \ m_0(\pi)=273 m(e^-) )$ a riposo, decade in un neutrino $(m_0(\nu)=0)$ e in un mesone $\mu$
$(m_0(\mu)=207 m(e^-) )$. Trovare le energie cinetiche del neutrino e del mesone $\mu$
Allora dato che abbiamo in due incognite ho pensato di trovare 2 equazioni: la conservazione dell'energia e della quantità di moto, quindi :
$E_i=m_0(\pi)c^2=m_0(\mu)c^2+K(\mu)+K(\nu)$
per la quantità di moto però non so bene come trovare qualcosa in cui compaiano le mie incognite, per il momento ho solo scritto:
$p_i=0 => p(\mu)=p(\nu)$, ma ora nel caso sia corretto non so come "ficcarci" le energie cinetiche nell'espressione della conservazione della $p$.
Qualcuno mi da una mano? o se ho sbagliato eventualmente mi corregge? Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Risposte
Questo esercizio mi lascia perplesso : chiede l'energia cinetica del neutrino. Ma il neutrino ha massa nulla, ha velocità $c$ come il fotone, non ha un riferimento di quiete, quindi non ha energia di riposo, nel senso che si dà a tale energia per particelle materiali.
Insomma, si può parlare di "energia totale" del neutrino, ma non si può scinderla in energia di quiete più energia cinetica, secondo me.
Il 4-vettore energia impulso per il neutrino, come per il fotone, è dato da : $vecP = P^\mu = (|p|, \vecp)$ , e risulta :
$P^\muP_\mu = 0 $ .
D'altronde l'espressione generale dell'energia relativistica, per una particella di massa $m$ e quantità di moto $p$ é :
$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$
e perciò quando $m = 0$ l'energia è uguale alla quantità di moto : $E = pc$.
Perciò, bisogna ragionare sui valori di energia delle particelle che sono stati dati. Ma non mi è ancora chiaro come.
Insomma, si può parlare di "energia totale" del neutrino, ma non si può scinderla in energia di quiete più energia cinetica, secondo me.
Il 4-vettore energia impulso per il neutrino, come per il fotone, è dato da : $vecP = P^\mu = (|p|, \vecp)$ , e risulta :
$P^\muP_\mu = 0 $ .
D'altronde l'espressione generale dell'energia relativistica, per una particella di massa $m$ e quantità di moto $p$ é :
$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$
e perciò quando $m = 0$ l'energia è uguale alla quantità di moto : $E = pc$.
Perciò, bisogna ragionare sui valori di energia delle particelle che sono stati dati. Ma non mi è ancora chiaro come.
Io risolverei questo sistema:
$\{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)^2/c^2=E_(\mu)^2/c^2-m_(\mu)^2c^2):}$
Quindi:
$\{(K_(\nu)=E_(\nu)),(K_(\mu)=E_(\mu)-m_(\mu)c^2):}$
P.S.
Ho corretto, avevo dimenticato un quadrato. La seconda equazione si ottiene imponendo, per la conservazione dell'impulso, $|vecp_(\nu)|^2=|vecp_(\mu)|^2$ ed esprimendola tramite le norme invarianti.
$\{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)^2/c^2=E_(\mu)^2/c^2-m_(\mu)^2c^2):}$
Quindi:
$\{(K_(\nu)=E_(\nu)),(K_(\mu)=E_(\mu)-m_(\mu)c^2):}$
P.S.
Ho corretto, avevo dimenticato un quadrato. La seconda equazione si ottiene imponendo, per la conservazione dell'impulso, $|vecp_(\nu)|^2=|vecp_(\mu)|^2$ ed esprimendola tramite le norme invarianti.
Ci deve essere conservazione della quantità di moto e dell' energia, ovvero del 4-impulso, chiaramente.
Io stavo per dire questo : la differenza tra le energie date diventa tutta energia del neutrino, e quindi è nota la quantità di moto del neutrino, proprio perché : $E_\nu = pc$ .
La conservazione della quantità di moto fa il resto.
gordnbrn , spiega un po' le tue equazioni. Mi sembra che nella seconda del primo sistema ci sia qualcosa che non quadra dimensionalmente, perché $(E/c)^2$ ha le dimensioni di una quantità di moto al quadrato, mentre l'ultimo termine è una energia.
Poi, non ha senso dire che il neutrino ha energia cinetica uguale all'energia totale, se con $K_\nu = E_\nu$ intendi questo. L'energia del neutrino è energia totale , e basta.
Io stavo per dire questo : la differenza tra le energie date diventa tutta energia del neutrino, e quindi è nota la quantità di moto del neutrino, proprio perché : $E_\nu = pc$ .
La conservazione della quantità di moto fa il resto.
gordnbrn , spiega un po' le tue equazioni. Mi sembra che nella seconda del primo sistema ci sia qualcosa che non quadra dimensionalmente, perché $(E/c)^2$ ha le dimensioni di una quantità di moto al quadrato, mentre l'ultimo termine è una energia.
Poi, non ha senso dire che il neutrino ha energia cinetica uguale all'energia totale, se con $K_\nu = E_\nu$ intendi questo. L'energia del neutrino è energia totale , e basta.
"navigatore":
Poi, non ha senso dire che il neutrino ha energia cinetica uguale all'energia totale, se con $K_\nu = E_\nu$ intendi questo. L'energia del neutrino è energia totale , e basta.
Concordo. Ma che colpa ne ho se l'esercizio parla di energia cinetica? Io lo risolverei così, intendendo energia totale.
Grazie a entrambi sia per la risoluzione dell'esercizio che per il chiarimento sull'energia del neutrino, ma appunto era semplicemente "scritto male" 'esercizio.
Non hai alcuna colpa . Comunque l'ho trovato , questo è l'esercizio 3.36 del Resnick "Introduzione alla RR" . I risultati riportati sul libro sono:
$E_\nu = 29.58 MeV$
$E_\mu = 4.22 MeV $
Controllate un po' se tornano.
$E_\nu = 29.58 MeV$
$E_\mu = 4.22 MeV $
Controllate un po' se tornano.
Io tendo a non fare i calcoli, comunque ora che hai dato i risultati provo a vedere se viene, grazie.
Piccola OT: consiglieresti quel libro? è quello che pensavo di prendere in vista di un eventuale orale per studiare la relatività
Piccola OT: consiglieresti quel libro? è quello che pensavo di prendere in vista di un eventuale orale per studiare la relatività
$\{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)^2/c^2=E_(\mu)^2/c^2-m_(\mu)^2c^2):} rarr \{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)-E_(\mu)=-m_(\mu)^2/m_(\pi)c^2):} rarr \{(E_(\nu)=(m_(\pi)^2-m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2),(E_(\mu)=(m_(\pi)^2+m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2):} rarr \{(K_(\nu)=(m_(\pi)^2-m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2),(K_(\mu)=(m_(\pi)-m_(\mu))^2/(2m_(\pi))c^2):}$
A me risulta: $\{(m_(\pi)=139.6 (Mev)/c^2),(m_(\mu)=105.7 (Mev)/c^2):}$
Mi sembra che torni.
P.S.
Quali valori hai messo nella consegna?
A me risulta: $\{(m_(\pi)=139.6 (Mev)/c^2),(m_(\mu)=105.7 (Mev)/c^2):}$
Mi sembra che torni.
P.S.
Quali valori hai messo nella consegna?
"angeloferrari":
Piccola OT: consiglieresti quel libro? è quello che pensavo di prendere in vista di un eventuale orale per studiare la relatività
Si, perché no ! Anche se è un po' vecchiotto , e usa il concetto di "massa relativistica" variabile con la velocità, mentre oggi è più appropriato usare il concetto di massa invariante.
Comunque ci sono tanti corsi e appunti in rete. Basta cercare.
"gordnbrn":
$\{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)^2/c^2=E_(\mu)^2/c^2-m_(\mu)^2c^2):} rarr \{(E_(\nu)+E_(\mu)=m_(\pi)c^2),(E_(\nu)-E_(\mu)=-m_(\mu)^2/m_(\pi)c^2):} rarr \{(E_(\nu)=(m_(\pi)^2-m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2),(E_(\mu)=(m_(\pi)^2+m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2):} rarr \{(K_(\nu)=(m_(\pi)^2-m_(\mu)^2)/(2m_(\pi))c^2),(K_(\mu)=(m_(\pi)-m_(\mu))^2/(2m_(\pi))c^2):}$
A me risulta: $\{(m_(\pi)=139.6 (Mev)/c^2),(m_(\mu)=105.7 (Mev)/c^2):}$
Mi sembra che torni.
P.S.
Quali valori hai messo nella consegna?
si i tuoi tornano, tuttavia io devo aver sbagliato qualcosina in quanto mi viene $E_\(mu)$ uguale alla tua $E_(\nu)$, probabilmente solo qualche distrazione, comunque grazie ancora per esseri messo a fare i passaggi
edit: tutto torna, i soliti segni meno dimenticati.
ok, thanks again.
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