Aiuto commutatori
Buonasera a tutti, vi chiedo un aiuto relativo al calcolo di un commutatore che ho trovato in un esercizio. E' il seguente:
$[1/r,PyLz]$
dove $r=sqrt((x^2)+(y^2)+(z^2))$, Py è la componente dell'operatore impulso lungo y ed Lz è la componente del momento angolare lungo z.
Fino ad ora ho operato solo con commutatori tra le componenti di r, p(impulso) ed L (momento angolare), ma incontrando r definito come sopra ho dei dubbi su come procedere.
Grazie in anticipo per le risposte!
$[1/r,PyLz]$
dove $r=sqrt((x^2)+(y^2)+(z^2))$, Py è la componente dell'operatore impulso lungo y ed Lz è la componente del momento angolare lungo z.
Fino ad ora ho operato solo con commutatori tra le componenti di r, p(impulso) ed L (momento angolare), ma incontrando r definito come sopra ho dei dubbi su come procedere.
Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
Vediamo se mi ricordo come si fa ... 
$ [1/r,PyLz] = - [P_y L_z, 1/r] = - P_y [L_z, 1/r] - [P_y, 1/r] L_z$
Fin qui nulla di che, è la solita regola dei commutatori $[AB,C] = A[B,C]+[A,C]B$
Per calcolo di $[L_z, 1/r]$, si potrebbe fare anche tutti i conti (cioé esprimere in termini di operatori posizione e impulso $L_z$, e stessa cosa per 1/r, e usare le regole di commutazione canoniche) ma direi che il commutatore è pari a zero per l'invarianza sotto rotazioni dell'operatore $r$.
Prova a verificarlo esplicitamente con i conti - ammetto la mia pigrizia - ma mi pare ragionevole.
Rimane il secondo commutatore:
$$
[P_y, 1/r] = -ih \frac{d}{dy}(1/r) = i h \frac{y}{r^3}
$$
per cui, in definitiva, direi:
$$
[1/r,P_y L_z] = - i h \frac{y}{r^3} L_z
$$
$ [1/r,PyLz] = - [P_y L_z, 1/r] = - P_y [L_z, 1/r] - [P_y, 1/r] L_z$
Fin qui nulla di che, è la solita regola dei commutatori $[AB,C] = A[B,C]+[A,C]B$
Per calcolo di $[L_z, 1/r]$, si potrebbe fare anche tutti i conti (cioé esprimere in termini di operatori posizione e impulso $L_z$, e stessa cosa per 1/r, e usare le regole di commutazione canoniche) ma direi che il commutatore è pari a zero per l'invarianza sotto rotazioni dell'operatore $r$.
Prova a verificarlo esplicitamente con i conti - ammetto la mia pigrizia - ma mi pare ragionevole.
Rimane il secondo commutatore:
$$
[P_y, 1/r] = -ih \frac{d}{dy}(1/r) = i h \frac{y}{r^3}
$$
per cui, in definitiva, direi:
$$
[1/r,P_y L_z] = - i h \frac{y}{r^3} L_z
$$
"Lampo1089":
Vediamo se mi ricordo come si fa ...
$ [1/r,PyLz] = - [P_y L_z, 1/r] = - P_y [L_z, 1/r] - [P_y, 1/r] L_z$
Fin qui nulla di che, è la solita regola dei commutatori $[AB,C] = A[B,C]+[A,C]B$
Per calcolo di $[L_z, 1/r]$, si potrebbe fare anche tutti i conti (cioé esprimere in termini di operatori posizione e impulso $L_z$, e stessa cosa per 1/r, e usare le regole di commutazione canoniche) ma direi che il commutatore è pari a zero per l'invarianza sotto rotazioni dell'operatore $r$.
Prova a verificarlo esplicitamente con i conti - ammetto la mia pigrizia - ma mi pare ragionevole.
Rimane il secondo commutatore:
$$
[P_y, 1/r] = -ih \frac{d}{dy}(1/r) = i h \frac{y}{r^3}
$$
per cui, in definitiva, direi:
$$
[1/r,P_y L_z] = - i h \frac{y}{r^3} L_z
$$
Grazie mille, molto chiaro!
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