Aiutino su problema QM

[Fedecart]

Mi trovo a dover risolvere un problema di quantistica, ma non so come fare! Speravo che qualcuno mi potesse dare un indizio, in modo da potermi sbloccare e proseguire da solo.

Abbiamo una particella quantistica di massa \(\displaystyle m \) in una buca di potenziale infinita. Il potenziale è \(\displaystyle 0 \) all'interno dell'intervallo \(\displaystyle ]-L,L[ \) ed infinito altrimenti.
Tralascio alcune domande iniziali alle quali sono riuscito a rispondere.
Dunque il problema chiede, supponiamo che all'istante \(\displaystyle t=0 \) il sistema si trovi nello stato \(\displaystyle \Psi(x) \) rappresentato dalla seguente funzione d'onda:
\(\displaystyle \Psi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{L}} \) in \(\displaystyle ]0,L[ \) e nulla altrove.
Determinare i possibili valori di un eventuale misura di energia e le rispettive probabilità.

Ora, io so che basta scrivere \(\displaystyle \Psi \) nella base di autofunzioni della buca di potenziale, ovvero
\(\displaystyle \Psi(x)=\sum_n c_n \phi_n \)
con \(\displaystyle \phi_n=\sqrt{\dfrac{1}{L}}\sin(\dfrac{n\pi}{2L}(X-L)) \)

E considerare solo i termini che compaiono nello sviluppo. I valori possibili di \(\displaystyle E \) sono gli \(\displaystyle E_n \) associati ai soli autostati \(\displaystyle n \) presenti nello sviluppo, e le probabilità sono date dal modulo quadro dei coefficienti \(\displaystyle c_n \) che compaiono nello sviluppo.
Le domande sono: come determinare quali termini tenere e quali no?
Ho l'impressione di doverli tenere tutti, in tal caso come determino i \(\displaystyle c_n \)?
Come posso annullare la parte sinistra della funzione d'onda? E' giusto che compaia una theta di Heviside per scrivere \(\displaystyle \Psi \) in forma compatta?

Grazie mille a chi mi da una mano od un suggerimento.


EDIT: forse ce l'ho fatta: è giusto dire che tengo solo le autofunzioni dispari (dal momento che psi è dispari), dunque quelle con n pari, e calcolare i \(\displaystyle c_n \) come \(\displaystyle (\phi_n,\phi) \), svolgendo poi l'integrale?
Oppure ancora forse calcolo direttamente i \(\displaystyle c_n \) in quel modo e vedo chi rimane e chi no...

[MBUnitn]

$C_n = | |^2 = int_0^L frac{1}{L^(1/2)}sin(frac{npi(x-L)}{2L}) frac{1}{L^(1/2)} dx = frac{4}{n^2pi^2}(cos(frac{npi}{2}) -1)^2$. Ogni $|C_n|^2$ è inferiore a 1 e la serie converge come $frac{1}{n^2}$, può andare?

[Fedecart]

Hai fatto un pò di confuzione tra chi è \(\displaystyle c_n \) e chi \(\displaystyle c_n^2 \), e guardando la catena di uguaglianze che hai scritto si ha che molte son proprio false. Però si capisce l'idea.
Grazie.

[elgiovo]

Si, il procedimento è quello. Proietti la tua funzione d'onda sulle \(\displaystyle \phi_n \) (sostanzialmente ne trovi lo sviluppo di Fourier) e determini i \(\displaystyle c_n \). Le energie che potresti trovare con una misura sono quelle relative alle \(\displaystyle \phi_n \) (che immagino tu conosca bene, è un caso ultra-standard) e le rispettive probabilità sono date da \(\displaystyle |c_n|^2 \).

[MBUnitn]

"Fedecart":Hai fatto un pò di confuzione tra chi è \(\displaystyle c_n \) e chi \(\displaystyle c_n^2 \), e guardando la catena di uguaglianze che hai scritto si ha che molte son proprio false. Però si capisce l'idea.
Grazie.

Si hai ragione, ho scritto di fretta. Ad ogni modo $c_n$ è l'integrale che ho scritto, pari a $$ la probabilità è $|c_n|^2$ che è l'ultima cosa che ho scritto nella catena di uguaglianze!

[Fedecart]

Grazie mille a tutti.
Mi disturbava il fatto che la funzione d'onda fosse non nulla solo in una certa zona, ma era molto più semplice del previsto! =)