Aiutatemi...propagazione di onde piane "piccole"
Salve a tutti,
non riesco ad applicare il bilancio della quantità di moto, al caso di un onda piana di piccola ampiezza generata ad esempio da un sistema pistone-cilindro, del tipo funzione gradino. Il caso è schematizzato nella figura seguente:
ponendomi per semplicità a "cavallo" dell'onda, usando dunque il relativo sistema di riferimento, scrivo la conservazione della
massa (e fin qui tutto bene), a questo punto devo scrivere anche il bilancio della q.m come da figura:
da quale equazione generale devo partire, come procedere?
grazie!
non riesco ad applicare il bilancio della quantità di moto, al caso di un onda piana di piccola ampiezza generata ad esempio da un sistema pistone-cilindro, del tipo funzione gradino. Il caso è schematizzato nella figura seguente:
ponendomi per semplicità a "cavallo" dell'onda, usando dunque il relativo sistema di riferimento, scrivo la conservazione della
massa (e fin qui tutto bene), a questo punto devo scrivere anche il bilancio della q.m come da figura:
da quale equazione generale devo partire, come procedere?
grazie!
Risposte
sempre in cerca di qualche anima buona, e disponibile!
Non è che sia chiaro al 100% quello che cerchi di fare (almeno per me...). Cos'è q.m ? Quantità di moto ?
L'onda dove si propaga ? D1 De aLe cosa sono ?
L'onda dove si propaga ? D1 De aLe cosa sono ?
si in effetti potevo esser più chiaro, cerco i provvedere: q.m è la quantità di moto, la prima figura rappresenta una situazione del tipo pistone-cilindro, dunque l'onda si propaga entro le pareti nel senso della freccia x; D1 e D2 sono le zone già perturbate dall'onda mentre le De rappresentano le zone ancora imperturbate, in mezzo a queste due zone ci sono le superfici discontinue C che rappresentano il fronte d'onda che avanza.
dimenticavo, aLe sono le velocità di propagazione dell'onda.
Le equazioni in quelle immagini sono l'equazione di continuità e l'equazione di bilancio della quantità di moto orizzontale, considerando un volume infinitesimo attorno alla discontinuità che si muove alla stessa velocità della discontinuità.
In quelle condizioni nel volume infinitesimo siamo in condizioni stazionarie, quindi se in esso entra da una faccia un fluido con una certa quantità di moto orizzontale in un tempo infinitesimo $dt$ e ne esce dall'altra faccia un fluido con una quantità di moto diversa sempre nel tempo $dt$ , allora la variazione di quantità di moto per unità di tempo deve essere data dalla risultante delle forze orizzontali agenti sulle superfici del volumetto (escludendo o trascurando la presenza di forze di volume).
La quantità di moto entrante è $rho_e a_{Le}^2 Sdt$, quella uscente è $(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2 Sdt$
per cui la variazione di quantità di moto orizzontale per unità di tempo è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S$
con $S$ superficie di ingresso e di uscita.
La risultante delle forze orizzontali è
$p_e S -(p_e + delta p)S$
quindi il bilancio di quantità di moto orizzontale è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2-rho_e a_{Le}^2 =-(p_e + delta p)+p_e$
che coincide con la seconda equazione, quella della quantità di moto,da te riportata.
Da queste equazioni eliminando gli infinitesimi di ordine superiore si ricava quanto deve valere la velocità di avanzamento del disturbo. Questo vale soltanto però se il disturbo induce variazioni infinitesime nella pressione e nella densità tra una parte e l'altra (come per esempio avviene per il propagarsi di un'onda sonora), altrimenti la velocità di propagazione sarebbe diversa, più alta in generale (è la propagazione di un'onda d'urto).
In quelle condizioni nel volume infinitesimo siamo in condizioni stazionarie, quindi se in esso entra da una faccia un fluido con una certa quantità di moto orizzontale in un tempo infinitesimo $dt$ e ne esce dall'altra faccia un fluido con una quantità di moto diversa sempre nel tempo $dt$ , allora la variazione di quantità di moto per unità di tempo deve essere data dalla risultante delle forze orizzontali agenti sulle superfici del volumetto (escludendo o trascurando la presenza di forze di volume).
La quantità di moto entrante è $rho_e a_{Le}^2 Sdt$, quella uscente è $(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2 Sdt$
per cui la variazione di quantità di moto orizzontale per unità di tempo è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S$
con $S$ superficie di ingresso e di uscita.
La risultante delle forze orizzontali è
$p_e S -(p_e + delta p)S$
quindi il bilancio di quantità di moto orizzontale è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2-rho_e a_{Le}^2 =-(p_e + delta p)+p_e$
che coincide con la seconda equazione, quella della quantità di moto,da te riportata.
Da queste equazioni eliminando gli infinitesimi di ordine superiore si ricava quanto deve valere la velocità di avanzamento del disturbo. Questo vale soltanto però se il disturbo induce variazioni infinitesime nella pressione e nella densità tra una parte e l'altra (come per esempio avviene per il propagarsi di un'onda sonora), altrimenti la velocità di propagazione sarebbe diversa, più alta in generale (è la propagazione di un'onda d'urto).
salve, grazie per l'aiuto, ciò che non mi è chiaro dopo la tua ottima spiegazione, è da quale equazione generale della conservazione della quantità di moto devo partire per ricavare l'equazione del prima e del dopo da te mostrate. In effetti io conosco nel caso come il nostro, la forma del bilancio della q.m per moti stazionari unidimensionali
(scusatemi per la notazione non so come mettere il pedice):
$ sum_(i = \1)^m Ai(rho i\cdot vec(v) i\cdot vec(n) i+ P i\cdot vec(n)i)+S $
dove questa volta le Ai sono le superfici, mentre la S indica la spinta totale del fluido sulle superfici impermeabili laterali del condotto,questa equazione nel caso di due superfici si semplifica e diventa:
$ (P 1 +rho 1\cdot v ^2 1)A1\cdot vec(n) 1+(P 2 +rho 2\cdot v ^2 2)A2\cdot vec(n) 2+S $
se dovessi usare questa forma, credo di poter interpretare ciò che tu chiami la risultante delle forze orizzontali con S,
ma non ho ben capito come fai ad ottenere questa risultante, ed inoltre credo debba essere considerata negativa quando diventa secondo membro dell'uguaglianza, giusto? comunque credo che il passo che mi manca sia come fai ad ottenere la risultante delle forze orizzontali, che io interpreto con S.
Grazie della pazienza, e della disponibilità.
(scusatemi per la notazione non so come mettere il pedice):
$ sum_(i = \1)^m Ai(rho i\cdot vec(v) i\cdot vec(n) i+ P i\cdot vec(n)i)+S $
dove questa volta le Ai sono le superfici, mentre la S indica la spinta totale del fluido sulle superfici impermeabili laterali del condotto,questa equazione nel caso di due superfici si semplifica e diventa:
$ (P 1 +rho 1\cdot v ^2 1)A1\cdot vec(n) 1+(P 2 +rho 2\cdot v ^2 2)A2\cdot vec(n) 2+S $
se dovessi usare questa forma, credo di poter interpretare ciò che tu chiami la risultante delle forze orizzontali con S,
ma non ho ben capito come fai ad ottenere questa risultante, ed inoltre credo debba essere considerata negativa quando diventa secondo membro dell'uguaglianza, giusto? comunque credo che il passo che mi manca sia come fai ad ottenere la risultante delle forze orizzontali, che io interpreto con S.
Grazie della pazienza, e della disponibilità.
A dire il vero non ho capito cosa non ti è chiaro.
La quantità di moto orizzontale che entra da destra nel tempo $dt$ nel volumetto considerato è:
$rho_e a_{Le}^2 Sdt$
quella che esca da sinistra è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2 Sdt$
Per cui la derivata rispetto al tempo della quantità di moto orizzontale (considerata positiva verso sinistra) è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S$
Le forze orizzontali che agiscono sul volumetto sono solo forze di pressione.
Sulla superficie di destra la forza è
$p_e S$
su quella di sinistra è:
$(p_e + delta p)S$
per cui la forza netta orizzontale è
$-(p_e + delta p)S+p_e S$
positiva verso sinistra.
Quindi l'equazione di bilancio della quantità di moto orizzontale è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S=-(p_e + delta p)S+p_e S$
da cui ottieni quell'equazione.
La quantità di moto orizzontale che entra da destra nel tempo $dt$ nel volumetto considerato è:
$rho_e a_{Le}^2 Sdt$
quella che esca da sinistra è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2 Sdt$
Per cui la derivata rispetto al tempo della quantità di moto orizzontale (considerata positiva verso sinistra) è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S$
Le forze orizzontali che agiscono sul volumetto sono solo forze di pressione.
Sulla superficie di destra la forza è
$p_e S$
su quella di sinistra è:
$(p_e + delta p)S$
per cui la forza netta orizzontale è
$-(p_e + delta p)S+p_e S$
positiva verso sinistra.
Quindi l'equazione di bilancio della quantità di moto orizzontale è:
$(rho_e+delta rho) (a_{Le}-delta v)^2S-rho_e a_{Le}^2S=-(p_e + delta p)S+p_e S$
da cui ottieni quell'equazione.
quello che non ho ben capito, è la condizione assunta, per la quale gli sforzi viscosi sono nulli, poiché se non vado errato la "spinta" sulla superficie orizzontale contiene oltre alle forze di pressione anche il termine viscoso. Per il resto è dunque corretto considerare come equazione generale dalla quale partire quella che ho scritto io, o ne esiste una migliore formulazione?
Grazie.
Grazie.
Nelle condizioni descritte non ci sono termini viscosi orizzontali che si manifestano soltanto quando il flusso subisce deformazioni di taglio.
La formula più generica per calcolare la derivata della quantità è attraverso l'uso del teorema del trasporto di Reynolds:
$d/(dt) int_{V(t)} rho vec v d V = int_{V_c} \frac{\partial (rho vec v)}{\partial t} dV + int_{S_c} rho vec v (vec v * hat n) dS$
dove $V(t)$ è il volume rispetto a cui si vuole calcolare la derivata della quantità di moto al tempo $t$ (funzione di $t$ appunto), $V_c$ è un volume di controllo fisso che coincide con $V(t)$, fissato l'istante $t$ di interesse, $S_c$ la superficie che racchiude $V_c$ e $hat n$ il versore normale esterna alla superficie.
La formula più generica per calcolare la derivata della quantità è attraverso l'uso del teorema del trasporto di Reynolds:
$d/(dt) int_{V(t)} rho vec v d V = int_{V_c} \frac{\partial (rho vec v)}{\partial t} dV + int_{S_c} rho vec v (vec v * hat n) dS$
dove $V(t)$ è il volume rispetto a cui si vuole calcolare la derivata della quantità di moto al tempo $t$ (funzione di $t$ appunto), $V_c$ è un volume di controllo fisso che coincide con $V(t)$, fissato l'istante $t$ di interesse, $S_c$ la superficie che racchiude $V_c$ e $hat n$ il versore normale esterna alla superficie.
perdonami ma forse sono rincoglionito, ma c'è una differenza di segni fra l'equazione dell'immagine e quella da te mostrata o no?
Sì, nello scrivere le forze di pressione ho detto che le prendevo positive verso sinistra, come per la quantità di moto, ma poi ho fatto l'opposto.
Ora correggo.
Ora correggo.
e allora tutto chiaro, grazie assai!!
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