Aggiunto operatore in notazione bra-ket
Salve!! 
Ho qualche dubbio riguardo all'aggiunto di un operatore e piu in generale all'operazione di coniugazione hermitiana (che appunto identifico con l'aggiunto):
Io ho questa definizione di Aggiunto di un operatore:
$ = []^** $
dove suppongo che " $ + $ "= operazione di coniugazione complessa degli elementi del vettore + trasposizione e " $ ** $ " indichi la sola operazione di coniugazione complessa
Poco dopo mi fa degli altri esempi sull'operazione di coniugazione:
a) $ ( $ (e viceversa)
b)$ a^+=a^** $
c)$ (hatA)^+=hatA^+ $
d) $ (hatA+hatB+hatC|phi>)^+=
Ora non capisco bene la definizione di Aggiunto di un operatore:
1) L'espressione $ $ è corretto interpretarla come $ [ ]^+ $ ???
In tal caso però basandomi anche su quegli esempi sopra citati dovrebbe venire $ [] $ , dato che:
$ ( $
$ (|phi>)^+ =
Ma allora come mai tale espressione viene invece:
$ []^** $
Senza una minima logica( mi pare) considerando gli esempi precedenti e la definizione di aggiunto di un ket,ad esempio. (cioè qui con quell'asterisco farei il complesso coniugato dell'aggiunto dei vettori di partenza e non semplicemente l'aggiunto)
Cioè il coniugato hermitiano di un operatore (quindi con la notazione bra ket lo potrei vedere anche come una matrice no?) so che per definizione è l'operatore stesso a cui è applicato sia l'operazione di coniugazione complessa sia l'operazione di trasposizione,cioè $ + $ , e non solo l'operazione di coniugazione complessa $ ** $.
Qualcuno mi puo spiegare questo concetto possibilmente in modo chiaro ???
Grazie mille!!
Ho qualche dubbio riguardo all'aggiunto di un operatore e piu in generale all'operazione di coniugazione hermitiana (che appunto identifico con l'aggiunto):
Io ho questa definizione di Aggiunto di un operatore:
$
dove suppongo che " $ + $ "= operazione di coniugazione complessa degli elementi del vettore + trasposizione e " $ ** $ " indichi la sola operazione di coniugazione complessa
Poco dopo mi fa degli altri esempi sull'operazione di coniugazione:
a) $ (
b)$ a^+=a^** $
c)$ (hatA)^+=hatA^+ $
d) $ (hatA+hatB+hatC|phi>)^+=
Ora non capisco bene la definizione di Aggiunto di un operatore:
1) L'espressione $
In tal caso però basandomi anche su quegli esempi sopra citati dovrebbe venire $ [
$ (
$ (|phi>)^+ =
Ma allora come mai tale espressione viene invece:
$ [
Senza una minima logica( mi pare) considerando gli esempi precedenti e la definizione di aggiunto di un ket,ad esempio. (cioè qui con quell'asterisco farei il complesso coniugato dell'aggiunto dei vettori di partenza e non semplicemente l'aggiunto)
Cioè il coniugato hermitiano di un operatore (quindi con la notazione bra ket lo potrei vedere anche come una matrice no?) so che per definizione è l'operatore stesso a cui è applicato sia l'operazione di coniugazione complessa sia l'operazione di trasposizione,cioè $ + $ , e non solo l'operazione di coniugazione complessa $ ** $.
Qualcuno mi puo spiegare questo concetto possibilmente in modo chiaro ???
Grazie mille!!
Risposte
Il tuo risultato è corretto: la quantità \(\langle\psi|\hat{A}|\phi\rangle\) è un numero complesso, non un vettore o matrice, quindi ha poco senso calcolarne l'aggiunto.
Per illustrare meglio, chiamiamo \(|\hat{A}\psi\rangle\) lo stato \(\hat{A}|\psi\rangle\), in modo da distinguere bene quando l'operatore agisce "a destra" o "a sinistra".
L'operatore aggiunto di \(\hat{A}\) è definito come quell'operatore, indicato con \(\hat{A}^\dagger\), tale per cui \(\langle\phi|\hat{A}\psi\rangle=\langle\hat{A}^\dagger\phi|\psi\rangle\).
Successivamente, quando rappresenti gli operatori come matrici complesse, trovi che l'aggiunto di \(\hat{A}\) corrisponde alla matrice trasposta coniugata.
Comunque, dalla definizione sopra, tornando alla notazione di Dirac trovi subito che
\[
\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle\phi|\hat{A}\psi\rangle=\langle\hat{A}^\dagger\phi|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{A}^\dagger\phi\rangle^*=\langle\psi|\hat{A}^\dagger|\phi\rangle^*
\]
dato che \(\langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle^*\).
Per illustrare meglio, chiamiamo \(|\hat{A}\psi\rangle\) lo stato \(\hat{A}|\psi\rangle\), in modo da distinguere bene quando l'operatore agisce "a destra" o "a sinistra".
L'operatore aggiunto di \(\hat{A}\) è definito come quell'operatore, indicato con \(\hat{A}^\dagger\), tale per cui \(\langle\phi|\hat{A}\psi\rangle=\langle\hat{A}^\dagger\phi|\psi\rangle\).
Successivamente, quando rappresenti gli operatori come matrici complesse, trovi che l'aggiunto di \(\hat{A}\) corrisponde alla matrice trasposta coniugata.
Comunque, dalla definizione sopra, tornando alla notazione di Dirac trovi subito che
\[
\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle\phi|\hat{A}\psi\rangle=\langle\hat{A}^\dagger\phi|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{A}^\dagger\phi\rangle^*=\langle\psi|\hat{A}^\dagger|\phi\rangle^*
\]
dato che \(\langle x|y\rangle=\langle y|x\rangle^*\).
Grazie mille phaerrax !!
Per ora termino qua se poi nei prossimi giorni mi vien qualche altro dubbiettino ne approfitto!!
!!Per ora termino qua se poi nei prossimi giorni mi vien qualche altro dubbiettino ne approfitto!!
AGGIORNAMENTO: ieri sera avevo un tarlo per la testa: in pratica volevo verificare la relazione che descrive l'operatore aggiunto $ = $ .... ma ho bisogno del Vostro aiuto perchè non ci sono riuscito e ora sono in bambola totale!!
Sia $ A^(**t) $ la matrice trasposta coniugata delle matrice $ A $ associata all'operatore $ hat(A)$.
Ora per verificare tale definizione mi sono inventato un vettore Bra $ $ e una matrice complessa $ A $ rappresentante l'operatore $ hatA $ in modo da ottenere l'espressione:
$ = $
In particolare inserendo i valori numerici da me inventati avrei che:
$ = $
$ = (-1-i,3,2-3i)( ( 2+i , 0 , 1 ),( 2 , i , 0 ),( -2i , 0 , -1 ) ) *( ( 6 ),( i ),( 5 ) )=4i+36 $
OSSERVAZIONE: ho moltiplicato prima la matrice A per il vettore ket dal momento che era per "convenzione" $ A|psi> = |Apsi> $ e poi fatto il prodotto scalare rimanente .
Ora dato che per le matrici vale la proprietà associativa penso sarebbe stato lo stesso fare il prodotto tra il bra e la matrice (ma sarei andato contro la simbologia/ convenzione poco prima enunciata)...correggetemi se sbaglio!!
Ora dovrei risolvere l'espressione (aggiunta/associata) $ $ e il risultato dovrebbe venire uguale a quello di prima.
MA ecco il PROBLEMA: come faccio a calcolare questa espressione noti i bra ,i ket e l'operatore A della precedente espressione???
Perchè mi ero creato la seguente espressione:
$ = ( ( 2-i , 2 , 2i ),( 0 , -i , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) (-1-i,3,2-3i) *( ( 6 ),( i ),( 5 ) ) $
che dovrebbe essere in accordo appunto con l'espressione $ $ ma sinceramente non so come fare la moltiplicazione visto che secondo le REGOLE dell'algebra lineare il prodotto tra una matrice 3x3 e un bra,cioè un vettore 1x3 è impossibile. Come devo fare,cioè come devo disporre i bra,i ket e la matrice per rendere l'espressione $ $ accettabile e dunque calcolabile???
Vi prego datemi un indizio almeno!!
Grazie
Sia $ A^(**t) $ la matrice trasposta coniugata delle matrice $ A $ associata all'operatore $ hat(A)$.
Ora per verificare tale definizione mi sono inventato un vettore Bra $
$
In particolare inserendo i valori numerici da me inventati avrei che:
$
$
OSSERVAZIONE: ho moltiplicato prima la matrice A per il vettore ket dal momento che era per "convenzione" $ A|psi> = |Apsi> $ e poi fatto il prodotto scalare rimanente .
Ora dato che per le matrici vale la proprietà associativa penso sarebbe stato lo stesso fare il prodotto tra il bra e la matrice (ma sarei andato contro la simbologia/ convenzione poco prima enunciata)...correggetemi se sbaglio!!
Ora dovrei risolvere l'espressione (aggiunta/associata) $
MA ecco il PROBLEMA: come faccio a calcolare questa espressione noti i bra ,i ket e l'operatore A della precedente espressione???
Perchè mi ero creato la seguente espressione:
$
che dovrebbe essere in accordo appunto con l'espressione $
Vi prego datemi un indizio almeno!!
Grazie
Ciao!
Innanzitutto mi sembra tu abbia un poco di confusione circa la notazione di Dirac.
Non scendo nei dettagli ma, in maniera almeno intuitiva, i "bra" sono elementi del duale allo spazio di Hilbert in cui vivono i vettori che rappresentano il tuo stato fisico. Gli elementi del duale di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb{V} \) (gli spazi di Hilbert sono spazi vettoriali complessi, dotati di proprietà aggiuntive) sono applicazioni lineari che si mangiano un vettore dello spazio restituendo un numero appartenente al campo su cui lo spazio vettoriale è definito. Tutto molto a parole, però non è difficile da capire. In simboli il duale di \(\displaystyle \mathbb{V} \) è \(\displaystyle \mathbb{V}^* \) definito come:
\(\displaystyle \{\alpha : \mathbb{V} \rightarrow \mathcal{K}, \text{lineari}\} \)
Nel caso banale degli spazi \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) il duale non è altro che lo spazio vettoriale (si mostra che il duale di uno spazio vettoriale è anch'esso uno spazio vettoriale) costituito dai vettori riga, con la convenzione che dire che un vettore riga è applicato ad un vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) significa operare il prodotto righe per colonne, con il vettore riga a sinistra.
Ora, andiamo agli spazi di Hilbert. i vettori si indicano con \(\displaystyle |\psi> \), gli elementi del duale con \(\displaystyle <\phi| \). Spero di essere stato chiaro nella spiegazione prima, anche se ho dei dubbi sulla mia capacità comunicativa, in ogni caso con l'esempietto del prodotto righe per colonne dovrebbe essere chiaro che la scrittura \(\displaystyle <\phi|\psi> \) è una idiosincrasia inventata da Dirac per rappresentare l'azione dell'elemento \(\displaystyle <\phi| \) su \(\displaystyle |\psi> \).
[Si può anche pensare tutta la storia come prodotto scalare di elementi dello spazio di Hilbert, questo perché la presenza dell'operazione bilineare"prodotto scalare" induce un isomorfismo canonico tra lo spazio di Hilbert e il suo duale. Se non hai mai sentito questa cosa mi viene da dirti che non è importante, ma meditarci sopra non fa mai male!]
Ora l'azione di un operatore \(\displaystyle A \) (leva il cappuccio, è una notazione pesante e desueta) si conosce quando agisce su vettori nello spazio di Hilbert. Nel caso che hai riportato tu, cioè nel caso discreto e finito dimensionale (3-dimensionale nello specifico) la rappresentazione esplicita di \(\displaystyle A \) è una matrice. Tutto il tuo ragionamento è corretto finchè non pretendi di scrivere \(\displaystyle \) come matrice*vettore rigs*vettore colonna. La scrittura \(\displaystyle \) NON significa questo. Prima ti ho citato l'isomorfismo canonico: in soldoni vuol dire che ad ogni vettore puoi associra un elemento del duale e tale associazione è 1 a 1.
\(\displaystyle \) vuol dire: prendi il VETTORE colonna \(\displaystyle |\phi> \) applicaci \(\displaystyle A^{*t} \) nel modo seguente \(\displaystyle |A^{*t}\phi> \)intesa come matrice [se vuoi stare nel linguaggio operatoriale (che secondo me è meglio) dovresti scrivere \(\displaystyle A^{\dagger}|phi> \) nota la FONDAMENTALE differenza tra le due scrittue, in una la matrice è dentro il simbolo di ket, nell'altra l'operatore è fuori] poi prendine l'elemento del duale associato, che non è nient'altro che \(\displaystyle (|A^{*t}\phi>)^{\dagger}=( \) per andar a creare un numero complesso|
Innanzitutto mi sembra tu abbia un poco di confusione circa la notazione di Dirac.
Non scendo nei dettagli ma, in maniera almeno intuitiva, i "bra" sono elementi del duale allo spazio di Hilbert in cui vivono i vettori che rappresentano il tuo stato fisico. Gli elementi del duale di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb{V} \) (gli spazi di Hilbert sono spazi vettoriali complessi, dotati di proprietà aggiuntive) sono applicazioni lineari che si mangiano un vettore dello spazio restituendo un numero appartenente al campo su cui lo spazio vettoriale è definito. Tutto molto a parole, però non è difficile da capire. In simboli il duale di \(\displaystyle \mathbb{V} \) è \(\displaystyle \mathbb{V}^* \) definito come:
\(\displaystyle \{\alpha : \mathbb{V} \rightarrow \mathcal{K}, \text{lineari}\} \)
Nel caso banale degli spazi \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) il duale non è altro che lo spazio vettoriale (si mostra che il duale di uno spazio vettoriale è anch'esso uno spazio vettoriale) costituito dai vettori riga, con la convenzione che dire che un vettore riga è applicato ad un vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) significa operare il prodotto righe per colonne, con il vettore riga a sinistra.
Ora, andiamo agli spazi di Hilbert. i vettori si indicano con \(\displaystyle |\psi> \), gli elementi del duale con \(\displaystyle <\phi| \). Spero di essere stato chiaro nella spiegazione prima, anche se ho dei dubbi sulla mia capacità comunicativa, in ogni caso con l'esempietto del prodotto righe per colonne dovrebbe essere chiaro che la scrittura \(\displaystyle <\phi|\psi> \) è una idiosincrasia inventata da Dirac per rappresentare l'azione dell'elemento \(\displaystyle <\phi| \) su \(\displaystyle |\psi> \).
[Si può anche pensare tutta la storia come prodotto scalare di elementi dello spazio di Hilbert, questo perché la presenza dell'operazione bilineare"prodotto scalare" induce un isomorfismo canonico tra lo spazio di Hilbert e il suo duale. Se non hai mai sentito questa cosa mi viene da dirti che non è importante, ma meditarci sopra non fa mai male!]
Ora l'azione di un operatore \(\displaystyle A \) (leva il cappuccio, è una notazione pesante e desueta) si conosce quando agisce su vettori nello spazio di Hilbert. Nel caso che hai riportato tu, cioè nel caso discreto e finito dimensionale (3-dimensionale nello specifico) la rappresentazione esplicita di \(\displaystyle A \) è una matrice. Tutto il tuo ragionamento è corretto finchè non pretendi di scrivere \(\displaystyle
\(\displaystyle
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