Accelerazioni in un moto vario.
Ad un corpo di massa M inizialmente in quiete viene applicata una forza F per un breve tempo dt. A seguito di ciò il corpo prende a muoversi nella direzione della forza (ascissa positiva). Quando giunge nel punto A la forza ha smesso di agire. La massa si muove dapprima su un tratto orizzontale scabro AB di lunghezza L caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico \mu_d e quindi su una guida circolare liscia di raggio R saldata nel punto B alla guida orizzontale.
Determinare il modulo dell'accelerazione nel punto C posto sulla guida circolare ad un angolo di \pi /2 rispetto alla verticale.
Dati:
M=80g; F=150N; dt=10ms; L=12m; mu_d=0.30; R=5.0m
Determinare il modulo dell'accelerazione nel punto C posto sulla guida circolare ad un angolo di \pi /2 rispetto alla verticale.
Dati:
M=80g; F=150N; dt=10ms; L=12m; mu_d=0.30; R=5.0m
Risposte
Come hai cercato di risolverlo?
Io userei l'impulso e la conservazione dell'energia totale.
Così trovo $\vec{a} = (-m v^2/R, -mg)$ dove i segni sono dovuti alla scelta di un sistema di riferimento con $x$ lungo la direzione del moto e $y$ che punta verso l'alto. Trovo $v$ usando proprio impulso e conservazione dell'energia.
Edit:
Chiedo scusa, bisogna togliere la massa dal vettore che ho scritto: $\vec{a} = (-v^2/R, -g)$
Io userei l'impulso e la conservazione dell'energia totale.
Così trovo $\vec{a} = (-m v^2/R, -mg)$ dove i segni sono dovuti alla scelta di un sistema di riferimento con $x$ lungo la direzione del moto e $y$ che punta verso l'alto. Trovo $v$ usando proprio impulso e conservazione dell'energia.
Edit:
Chiedo scusa, bisogna togliere la massa dal vettore che ho scritto: $\vec{a} = (-v^2/R, -g)$
L'ho risolto così come hai detto tu, ma c'è un problema. Sono riuscito a trovare v e quindi l'accelerazione centripeta, ma mi manca l'accelerazione tangenziale. Non credo che in modulo sia uguale a -g, perchè nel punto C c'è ancora energia cinetica e quindi non c'è equilibrio statico.
Inoltre non sono convinto dei segni, secondo me per il sistema che hai usato dovrebbero essere entrambi positivi.
Dal punto $B$ in poi, SE la guida continuasse in orizzontale e senza attrito, la velocità resterebbe costante.
La guida invece curva con un raggio di curvatura $R$ costante, ed è priva di attrito. La guida dunque esercita una forza normale $N$ che fa curvare il corpo. Questa forza è una forza centripeta.
In più c'è la forza di gravità che resta costante per l'intero moto. La conservazione dell'energia meccanica da $B$ fino alla quota $R$ (cioè fino al punto $C$) ti permette di trovare la velocità tangenziale a tale quota.
Da queste considerazioni si ricava la forma di $a$ che ho scritto nel precedente messaggio. Il segno della componente $y$ tiene conto del fatto che la forza peso è rivolta verso il basso. Quello della componente $x$ tiene conto del fatto che la forza centripeta punta nel verso opposto a tale asse.
edit:
Scusa, ho confuso i punti $B$ e $C$. Ora è corretto.
La guida invece curva con un raggio di curvatura $R$ costante, ed è priva di attrito. La guida dunque esercita una forza normale $N$ che fa curvare il corpo. Questa forza è una forza centripeta.
In più c'è la forza di gravità che resta costante per l'intero moto. La conservazione dell'energia meccanica da $B$ fino alla quota $R$ (cioè fino al punto $C$) ti permette di trovare la velocità tangenziale a tale quota.
Da queste considerazioni si ricava la forma di $a$ che ho scritto nel precedente messaggio. Il segno della componente $y$ tiene conto del fatto che la forza peso è rivolta verso il basso. Quello della componente $x$ tiene conto del fatto che la forza centripeta punta nel verso opposto a tale asse.
edit:
Scusa, ho confuso i punti $B$ e $C$. Ora è corretto.
Scusate, ma il punto C dove sta? Che vuol dire "a $pi/2$ rispetto alla verticale? E' il raggio OC che forma questo angolo? Quindi C è il punto in cui la guida ha tangente verticale?
Non so se mi sbaglio, ma se faccio uno studio sulle forze nel punto C ottengo: sull'asse X equilibrio perfetto tra forza centripeta e reazione vincolare e quindi avendo la reazione vincolare verso opposto al moto ne risulta che la forza centripeta e quindi l'accelerazione centripeta ha verso concorde al moto. Inoltre so che il corpo continua a salire dopo aver superato C e quindi anche sull'asse Y dev'esserci un'accelerazione tangenziale positiva che compensi la forza peso, ma che permetta anche di continuare il moto, quindi l'accelerazione tangenziale dev'essere maggiore di g e in verso opposto. In ogni caso grazie per le risposte che mi stai dando 
"mgrau":
Scusate, ma il punto C dove sta? Che vuol dire "a $pi/2$ rispetto alla verticale? E' il raggio OC che forma questo angolo? Quindi C è il punto in cui la guida ha tangente verticale?
Si è esatto, C è il punto a tangente verticale.
"reglasgow":
Si è esatto, C è il punto a tangente verticale.
Beh, allora in C l'accelerazione tangenziale è semplicemente $g$
Non sono convinto, perchè il corpo non si ferma in C
In $C$, lungo $x$:
$F_x = N = - m v^2/R$
Cioè la forza risultante è una forza centripeta.
In $C$, lungo $y$:
c'è solo la forza peso, dunque $F_y = -mg$
Il fatto che il corpo continui a salire DOPO aver raggiunto $C$ è dovuto al fatto che la sua velocità tangenziale NON è nulla. In quel punto c'è una decelerazione (appunto: $-g$), ma la velocità (quella tangenziale, la $v$ che appare nella forza centripeta che ho appena scritto) è ancora rivolta verso l'alto.
$F_x = N = - m v^2/R$
Cioè la forza risultante è una forza centripeta.
In $C$, lungo $y$:
c'è solo la forza peso, dunque $F_y = -mg$
Il fatto che il corpo continui a salire DOPO aver raggiunto $C$ è dovuto al fatto che la sua velocità tangenziale NON è nulla. In quel punto c'è una decelerazione (appunto: $-g$), ma la velocità (quella tangenziale, la $v$ che appare nella forza centripeta che ho appena scritto) è ancora rivolta verso l'alto.
"reglasgow":
Non sono convinto, perchè il corpo non si ferma in C
"reglasgow":
Non sono convinto, perchè il corpo non si ferma in C
C'è una velocità nonnulla con verso opposto! È per questo che il corpo continua a salire!
Pensa a quando freni in automobile: hai una velocità nonnulla in un verso, ma stai decelerando, cioè c'è un'accelerazione nel verso opposto alla velocità.
"amivaleo":
In $C$, lungo $x$:
$F_x = N = - m v^2/R$
Cioè la forza risultante è una forza centripeta.
In $C$, lungo $y$:
c'è solo la forza peso, dunque $F_y = -mg$
Il fatto che il corpo continui a salire DOPO aver raggiunto $C$ è dovuto al fatto che la sua velocità tangenziale NON è nulla. In quel punto c'è una decelerazione (appunto: $-g$), ma la velocità (quella tangenziale, la $v$ che appare nella forza centripeta che ho appena scritto) è ancora rivolta verso l'alto.
Okaaay, mi sono confuso un attimo, credo di aver capito quasi tutto ora, però non mi torna ancora il verso dell'accelerazione normale, tu hai scritto che la reazione vincolare è una forza centripeta e okay, ma l'accelerazione che la genera non dovrebbe avere verso opposto? E quindi avrei a = (v^2/R, -g)?
In ogni caso il problema è risolto, mi chiedeva solo il modulo dell'accelerazione, però vorrei capire 'sto maledetto verso
Ho scelto l'asse $x$ in maniera che segua la direzione del moto della massa nella parte in cui questo è rettilineo.
Dopo aver coperto un quarto di circonferenza (cioè dopo aver raggiunto il punto $C$), la normale è diretta verso il centro di questa guida/circonferenza.
L'accelerazione, che è centripeta ("petere verso il centro") è diretta verso il centro che, trovandosi a sinistra di $C$ in questo SDF, comporta dunque il segno negativo.
Dopo aver coperto un quarto di circonferenza (cioè dopo aver raggiunto il punto $C$), la normale è diretta verso il centro di questa guida/circonferenza.
L'accelerazione, che è centripeta ("petere verso il centro") è diretta verso il centro che, trovandosi a sinistra di $C$ in questo SDF, comporta dunque il segno negativo.
continua a non essermi chiaro. Allora: prendendo solo l'asse X so che in C c'è equilibrio perfetto e che ci sono due forze in gioco, la prima è quella normale, la seconda è la reazione. E fino a qui credo tutto bene, ora volendo studiarne i versi affinchè ci sia equilibrio è necessario che siano opposti e so per certo che la reazione può, per la struttura stessa del vincolo, avere un solo verso, cioè diretta verso il centro. Se questo ragionamento è giusto e so che la forza normale che equilibra la reazione è generata dalla famosa accelerazione che stiamo cercando di studiare, direi che ha verso positivo rispetto al moto. Spero di essere stato chiaro.
"reglasgow":
prendendo solo l'asse X so che in C c'è equilibrio perfetto e che ci sono due forze in gioco, la prima è quella normale, la seconda è la reazione.
Non c'è nessun equilibrio, e non ci sono due forze, ma solo una, la reazione della guida.
Se ci fosse equilibrio (somma delle forze zero) non ci sarebbe accelerazione, giusto?
Effettivamente ha perfettamente senso, però mi verrebbe da dire: prendendo come riferimenti invece degli assi X e Y gli assi Normale e Tangente e studiando il moto del corpo su questi, risulta effettivamente un'accelerazione nulla sulla normale o sbaglio?
Edit:
E quindi effettivamente un equilibrio tra due forze c'è.(?)
Edit:
E quindi effettivamente un equilibrio tra due forze c'è.(?)
"reglasgow":
Effettivamente ha perfettamente senso, però mi verrebbe da dire: prendendo come riferimenti invece degli assi X e Y gli assi Normale e Tangente e studiando il moto del corpo su questi, risulta effettivamente un'accelerazione nulla sulla normale o sbaglio?
Edit:
E quindi effettivamente un equilibrio tra due forze c'è.(?)
Non so che dire. Intendi un SdR solidale col corpo? In questo caso, l'accelerazione è nulla per definizione... Però è un SdR non inerziale, non vedo perchè complicarsi la vita
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