Accelerazioni in un moto con traiettoria curva

[thedarkhero]

Se conosco la legge oraria di un moto curvilineo posso ricavare la velocità e l'accelerazione in funzione del tempo.
Ma una volta nota l'accelerazione come faccio a scomporla in centripeta e tangenziale?

[void1]

Se può servire, posto $\vec e_r = \cos \theta \vec i + \sin \theta \vec j$ e $\vec e_\theta = -\sin \theta \vec i + \cos \theta \vec j$ si ha $\dot \vec e_r = \dot \theta \vec e_\theta$ e $\dot \vec e_\theta = -\dot \theta \vec e_r$.
Dunque, per la posizione $\vec r = r \vec e_r$, per la velocità $\dot \vec r = \dot r \vec e_r + r \dot \theta \vec e_\theta$ e per l'accelerazione $\ddot \vec r = (\ddot r - r \dot \theta^2) \vec e_r + (r \ddot \theta + 2\dot r \dot \theta)\vec e_\theta$.
È sottointeso che $\vec r = \vec r(t)$ e $\theta = \theta(t)$.

[thedarkhero]

Non mi è chiaro chi sono tutti quei vettori...comunque volevo sapere solo come scomporre l'accelerazione in centripeta e tangenziale

[void1]

Ho riscritto il moto in coordinate polari, usando al posto di $\{x(t),y(t)\}$ la coppia $\{r(t),\theta(t)\}$. I versori $\vec e_r$ e $\vec e_\theta$ sono i versori "radiale" e "tangenziale", delle coordinate polari. L'accelerazione è quindi decomposta nelle due componenti di cui sopra. Ad esempio nel caso di moto circolare, hai $r = R$, da cui $\ddot r = \dot r = 0$, ed ottieni così le note formule $\dot \vec r = R\dot \theta \vec e_\theta = R \omega \vec e_\theta$ e $\ddot \vec r = -R\dot \theta^2 \vec e_r + R\ddot \theta \vec e_\theta = R\alpha \vec e_\theta -R\omega^2 \vec e_r$.

[thedarkhero]

Ma nel caso di moto curvilineo con coordinate cartesiane?

[void1]

Nel caso in cui il moto (bidimensionale) sia descritto da $\vec r(t) = x(t) \vec e_1 + y(t) \vec e_2$, puoi calcolare il versore tangente alla traiettoria (se e ove esiste) come $\vec \tau(t) = \frac{\vec r(t)}{\|\vec r'(t)\|}$. Ricavata l'accelerazione $\vec a(t) = \vec r''(t)$, puoi ottenere la componente tangenziale facendo il prodotto scalare $< \vec r''(t),\vec \tau(t) >$. Cosa intendi con componente centripeta dell'accelerazione, in un moto curvilineo?

[thedarkhero]

Quella perpendicolare alla tangente.

[void1]

Volendo, posto $\vec c(t) = \vec r''(t) - \vec \tau(t)<\vec r''(t),\vec \tau(t)>$, hai $<\vec c(t),\vec \tau(t)> = <\vec r''(t),\vec \tau(t)> - <\vec \tau(t),\vec \tau(t)> <\vec r''(t),\vec \tau(t)> = \vec 0$, dunque $\vec c(t)$ è ortogonale a $\vec \tau(t)$. Puoi quindi decomporre $\vec r''(t)$ in $\vec r''(t) = \vec c(t) + (\vec r''(t) - \vec c(t))$, di cui $(\vec r''(t) - \vec c(t)) = \vec \tau(t)<\vec r''(t),\vec \tau(t)>$ è tangente alla traiettoria, mentre $\vec c(t)$ è ortogonale ad essa.

P.S. nei post precedenti, in cui ho usato le coordinate polari, pensavo ti riferissi alla componente centripeta come alla componente radiale.

[lucagalbu]

Quando hai la velocità tangenziale, se derivi ottieni l'accelerazione tangenziale. Per ottenere l'accelerazione centripeta usi la formula: $a_C=m\frac{v^2}{r}$ dove r è il raggio della traiettoria curvilinea e v è la velocità tangenziale