Accelerazioni CM di un cilindro
Buon sabato a tutti . Ho bisogno di un aiutino per questo esercizio di fisica 1 visto che l'esame incombe ... " Attorno ad un cilindro di massa $ m $ e raggio $ R $ è avvolta una corda priva di massa , alla cui estremità è legato un peso di massa $ M $ . Determinare l'accelerazione del peso nei due casi :
a) il moto del cilindro sia di puro rotolamento
b) il moto del cilindro ha luogo in assenza di attrito tra fra il cilindro e il piano di appoggio "
Il sistema è così formato : Il cilindro è poggiato in un piano orizzontale e la corda si collega ad esso nel punto sommitale del cilindro stesso . Essa poi corre e termina nel corpo $ M $ sospeso nel vuoto .
Il mio dubbio riguarda il punto b) . Dato che non agiscono attriti ho proceduto conservando l'energia meccanica del sistema .
$ 1/2mv_(cm)^2+1/2I_(cm)omega^2+Mgh_M+1/2MV^2= c $
Dove $ omega $ è la velocità di rotazione del cilindro , $ h_M $ è l'altezza che percorre $ M $ quando il cilindro si sposta e $ V $ è la velocità del corpo sospeso nel vuoto. Ho unito a questa equazione le relazioni del momento di inerzia del cilindro e $ omega=v_(cm)/R $
Derivando rispetto al tempo
$ 3/2mv_(cm)a_(cm)+VMg+VMa_M=0 $ .
Inoltre detto P il punto sommitale del cilindro dove si attacca la corda allora $ v_p=v_(cm)+omegaR=2v_(cm)=V rArr a_p=a_M=2a_(cm) $ . Sostituendo queste relazione nella conservazione della energia
$ 3/2mv_(cm)a_(cm)+2v_(cm)Mg+4v_(cm)Ma_(cm)=0rArra_(cm)=-(4Mg)/(8M+3m) $
Non so se il procedimento è giusto , ma dato che mi si dice che non ci sono attriti ho subito pensato alla conservazione della energia
a) il moto del cilindro sia di puro rotolamento
b) il moto del cilindro ha luogo in assenza di attrito tra fra il cilindro e il piano di appoggio "
Il sistema è così formato : Il cilindro è poggiato in un piano orizzontale e la corda si collega ad esso nel punto sommitale del cilindro stesso . Essa poi corre e termina nel corpo $ M $ sospeso nel vuoto .
Il mio dubbio riguarda il punto b) . Dato che non agiscono attriti ho proceduto conservando l'energia meccanica del sistema .
$ 1/2mv_(cm)^2+1/2I_(cm)omega^2+Mgh_M+1/2MV^2= c $
Dove $ omega $ è la velocità di rotazione del cilindro , $ h_M $ è l'altezza che percorre $ M $ quando il cilindro si sposta e $ V $ è la velocità del corpo sospeso nel vuoto. Ho unito a questa equazione le relazioni del momento di inerzia del cilindro e $ omega=v_(cm)/R $
Derivando rispetto al tempo
$ 3/2mv_(cm)a_(cm)+VMg+VMa_M=0 $ .
Inoltre detto P il punto sommitale del cilindro dove si attacca la corda allora $ v_p=v_(cm)+omegaR=2v_(cm)=V rArr a_p=a_M=2a_(cm) $ . Sostituendo queste relazione nella conservazione della energia
$ 3/2mv_(cm)a_(cm)+2v_(cm)Mg+4v_(cm)Ma_(cm)=0rArra_(cm)=-(4Mg)/(8M+3m) $
Non so se il procedimento è giusto , ma dato che mi si dice che non ci sono attriti ho subito pensato alla conservazione della energia
Risposte
Direi proprio di no, nel secondo caso il cdm del cilindro è fermo...
Perché il centro di massa del cilindro è fermo ? Come scriveresti allora la prima cardinale ?
Posta un'immagine del sistema in questione
Dovrebbe trattarsi di qualcosa del genere:
@ Mynameis
Mi accontento di una bella bevuta.
@ Mynameis
Mi accontento di una bella bevuta.
Nel caso del punto b) il problema non mi pare risolvibile, in quel caso non è assicurato il puro rotolamento (anzi, non c'è proprio), e non è valida la relazione $dotx=Rdot theta$ tra la velocità del centro del cilindro e la sua velocità angolare...chi ha scritto il problema deve averlo preso un po' sottogamba...
Scusate , ero fuori . @anonymous_0b37e9 , ti ringrazio , scegli il posto 
. Il sistema è proprio come quello mostrato in figura . Comunque mi sembra davvero strano che un esercizio del genere , se irrisolvibile , venga proposto ad un esame ... come vedete spesso posto esercizi qui e sono tutti esercizi presi da esami di fisica 1 . Il rotolamento non c'è proprio nel punto b) perché manca l'attrito che è fondamentale in questo tipo di moto che non può compiersi senza quest'ultimo
. Il sistema è proprio come quello mostrato in figura . Comunque mi sembra davvero strano che un esercizio del genere , se irrisolvibile , venga proposto ad un esame ... come vedete spesso posto esercizi qui e sono tutti esercizi presi da esami di fisica 1 . Il rotolamento non c'è proprio nel punto b) perché manca l'attrito che è fondamentale in questo tipo di moto che non può compiersi senza quest'ultimo
Per quanto riguarda il punto b), mi sfugge il motivo per cui a Vulplasir appaia irrisolvibile. Ad ogni modo, dopo aver scritto le solite equazioni:
$[Ma_M=Mg-T] ^^ [ma_m=T] ^^ [1/2mR^2\alpha=RT]$
supponendo che la corda aderisca perfettamente al cilindro nel punto $A$, è possibile ricavare la quarta relazione dalla formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_A)=vec(v_C)+vec\omegaxx(A-C)] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx(vec(v_A)-vec(v_C))] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$
proiettando l'ultima equazione di cui sopra lungo l'orizzontale:
$[a_M=a_m+\alphaR]$
dato che, mentre il termine $[(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)=\alphaR]$ è diretto lungo l'orizzontale, il termine $[vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$ è diretto lungo la verticale. Risolvendo il sistema:
$[a_M=(3M)/(3M+m)g]$
$[Ma_M=Mg-T] ^^ [ma_m=T] ^^ [1/2mR^2\alpha=RT]$
supponendo che la corda aderisca perfettamente al cilindro nel punto $A$, è possibile ricavare la quarta relazione dalla formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_A)=vec(v_C)+vec\omegaxx(A-C)] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx(vec(v_A)-vec(v_C))] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$
proiettando l'ultima equazione di cui sopra lungo l'orizzontale:
$[a_M=a_m+\alphaR]$
dato che, mentre il termine $[(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)=\alphaR]$ è diretto lungo l'orizzontale, il termine $[vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$ è diretto lungo la verticale. Risolvendo il sistema:
$[a_M=(3M)/(3M+m)g]$
Suppongo tu abbia indicato con $ a_m $ l'accelerazione del centro di massa del cilindro . Di fatto il tuo è lo stesso procedimento che avrei addottato io dopo aver sbagliato quello della conservazione della energia . Però ho un dubbio . Scrivendo la seconda cardinale $ TR=1/2mR^2alpha $ si dovrebbe pervenire a $ TR=1/2mR^2alpha=1/2mR^2a_m/R $ e semplificando la $ R $ si ottiene $ T=1/2ma_m $ che è in contrasto con la prima cardinale , ma evidentemente sbaglio io qualcosa ... Inoltre ultima domanda : il termine $ vecomegaxx vecomegaxx(A-C) $ non è già nullo poiché il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso dà 0 ?
"Mynameis":
Suppongo tu abbia indicato con $a_m$ l'accelerazione del centro di massa del cilindro.
Affermativo.
"Mynameis":
Scrivendo la seconda cardinale ...
Non $[a_m=\alphaR]$ ma $[a_M=a_m+\alphaR]$, come ho scritto nel messaggio precedente. Ricordati che $[a_m=\alphaR]$ non è una relazione universale.
"Mynameis":
Inoltre ultima domanda ...
Hai ragione, ho dimenticato una parentesi:
$[vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$
Insomma, non valendo la proprietà associativa, quel termine non è banalmente nullo. Ho corretto anche sopra.
Ok , ho capito . Mi potresti solo rinfrescare perché $ a_m=alphaR $ non è una relazione universale ? Adesso mi sfugge , però andrò comunque a riguardare il libro . Mi faresti davvero un grande favore . Grazie mille
Ti consiglio di utilizzare la seconda formula della seguente implicazione:
$[vec(v_A)=vec(v_C)+vec\omegaxx(A-C)] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$
Se non fai confusione con il verso di $[vec\omega]$ e di $[(dvec\omega)/(dt)]$, entrambi perpendicolari al piano del moto, difficile sbagliare. Ovviamente, quando il cilindro rotola senza strisciare, puoi tranquillamente utilizzare $[a_m=\alphaR]$. In tutti gli altri casi, senza trascurare l'aspetto intuitivo, io me ne servo quasi sempre.
$[vec(v_A)=vec(v_C)+vec\omegaxx(A-C)] rarr$
$rarr [vec(a_A)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(A-C)+vec\omegaxx[vec\omegaxx(A-C)]]$
Se non fai confusione con il verso di $[vec\omega]$ e di $[(dvec\omega)/(dt)]$, entrambi perpendicolari al piano del moto, difficile sbagliare. Ovviamente, quando il cilindro rotola senza strisciare, puoi tranquillamente utilizzare $[a_m=\alphaR]$. In tutti gli altri casi, senza trascurare l'aspetto intuitivo, io me ne servo quasi sempre.
Già, ho detto una cavolata, non so perché guardando il sistema di equazioni mi pareva fosse irrisolvibile (forse pensavo al caso in cui il cilindro strisciasse con attrito col terreno, in quel caso senza puro rotolamento dovrebbe essere effettivamante irrisolvibile).
Comunque
Semplicemente perché è una condizione derivante dal vincolo di puro rotolamento, se tale vincolo non c'è, tale relazione non c'è (il termine $a_m$ in quella relazione si applica solo alla componente tangenziale dell'accelerazione del centro del disco o ruota che fa puro rotolamento, non comprende la componente centripeta, per esempio basta considerare un disco che rotola su una conca curva)
Comunque
Mi potresti solo rinfrescare perché am=αR non è una relazione universale ? Adesso mi sfugge
Semplicemente perché è una condizione derivante dal vincolo di puro rotolamento, se tale vincolo non c'è, tale relazione non c'è (il termine $a_m$ in quella relazione si applica solo alla componente tangenziale dell'accelerazione del centro del disco o ruota che fa puro rotolamento, non comprende la componente centripeta, per esempio basta considerare un disco che rotola su una conca curva)
Ok adesso è chiaro . Grazie mille ad entrambi !
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