Accelerazione Vettoriale
Salve mi sto ricavando l'accelerazione vettoriale ma non capisco un passaggio.
Ho definito il vettore velocità $\vec v= dot s \vec t$, ora derivo $\vec v$ rispetto al tempo, ricordandomi le recole di derivazione del prodotto:
$(d vec v)/dt =(d (dot s vec t))/dt= ddot s \vec t + dot s dvec t/dt$.
Ora fino a qua è tutto chiaro; mi rimane oscuro il passaggio che pone il secondo membro $dot s (d vec t)/dt$ uguale a $ddot s$ e la scrittura $(d vec t)/(ds) = ddot s vec t + dot s^2/(\rho)vec n$.
Grazie.
Ho definito il vettore velocità $\vec v= dot s \vec t$, ora derivo $\vec v$ rispetto al tempo, ricordandomi le recole di derivazione del prodotto:
$(d vec v)/dt =(d (dot s vec t))/dt= ddot s \vec t + dot s dvec t/dt$.
Ora fino a qua è tutto chiaro; mi rimane oscuro il passaggio che pone il secondo membro $dot s (d vec t)/dt$ uguale a $ddot s$ e la scrittura $(d vec t)/(ds) = ddot s vec t + dot s^2/(\rho)vec n$.
Grazie.
Risposte
perchè metti il simbolo di vettore sopra t? il tempo è uno scalare non un vettore
Quello è un vettore, il vettore tangente.
ok , scusa non avevo capito
Niente, avrei dovuto mettere $tau$ invece di $t$.
"squalllionheart":
.... mi rimane oscuro il passaggio che pone il secondo membro $dot s (d vec t)/dt$ uguale a $ddot s$ e la scrittura $(d vec t)/(ds) = ddot s vec t + dot s^2/(\rho)vec n$.
la prima parte è l'applicazione della derivata di un prodotto, la seconda è invece una proprietà differenziale delle linee regolari (prova a cercare formule di Frenet-Serret)
Ok, allora rivedo geometria differenziale, se ho problemi ti contatto.
Grazie a presto.
Grazie a presto.
scusa un appunto.. accelerazione ha una elle sola..
Ma chérie... Non ti ricordi proprio nulla... Comunque questa cosa è contenuta nel primo capitolo del secondo volume del Pagani Salsa. Senza andare a vedere libri più corposi...
Te lo riformulo...
[tex]\mathbf{s}(t)[/tex] è la parametrizzazione della curva. [tex]\mathbf{T}(t)[/tex] è il versore tangente alla curva. Quindi, eliminando per comodità il riferimento a [tex]t[/tex], [tex]\mathbf{v} = \dot{\mathbf{s}} = \dot{s}\mathbf{T} = v\mathbf{T}[/tex].
Osserviamo che [tex]\displaystyle \mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{s}} = \frac{d\dot{s}\mathbf{T}}{dt} = \frac{d\dot{s}}{dt}\mathbf{T} + \dot{s}\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \ddot{s}\mathbf{T} + \dot{s}\frac{d\mathbf{T}}{dt}[/tex]
Analizziamo quindi [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt}[/tex]. Se la curva fosse parametrizzata con l'ascissa curvilinea avremmo [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt} = k\mathbf{N}[/tex], dove [tex]\displaystyle k=\frac{1}{\rho}[/tex] è la curvatura e [tex]\mathbf{N}[/tex] è il versore normale. Siccome però non ci troviamo necessariamente in questo caso dobbiamo fare un qualche calcolo.
Consideriamo con [tex]a[/tex] il parametro dell'ascissa curvilinea (s era già preso
) allora sappiamo che [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{da} = k\mathbf{N}[/tex] da cui, con un piccolo trucco, ricaviamo [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt}\frac{dt}{da} = k\mathbf{N}[/tex] e quindi [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt} = k\dot{v}\mathbf{N}[/tex] (l'ultimo passaggio deriva dalla definizione di ascissa curvilinea).
A questo punto basta sostituire... E il risultato è [tex]\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{s}\mathbf{T} + k\dot{v}^2\mathbf{N} = \ddot{s}\mathbf{T} + \frac{\dot{v}^2}{\rho}\mathbf{N}[/tex]
L'errore era solo nel titolo... quindi ovviamente lo sapeva già
Te lo riformulo...
[tex]\mathbf{s}(t)[/tex] è la parametrizzazione della curva. [tex]\mathbf{T}(t)[/tex] è il versore tangente alla curva. Quindi, eliminando per comodità il riferimento a [tex]t[/tex], [tex]\mathbf{v} = \dot{\mathbf{s}} = \dot{s}\mathbf{T} = v\mathbf{T}[/tex].
Osserviamo che [tex]\displaystyle \mathbf{a} = \dot{\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{s}} = \frac{d\dot{s}\mathbf{T}}{dt} = \frac{d\dot{s}}{dt}\mathbf{T} + \dot{s}\frac{d\mathbf{T}}{dt} = \ddot{s}\mathbf{T} + \dot{s}\frac{d\mathbf{T}}{dt}[/tex]
Analizziamo quindi [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt}[/tex]. Se la curva fosse parametrizzata con l'ascissa curvilinea avremmo [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt} = k\mathbf{N}[/tex], dove [tex]\displaystyle k=\frac{1}{\rho}[/tex] è la curvatura e [tex]\mathbf{N}[/tex] è il versore normale. Siccome però non ci troviamo necessariamente in questo caso dobbiamo fare un qualche calcolo.
Consideriamo con [tex]a[/tex] il parametro dell'ascissa curvilinea (s era già preso
) allora sappiamo che [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{da} = k\mathbf{N}[/tex] da cui, con un piccolo trucco, ricaviamo [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt}\frac{dt}{da} = k\mathbf{N}[/tex] e quindi [tex]\displaystyle \frac{d\mathbf{T}}{dt} = k\dot{v}\mathbf{N}[/tex] (l'ultimo passaggio deriva dalla definizione di ascissa curvilinea).A questo punto basta sostituire... E il risultato è [tex]\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{s}\mathbf{T} + k\dot{v}^2\mathbf{N} = \ddot{s}\mathbf{T} + \frac{\dot{v}^2}{\rho}\mathbf{N}[/tex]
"giacor86":
scusa un appunto.. accelerazione ha una elle sola..
L'errore era solo nel titolo... quindi ovviamente lo sapeva già
ahahahhah, sai com è considerando il fatto che analisi 4 l'ho fatto due anni fa, geometria 4 l'ho rimossa per lo schock e ultimamente penso a qualcuno ahahhahahha no nn mi ricordo proprio nulla ahahhah
Allora faccio colazione e controllo le tue saggie delucidazioni
Un bacio Chéri
Allora faccio colazione e controllo le tue saggie delucidazioni
Un bacio Chéri
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