Accelerazione moto circolare
Buonasera a tutti, vi scrivo affinché qualcuno riesca a chiarire un dubbio banale che ho in testa. O almeno banale per voi, per me no altrimenti l'avrei già risolto. Allora, immaginiamo di avere un disco che ruota su un piano orizzontale ed ammettiamo che tra il disco ed il piano vi sia attrito. Il disco ha massa M e su questo agisce una forza lungo il suo centro O che gli aumenta ulteriormente la velocità.
Come faccio ad impostare le due equazioni cardinali? O meglio, la seconda riesco a scriverla, mentre nella prima non riesco mai a dividere le forze che contribuiscono all'accelerazione centripeta e quelle che contribuiscono all'accelerazione tangenziale! Qualcuno potrebbe provare a spiegarmi come devo ragionare?
Come faccio ad impostare le due equazioni cardinali? O meglio, la seconda riesco a scriverla, mentre nella prima non riesco mai a dividere le forze che contribuiscono all'accelerazione centripeta e quelle che contribuiscono all'accelerazione tangenziale! Qualcuno potrebbe provare a spiegarmi come devo ragionare?
Risposte
Non ho capito se il disco è incernierato al centro oppure striscia sul piano, e se la forza che lo spinge è applicata al centro oppure se c'è un momento che lo fa ruotare...
Ti sei ispirato a un problema che hai trovato in qualche libro? perché non posti integralmente il testo così è tutto più chiaro?
Ti sei ispirato a un problema che hai trovato in qualche libro? perché non posti integralmente il testo così è tutto più chiaro?
Il testo è un compito del mio professore, che sarebbe così: abbiamo un disco di raggio 18 cm e massa 4.8kg appoggiato su due cilindretti che distano $ sqrt(2)r $ tra loro e stanno sullo stesso piano. Al centro è saldato una sbarretta di massa 1.2kg e di lunghezza r (ovviamente ha un estremo in O e l'altro sul bordo della circonferenza). Tra il cilindretto posto a sinistra ed il disco c'è attrito con coefficiente 0.08 . Calcolare l'accelerazione angolare iniziale quando il sistema viene lasciato ruotare dalla posizione in cui la sbarra si trova a 45 gradi rispetto alla verticale (praticamente quando l'estremo si trova in prossimità del cilindretto di destra).
So che non l'ho scritto benissimo ma non posso postare il testo poiché è in PDF. Spero sia comprensibile.
Io ho provato a farlo impostando le due equazioni cardinali della dinamica ma non so come impostarle appunto. Grazie mille per il tempo dedicatomi!
So che non l'ho scritto benissimo ma non posso postare il testo poiché è in PDF. Spero sia comprensibile.
Io ho provato a farlo impostando le due equazioni cardinali della dinamica ma non so come impostarle appunto. Grazie mille per il tempo dedicatomi!
Il fatto che tra i due raggi che congiungono il centro con i punti di appoggio sui cilindretti ci sia un angolo retto facilita molto le cose. Se tra il disco e il cilindretto di sinistra c'è attrito, perché questo viene detto esplicitamente, presumo che invece col cilindretto di destra non ci sia attrito, altrimenti il testo lo direbbe, quindi io assumo che questo appoggio sia liscio.
Allora imposto la prima equazione con riferimento a un asse che passa per il centro del disco e il punto di appoggio sul cilindretto di sinistra, cioè un asse inclinato di 45°:
[tex]\frac{{Mg}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{mg}}{{\sqrt 2 }} - {F_{1N}} = m\alpha \frac{R}{2}[/tex]
Il promo addendo è la componente della forza peso del disco lungo il suddetto asse, il secondo addendo è la componente della forza peso della sbarretta sempre lungo il medesimo asse, il terzo addendo, che ha verso contrario rispetto ai precedenti, è la reazione normale di appoggio del cilindretto 1 (quello di sinistra). Il cilindretto 2 (quello di destra) non dà reazioni parallele all'asse scelto, perché è liscio. A destra del segno di = c'è l'accelerazione del sistema. Poiché il centro di massa del disco è fermo, l'unica massa che accelera è la sbarretta, quindi scrivo la sua accelerazione in funzione della accelerazione angolare, perché questa accelerazione è solo tangenziale; infatti essendo la velocità iniziale nulla, nell'istante iniziale non c'è accelerazione centripeta.
Poi scrivo l'equazione della accelerazione angolare in relazione ai momenti delle forze applicate:
[tex]\frac{{mg}}{{\sqrt 2 }}\frac{R}{2} - {F_{1T}}R = I\alpha[/tex]
Come si vede le uniche forze che danno momento non nullo rispetto al centro del disco sono la forza di attrito e la forza peso della sbarretta.
Il calcolo del momento di inerzia totale è presto fatto:
[tex]I = \frac{1}{2}M{R^2} + \frac{1}{{12}}m{R^2} + m\frac{{{R^2}}}{4} = \left( {\frac{M}{{2m}} + \frac{1}{3}} \right)m{R^2}[/tex]
E infine la relazione dell'attrito:
[tex]{F_{1T}} = k{F_{1N}}[/tex]
Queste equazioni permettono di determinare l'accelerazione angolare.
Allora imposto la prima equazione con riferimento a un asse che passa per il centro del disco e il punto di appoggio sul cilindretto di sinistra, cioè un asse inclinato di 45°:
[tex]\frac{{Mg}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{mg}}{{\sqrt 2 }} - {F_{1N}} = m\alpha \frac{R}{2}[/tex]
Il promo addendo è la componente della forza peso del disco lungo il suddetto asse, il secondo addendo è la componente della forza peso della sbarretta sempre lungo il medesimo asse, il terzo addendo, che ha verso contrario rispetto ai precedenti, è la reazione normale di appoggio del cilindretto 1 (quello di sinistra). Il cilindretto 2 (quello di destra) non dà reazioni parallele all'asse scelto, perché è liscio. A destra del segno di = c'è l'accelerazione del sistema. Poiché il centro di massa del disco è fermo, l'unica massa che accelera è la sbarretta, quindi scrivo la sua accelerazione in funzione della accelerazione angolare, perché questa accelerazione è solo tangenziale; infatti essendo la velocità iniziale nulla, nell'istante iniziale non c'è accelerazione centripeta.
Poi scrivo l'equazione della accelerazione angolare in relazione ai momenti delle forze applicate:
[tex]\frac{{mg}}{{\sqrt 2 }}\frac{R}{2} - {F_{1T}}R = I\alpha[/tex]
Come si vede le uniche forze che danno momento non nullo rispetto al centro del disco sono la forza di attrito e la forza peso della sbarretta.
Il calcolo del momento di inerzia totale è presto fatto:
[tex]I = \frac{1}{2}M{R^2} + \frac{1}{{12}}m{R^2} + m\frac{{{R^2}}}{4} = \left( {\frac{M}{{2m}} + \frac{1}{3}} \right)m{R^2}[/tex]
E infine la relazione dell'attrito:
[tex]{F_{1T}} = k{F_{1N}}[/tex]
Queste equazioni permettono di determinare l'accelerazione angolare.
Grazie Falco, non è da tutti avere tanta pazienza per rispondere in maniera così esaustiva! Devo però dire che il risultato non torna come quello del professore (ho il risultato scritto da lui e non è lo stesso) anche se non comprendo il motivo dato che il tuo ragionamento è sensato. Svolgendo i calcoli con la tua maniera, risulta essere [tex]\alpha=[/tex] $ (3gsqrt(2)) / (2r(14-3k)) $ mentre il risultato del professore è [tex]\alpha=[/tex] $ (3g(10k-1)sqrt(2))/(2r(14-3k)) $!!! Hai idea di dove possa aver preso $ 10k-1 $? Grazie ancora per la risposta di prima!
Come non detto, avevo svolto male i calcoli! Torna!!! Grazie ancora per la tua gentilezza e per l'aver perso tempo dietro a me!
Come non detto, avevo svolto male i calcoli! Torna!!! Grazie ancora per la tua gentilezza e per l'aver perso tempo dietro a me!
Devi aver sbagliato qualche passaggio, il tuo prof. ha ragione perché a me viene uguale (a parte il segno, perché io ho considerato alfa positiva in senso orario mentre evidentemente il tuo prof. l'ha considerata positiva in senso antiorario):
[tex]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left( {M + m} \right)g}}{{\sqrt 2 }} - {F_{1N}} = \frac{{mR}}{2}\alpha \\
\frac{{mgR}}{{2\sqrt 2 }} - k{F_{1N}}R = I\alpha \\
\end{array} \right. \\
\frac{{\left( {M + m} \right)g}}{{\sqrt 2 }} - \frac{{mR}}{2}\alpha = {F_{1N}} \\
\frac{{gmR\left( {1 - 2k\left( {1 + \frac{M}{m}} \right)} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( {I - k\frac{{m{R^2}}}{2}} \right)}} = \alpha \\
g\frac{{\left( {1 - 2k\left( {1 + \frac{M}{m}} \right)} \right)}}{{2\sqrt 2 R\left( {\frac{M}{{2m}} + \frac{1}{3} - \frac{k}{2}} \right)}} = \alpha \\
g\frac{{3\sqrt 2 \left( {1 - k10} \right)}}{{2R\left( {14 - 3k} \right)}} = \alpha \\
\end{array}[/tex]
EDIT: ah ok, non avevo letto la tua ultima smentita
[tex]\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\left( {M + m} \right)g}}{{\sqrt 2 }} - {F_{1N}} = \frac{{mR}}{2}\alpha \\
\frac{{mgR}}{{2\sqrt 2 }} - k{F_{1N}}R = I\alpha \\
\end{array} \right. \\
\frac{{\left( {M + m} \right)g}}{{\sqrt 2 }} - \frac{{mR}}{2}\alpha = {F_{1N}} \\
\frac{{gmR\left( {1 - 2k\left( {1 + \frac{M}{m}} \right)} \right)}}{{2\sqrt 2 \left( {I - k\frac{{m{R^2}}}{2}} \right)}} = \alpha \\
g\frac{{\left( {1 - 2k\left( {1 + \frac{M}{m}} \right)} \right)}}{{2\sqrt 2 R\left( {\frac{M}{{2m}} + \frac{1}{3} - \frac{k}{2}} \right)}} = \alpha \\
g\frac{{3\sqrt 2 \left( {1 - k10} \right)}}{{2R\left( {14 - 3k} \right)}} = \alpha \\
\end{array}[/tex]
EDIT: ah ok, non avevo letto la tua ultima smentita
Sì, torna tutto... Grazie ancora!
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