Accelerazione max moto armonico semplice
Salve, apro questo topic per avere conferma che il risultato del libro sia sbagliato.. perché è l'unico punto dell'esercizio che non mi viene e il punto precedente era una domanda che si risolveva nello stesso modo e il risultato tornava.
dunque ecco il testo:
"una particella che si muove lungo l'asse x di moto armonico semplice parte dalla posizione di equilibrio, l'origine, a t=0 e si muove verso destra. l'Ampiezza del suo moto è 0.02 m e la frequenza è 1.5 Hz. Determinare la massima accelerazione e il minimo tempo (t>0) in cui la particella raggiunge tale accelerazione."
allora l'equazione che descrive questo moto è la seguente (ed è valida per tutti i punti precedenti quindi è giusta)
$x(t)=0.02cos(3pit + pi/2)$
o equivalentemente $x(t)=-0.02sin(3pit)$
ordunque prima mi calcolo l'accelerazione massima:
$a_(max)=omega^2*A$ => $a_(max)= 3pi*0.02$ => $a_(max)=1.78 m/s^2 $ CONFERMATO DAL RISULTATO DEL LIBRO!
quindi per calcolare il minimo tempo che ci mette ho pensato di fare (nello stesso modo che ho fatto per il punto prima dove mi chiedeva velocità massima e tempo minimo per arrivarci e mi veniva!)
$A*omega^2=-A*omega^2cos(omegat + phi)$
semplifico e moltiplico per -1
$-1= cos(omega*t + phi)$ faccio l'arcocoseno di -1 che è $pi$
$pi=3pi*t+pi/2$ divido tutto per $pi$
$1=3t+1/2$
risolvo e viene
$t=1/6$ => 0.167 s
ecco e qui il risultato è ERRATO il libro dice che t=0.5 ma al massimo a me viene 3t=0.5
l'ho rifatto varie volte anche considerando la trasformazione da coseno a seno ma niente mi torna sempre e solo $1/6$!!
quindi mi confermate? è sbagliato il risultato del libro o cosa sbaglio io??? non vedo altri modi per risolverlo!!
dunque ecco il testo:
"una particella che si muove lungo l'asse x di moto armonico semplice parte dalla posizione di equilibrio, l'origine, a t=0 e si muove verso destra. l'Ampiezza del suo moto è 0.02 m e la frequenza è 1.5 Hz. Determinare la massima accelerazione e il minimo tempo (t>0) in cui la particella raggiunge tale accelerazione."
allora l'equazione che descrive questo moto è la seguente (ed è valida per tutti i punti precedenti quindi è giusta)
$x(t)=0.02cos(3pit + pi/2)$
o equivalentemente $x(t)=-0.02sin(3pit)$
ordunque prima mi calcolo l'accelerazione massima:
$a_(max)=omega^2*A$ => $a_(max)= 3pi*0.02$ => $a_(max)=1.78 m/s^2 $ CONFERMATO DAL RISULTATO DEL LIBRO!
quindi per calcolare il minimo tempo che ci mette ho pensato di fare (nello stesso modo che ho fatto per il punto prima dove mi chiedeva velocità massima e tempo minimo per arrivarci e mi veniva!)
$A*omega^2=-A*omega^2cos(omegat + phi)$
semplifico e moltiplico per -1
$-1= cos(omega*t + phi)$ faccio l'arcocoseno di -1 che è $pi$
$pi=3pi*t+pi/2$ divido tutto per $pi$
$1=3t+1/2$
risolvo e viene
$t=1/6$ => 0.167 s
ecco e qui il risultato è ERRATO il libro dice che t=0.5 ma al massimo a me viene 3t=0.5
l'ho rifatto varie volte anche considerando la trasformazione da coseno a seno ma niente mi torna sempre e solo $1/6$!!
quindi mi confermate? è sbagliato il risultato del libro o cosa sbaglio io??? non vedo altri modi per risolverlo!!
Risposte
Io proporrei di risolvere così...
Se $A=0.02 \text( m)$ è l'ampiezza, $f = 1.5 \text( Hz)$ la frequenza e se $x(0)=0$, allora:
l'equazione del moto è $x(t)=A*sin(2pif*t)$,
quella della velocità $v(t)= dotx(t)=A*2pif*cos(2pif*t)$
e quella dell'accelerazione $a(t)=dotv(t)=ddotx(t)=-A*(2pif)^2*sin(2pif*t)$.
Quindi l'accelerazione massima è
$a_(Max)=A*(2pif)^2=4*A*pi^2*f^2=4*0.02*pi^2*1.5^2=0.18*pi^2~=1.78 \text( m/)s^2$
e viene raggiunta quando
$sin(2pif*t)=-1->2pif*t=3/2pi->t=3/(4f)=3/(4*1.5)=1/2=0.5 \text( s)$.
A $t=1/6 \text( s)$ , invece, l'accelerazione è minima, perché è
$a(1/6)=-A*(2pif)^2*sin(2pif*1/6)=-A*(2pif)^2*sin(pi/2)=-A*(2pif)^2=a_(min)$.
E' massima in modulo, ma è $<0$.
Se $A=0.02 \text( m)$ è l'ampiezza, $f = 1.5 \text( Hz)$ la frequenza e se $x(0)=0$, allora:
l'equazione del moto è $x(t)=A*sin(2pif*t)$,
quella della velocità $v(t)= dotx(t)=A*2pif*cos(2pif*t)$
e quella dell'accelerazione $a(t)=dotv(t)=ddotx(t)=-A*(2pif)^2*sin(2pif*t)$.
Quindi l'accelerazione massima è
$a_(Max)=A*(2pif)^2=4*A*pi^2*f^2=4*0.02*pi^2*1.5^2=0.18*pi^2~=1.78 \text( m/)s^2$
e viene raggiunta quando
$sin(2pif*t)=-1->2pif*t=3/2pi->t=3/(4f)=3/(4*1.5)=1/2=0.5 \text( s)$.
A $t=1/6 \text( s)$ , invece, l'accelerazione è minima, perché è
$a(1/6)=-A*(2pif)^2*sin(2pif*1/6)=-A*(2pif)^2*sin(pi/2)=-A*(2pif)^2=a_(min)$.
E' massima in modulo, ma è $<0$.
'equazione del moto è $x_t=A*sin(2pift)$
non ho capito questa sostituzione da dove salta fuori e perché...non posso usare l'equazione generale?
EDIT: ah perché c'è il $2pi$ hai sostituito il coseno col sin $cos(alpha + pi/2) = - sin(alpha)$.. ok... adesso cerco di capire gli altri passaggi
non ho capito questa sostituzione da dove salta fuori e perché...non posso usare l'equazione generale?
EDIT: ah perché c'è il $2pi$ hai sostituito il coseno col sin $cos(alpha + pi/2) = - sin(alpha)$.. ok... adesso cerco di capire gli altri passaggi
ok senti mi è chiaro tutto TRANNE una cosa!!
e ho aperto il libro di matematica per averne conferma!
nella voce SIMMETRIA ARCHI COMPLEMENTARI E SUPPLEMENTARI il mio libro recita questa formula:
$cos(pi/2 + x) = -sin(x)$ e $cos(pi/2-x)=sin(x)$
essendo da noi $x=2pi*f*t$ maggiore di 0... non capisco perché hai omesso il Meno davanti al seno equivalente... non sarebbe un grave errore mangiarsi un meno??? o se c'è un motivo per favore spiegamelo che non lo capisco... di fatto dopo l'imbecata che mi hai dato ho rifatto i calcoli e mi venivano i segni tutti opposti a i tuoi per x, v, a... ho ricontrollato se sbagliavo la proporzione.. ma anche facendomela su carta con un disegno mi torna quello che dice il libro.. cioè che ci va un Meno davanti!!
il libro di fisica invece anche lui fa sparire un meno con questo cambio... ma come mai??
e ho aperto il libro di matematica per averne conferma!
nella voce SIMMETRIA ARCHI COMPLEMENTARI E SUPPLEMENTARI il mio libro recita questa formula:
$cos(pi/2 + x) = -sin(x)$ e $cos(pi/2-x)=sin(x)$
essendo da noi $x=2pi*f*t$ maggiore di 0... non capisco perché hai omesso il Meno davanti al seno equivalente... non sarebbe un grave errore mangiarsi un meno??? o se c'è un motivo per favore spiegamelo che non lo capisco... di fatto dopo l'imbecata che mi hai dato ho rifatto i calcoli e mi venivano i segni tutti opposti a i tuoi per x, v, a... ho ricontrollato se sbagliavo la proporzione.. ma anche facendomela su carta con un disegno mi torna quello che dice il libro.. cioè che ci va un Meno davanti!!
il libro di fisica invece anche lui fa sparire un meno con questo cambio... ma come mai??
"Aint":
... non capisco perché hai omesso il Meno davanti al seno equivalente... non sarebbe un grave errore mangiarsi un meno??? o se c'è un motivo per favore spiegamelo che non lo capisco...
Il segno nell'equazione oraria dipende solo dall'orientamento che si sceglie per l'asse $x$. Siccome il testo dice "una particella che si muove lungo l'asse $x$ .... parte dalla posizione di equilibrio, l'origine, a $t=0$ e si muove verso destra" ho orientato l'asse nel verso della velocità iniziale e cioè verso destra, come si fa normalmente. Se capisco bene, anche il testo fa così e infatti i risultati coincidono.
si hai ragione... è che applicavo la formula dalla derivata e la derivata di coseno era meno seno..
comunque ho capito grazie!
comunque ho capito grazie!
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