Accelerazione dipendente dalla velocità
Buongiorno a tutti, ho quanche difficoltà con questo problema di cinematica.
Un punto parte dall’origine dell’asse x con velocità $v_0$ positiva. Il punto viaggia con un accelerazione negativa e si arresta dopo aver percorso la distanza $d$. Si osserva che quando passa nella posizione $x=d/2$ d la sua velocità è $v_0/2$.
Determinare se l'accelerazione è costante oppure se è proporzionale alla velocità.
Ho pensato di fare due ipotesi, cioè il caso in cui l'acceerazione sia costante, e il caso in cui sia proporzionale alla velocità.
IPOTESI 1: $a=$ costante negativa
L'equazione oraria è $x(t)=x_0+v_0-1/2at^2$ e quindi $v(t)=v_0-at$
al tempo $t_k$, che è il tempo in cui $x(t)=d/2$ si ha:
$d/2 = v_0t-1/2at^2$
$1/2at^2-v_0t+d/2=0$ ;
$\Delta = v_0^2-ad$ e quindi bisogna imporre $v_0>sqrt(ad)$ (vorrei anche capirea quale caso pratico corrisponde questa condizione matematica)
quindi $t_k=(v_0+-sqrt(v_0^2-ad))/a$ quì già mi trovo spaesato su quale valore scegliere, se quello con il + o quello con l - (che non è necessariamente negativo), comunque, ho scelto quello con il +.
$v(t_k)=sqrt(v0^2-ad)$
per $d/2$ si ha $v=sqrt(v_o-ad)$ che è in generale diversa da $v=v_0/2$, tranne che nel caso $v_0=sqrt(4ad/3)$.
Quindi in geenrale questa propietà non vale, la risposta esatta dovrebbe essere quindi che l'accelerazione dipende dalla velocità.
IPOTESI 2: $a=-kv$ con $k>0$
in questo caso non so davvero da cosa iniziare.
A parte gli eventuali consigli, correzioni, errori di calcolo, ecc. il ragionamento che ho fatto per l'ipotesi 1 vi sembra corretto dal punto di vista ocncettuale?
Un punto parte dall’origine dell’asse x con velocità $v_0$ positiva. Il punto viaggia con un accelerazione negativa e si arresta dopo aver percorso la distanza $d$. Si osserva che quando passa nella posizione $x=d/2$ d la sua velocità è $v_0/2$.
Determinare se l'accelerazione è costante oppure se è proporzionale alla velocità.
Ho pensato di fare due ipotesi, cioè il caso in cui l'acceerazione sia costante, e il caso in cui sia proporzionale alla velocità.
IPOTESI 1: $a=$ costante negativa
L'equazione oraria è $x(t)=x_0+v_0-1/2at^2$ e quindi $v(t)=v_0-at$
al tempo $t_k$, che è il tempo in cui $x(t)=d/2$ si ha:
$d/2 = v_0t-1/2at^2$
$1/2at^2-v_0t+d/2=0$ ;
$\Delta = v_0^2-ad$ e quindi bisogna imporre $v_0>sqrt(ad)$ (vorrei anche capirea quale caso pratico corrisponde questa condizione matematica)
quindi $t_k=(v_0+-sqrt(v_0^2-ad))/a$ quì già mi trovo spaesato su quale valore scegliere, se quello con il + o quello con l - (che non è necessariamente negativo), comunque, ho scelto quello con il +.
$v(t_k)=sqrt(v0^2-ad)$
per $d/2$ si ha $v=sqrt(v_o-ad)$ che è in generale diversa da $v=v_0/2$, tranne che nel caso $v_0=sqrt(4ad/3)$.
Quindi in geenrale questa propietà non vale, la risposta esatta dovrebbe essere quindi che l'accelerazione dipende dalla velocità.
IPOTESI 2: $a=-kv$ con $k>0$
in questo caso non so davvero da cosa iniziare.
A parte gli eventuali consigli, correzioni, errori di calcolo, ecc. il ragionamento che ho fatto per l'ipotesi 1 vi sembra corretto dal punto di vista ocncettuale?
Risposte
Ti conviene fare un grafico con la distanza e la velocità in funzione del tempo, con accelerazione costante (e negativa).
Poi guardi dov'è che la velocità si dimezza e quindi....
Poi guardi dov'è che la velocità si dimezza e quindi....
Innanzitutto osserva che il testo non lega nessuna grandezza cinematica al tempo, ma lega tra loro solo posizione e velocità infatti si ha che (con \(v_{0}>0\) e \(a<0\))
\[v\left(\frac{d}{2}\right)=\frac{v_{0}}{2}\hspace{2 cm}v(d)=0\]
Quindi devi dimostrare che considerando l'accelerazione costante o proporzionale alla velocità, riesci a riottenere le uguaglianze scritte sopra.
L'unica relazione che utilizziamo è la seguente
\[*\hspace{0.5 cm}2\int^{x}_{x_{0}}{adx}=v^{2}_{f}-v^{2}_{i}\]
\(i)\) Supponiamo \(a=c\), dalla \(*\) considerata sul tratto \(\left[\frac{d}{2},d\right]\) si ha
\[2a\left(d-\frac{d}{2}\right)=ad=-v^{2}\left(\frac{d}{2}\right)\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}1)\hspace{0.5 cm}v\left(\frac{d}{2}\right)=\sqrt{-ad}\]
Ora riutilizzo \(*\) sul tutto il tratto ovvero l'intervallo \([0,d]\) per ricavarmi \(a\) che non conosco da sostituire in \(1)\)
\[2ad=-v^{2}_{0}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}-ad=\frac{v^{2}_{0}}{2}\]
sostituisco in \(1)\) e osservo che
\[v\left(\frac{d}{2}\right)=\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\]
che è diversa dalla velocità del punto misurata alla distanza \(\left(\frac{d}{2}\right)\). Quindi l'accelerazione non può essere costante.
Con lo stesso tipo di ragionamento puoi invece dimostrare che l'accelerazione è proporzionale alla velocità \(a=-kv\).
\[v\left(\frac{d}{2}\right)=\frac{v_{0}}{2}\hspace{2 cm}v(d)=0\]
Quindi devi dimostrare che considerando l'accelerazione costante o proporzionale alla velocità, riesci a riottenere le uguaglianze scritte sopra.
L'unica relazione che utilizziamo è la seguente
\[*\hspace{0.5 cm}2\int^{x}_{x_{0}}{adx}=v^{2}_{f}-v^{2}_{i}\]
\(i)\) Supponiamo \(a=c\), dalla \(*\) considerata sul tratto \(\left[\frac{d}{2},d\right]\) si ha
\[2a\left(d-\frac{d}{2}\right)=ad=-v^{2}\left(\frac{d}{2}\right)\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}1)\hspace{0.5 cm}v\left(\frac{d}{2}\right)=\sqrt{-ad}\]
Ora riutilizzo \(*\) sul tutto il tratto ovvero l'intervallo \([0,d]\) per ricavarmi \(a\) che non conosco da sostituire in \(1)\)
\[2ad=-v^{2}_{0}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}-ad=\frac{v^{2}_{0}}{2}\]
sostituisco in \(1)\) e osservo che
\[v\left(\frac{d}{2}\right)=\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\]
che è diversa dalla velocità del punto misurata alla distanza \(\left(\frac{d}{2}\right)\). Quindi l'accelerazione non può essere costante.
Con lo stesso tipo di ragionamento puoi invece dimostrare che l'accelerazione è proporzionale alla velocità \(a=-kv\).
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