Accelerazione della terra rispetto al razzo
Ho letto alcune discussioni sull'accelerazione relativistica come questa viewtopic.php?f=19&t=114276&hilit=+razzo+relativistico#p749080
In un riferimento cartesiano dunque l'accelerazione del razzo cambierà diminuendo la sua accelerazione col tempo rispetto alla terra, mentre invece sul razzo l'accelerazione rimane costante.
Invece dell''accelerazione del razzo rispetto alla terra, la terra che accelerazione avrà rispetto al razzo? Cambia nello stesso modo? Oppure rimane costante?
Grazie per la risposta.
In un riferimento cartesiano dunque l'accelerazione del razzo cambierà diminuendo la sua accelerazione col tempo rispetto alla terra, mentre invece sul razzo l'accelerazione rimane costante.
Invece dell''accelerazione del razzo rispetto alla terra, la terra che accelerazione avrà rispetto al razzo? Cambia nello stesso modo? Oppure rimane costante?
Grazie per la risposta.
Risposte
Direi che le due situazioni non sono simmetriche.
In Relatività Ristretta bisogna fare molta attenzione ai sistemi di riferimento (ma anche in Meccanica classica, certamente!).
LE trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali si possono "invertire" facilmente : se $B(t',x')$ si allontana da $A(t,x)$ con velocità $v$ costante, si possono scrivere le TL dal riferimento di $A$ a quello di $B$ tenendo conto di tale velocità ; ma è anche vero che $A$ si allontana da $B$ , e quindi le TL si invertono semplicemente cambiando $v$ in $-v$ e scambiando le coordinate di $A$ con quelle di $B$. Il fattore $\gamma$ è lo stesso.
Però si tratta sempre di trasformazioni tra riferimenti inerziali.
Il moto relativistico del razzo si può trattare in RR considerando che il razzo quando accelera cambia il "riferimento inerziale di quiete momentanea" (MCRF = Momentarily Comoving Reference Frame) con continuità. Ma è appunto nella accelerazione del razzo,rispetto alla Terra, e quindi nel mutamento continuo del MCRF la differenza rispetto all'osservatore terrestre, che invece rimane fisso nel proprio riferimento inerziale.
Da notare una cosa importante : in RR, contrariamente alla Meccanica classica, l'accelerazione dipende anche dalla velocità, cosa che invece in Meccanica classica non sussiste.
Perciò, ripeto, secondo me non c'è simmetria tra l'osservatore terrestre, in quiete nello stesso r.i. , e l'astronauta che sente l'accelerazione propria costante del razzo nella sua schiena.
È lo stesso tipo di asimmetria, che serve a spiegare il famigerato "paradosso degli orologi", o gemelli.
[ot]Chissà perché, ho la sensazione che tu non sia nuovo di questo forum.[/ot]
In Relatività Ristretta bisogna fare molta attenzione ai sistemi di riferimento (ma anche in Meccanica classica, certamente!).
LE trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali si possono "invertire" facilmente : se $B(t',x')$ si allontana da $A(t,x)$ con velocità $v$ costante, si possono scrivere le TL dal riferimento di $A$ a quello di $B$ tenendo conto di tale velocità ; ma è anche vero che $A$ si allontana da $B$ , e quindi le TL si invertono semplicemente cambiando $v$ in $-v$ e scambiando le coordinate di $A$ con quelle di $B$. Il fattore $\gamma$ è lo stesso.
Però si tratta sempre di trasformazioni tra riferimenti inerziali.
Il moto relativistico del razzo si può trattare in RR considerando che il razzo quando accelera cambia il "riferimento inerziale di quiete momentanea" (MCRF = Momentarily Comoving Reference Frame) con continuità. Ma è appunto nella accelerazione del razzo,rispetto alla Terra, e quindi nel mutamento continuo del MCRF la differenza rispetto all'osservatore terrestre, che invece rimane fisso nel proprio riferimento inerziale.
Da notare una cosa importante : in RR, contrariamente alla Meccanica classica, l'accelerazione dipende anche dalla velocità, cosa che invece in Meccanica classica non sussiste.
Perciò, ripeto, secondo me non c'è simmetria tra l'osservatore terrestre, in quiete nello stesso r.i. , e l'astronauta che sente l'accelerazione propria costante del razzo nella sua schiena.
È lo stesso tipo di asimmetria, che serve a spiegare il famigerato "paradosso degli orologi", o gemelli.
[ot]Chissà perché, ho la sensazione che tu non sia nuovo di questo forum.[/ot]
[ot]No no.. su questo forum è la prima volta che mi iscrivo qui, ma ho una mia esperienza forumistica su diversi forum. Perché dici questo? Cosa è successo?!? Devo cercare sul forum la parola relatività e c'è qualcuno che è andato di matto?!??[/ot]
Il razzo nella sua accelerazione all'interno di esso si è in presenza di una gravità. Seppur breve la lunghezza del razzo, in testa e in coda ci sono due accelerazioni diverse. Dico giusto?
Così ad una lunga distanza la terra ''dovrebbe' aumentare la sua accelerazione. Facendo un'ipotesi la terra potrebbe avere un'accelerazione costante, ma è da verificare...
Il razzo nella sua accelerazione all'interno di esso si è in presenza di una gravità. Seppur breve la lunghezza del razzo, in testa e in coda ci sono due accelerazioni diverse. Dico giusto?
Così ad una lunga distanza la terra ''dovrebbe' aumentare la sua accelerazione. Facendo un'ipotesi la terra potrebbe avere un'accelerazione costante, ma è da verificare...
[ot]Sì, in verità più di uno ha…."detto stravaganze"…. su questi argomenti, e qualcuno ha pure insultato, ma lasciamo stare.[/ot]
Diciamo meglio : dentro ad un razzo in accelerazione costante, il comportamento dei corpi è equivalente al comportamento che essi avrebbero in un campo gravitazionale uniforme. Il campo gravitazionale creato da un corpo celeste non è rigorosamente uniforme, ma lo si può supporre tale "solo localmente" , cioè in una limitata porzione di spazio e di tempo. Quindi un sistema in moto accelerato si può considerare equivalente localmente ad un campo gravitazionale.
Tra testa e coda del razzo in accelerazione c'è una piccolissima differenza di accelerazione, ma perché in Relatività non sussiste il concetto di corpo rigido della Meccanica classica. Ma è troppo lungo e difficile, questo discorso.
Anche in Meccanica classica, se si abbandona l'idea di rigidità, si ha che una accelerazione subita dalla testa del razzo non si trasmette istantaneamente alla coda, perché le perturbazioni si propagano con velocità finita, molto minore di $c$.
Ma l'effetto a cui mi riferisco in Relatività è di altro genere,
Non ho capito l'idea riguardante la Terra.
Diciamo meglio : dentro ad un razzo in accelerazione costante, il comportamento dei corpi è equivalente al comportamento che essi avrebbero in un campo gravitazionale uniforme. Il campo gravitazionale creato da un corpo celeste non è rigorosamente uniforme, ma lo si può supporre tale "solo localmente" , cioè in una limitata porzione di spazio e di tempo. Quindi un sistema in moto accelerato si può considerare equivalente localmente ad un campo gravitazionale.
Tra testa e coda del razzo in accelerazione c'è una piccolissima differenza di accelerazione, ma perché in Relatività non sussiste il concetto di corpo rigido della Meccanica classica. Ma è troppo lungo e difficile, questo discorso.
Anche in Meccanica classica, se si abbandona l'idea di rigidità, si ha che una accelerazione subita dalla testa del razzo non si trasmette istantaneamente alla coda, perché le perturbazioni si propagano con velocità finita, molto minore di $c$.
Ma l'effetto a cui mi riferisco in Relatività è di altro genere,
Non ho capito l'idea riguardante la Terra.
"navigatore":
[ot]Sì, in verità più di uno ha…."detto stravaganze"…. su questi argomenti, e qualcuno ha pure insultato, ma lasciamo stare.[/ot]
Diciamo meglio : dentro ad un razzo in accelerazione costante, il comportamento dei corpi è equivalente al comportamento che essi avrebbero in un campo gravitazionale uniforme. Il campo gravitazionale creato da un corpo celeste non è rigorosamente uniforme, ma lo si può supporre tale "solo localmente" , cioè in una limitata porzione di spazio e di tempo. Quindi un sistema in moto accelerato si può considerare equivalente localmente ad un campo gravitazionale.
Tra testa e coda del razzo in accelerazione c'è differenza di accelerazione, ma perché in Relatività non sussiste il concetto di corpo rigido della Meccanica classica. Ma è troppo lungo e difficile, questo discorso.
Non ho capito l'idea riguardante la Terra.
Tra testa e coda del razzo c'è differenza di accelerazione, se lascio cadere un sasso dalla testa del razzo, questo sasso subirà due accelerazioni diverse no? Dunque se considero la meccanica classica l'accelerazione del sasso rallenta, ma visto che in coda l'accelerazione cambia il sasso tende ad aumentare la sua accelerazione.
Su brevi distanze la cosa non funziona, l'esempio che ho fatto è assurdo ma se paragoniamo il sasso alla terra ad una certa velocità e distanza, l'accelerazione potrebbe essere costante grazie a questa varianza.
[ot]qualche complottista matto?!?
Forse anche io ho una idea particolare.. ma preferisco tenermela per me![/ot]
"AlessioPuppi":
………….
Tra testa e coda del razzo c'è differenza di accelerazione, se lascio cadere un sasso dalla testa del razzo, questo sasso subirà due accelerazioni diverse no? Dunque se considero la meccanica classica l'accelerazione del sasso rallenta, ma visto che in coda l'accelerazione cambia il sasso tende ad aumentare la sua accelerazione.
Su brevi distanze la cosa non funziona, l'esempio che ho fatto è assurdo ma se paragoniamo il sasso alla terra ad una certa velocità e distanza, l'accelerazione potrebbe essere costante grazie a questa varianza.
Sgombriamo subito il campo da possibili equivoci, che potrebbero condurre a idee decisamente errate.
Quando ho detto che tra testa e coda del razzo in accelerazione c'è differenza di accelerazione, mi riferivo ad un fatto alquanto difficile da provare matematicamente (sperimentalmente non se ne parla neppure). Ma si tratta di un effetto relativistico, che si vede ad alte velocità, considerando che testa e coda seguono due linee di universo che sono due rami di iperbole diverse : è il cosiddetto "moto iperbolico relativistico". Le linee di universo sono differenti per testa e coda. Ne abbiamo parlato a lungo qui, ma ti avverto che non sono argomenti semplici :
viewtopic.php?f=19&t=128935&hilit=moto+iperbolico&start=40#p833517
Detto questo, sarebbe meglio se tu chiarissi queste tue osservazioni…...
Tra testa e coda del razzo c'è differenza di accelerazione, se lascio cadere un sasso dalla testa del razzo, questo sasso subirà due accelerazioni diverse no? Dunque se considero la meccanica classica l'accelerazione del sasso rallenta, ma visto che in coda l'accelerazione cambia il sasso tende ad aumentare la sua accelerazione.
Su brevi distanze la cosa non funziona, l'esempio che ho fatto è assurdo ma se paragoniamo il sasso alla terra ad una certa velocità e distanza, l'accelerazione potrebbe essere costante grazie a questa varianza.
Se intendi riferirti alle cosiddette "accelerazioni di marea", allora il discorso è un po' diverso. LE accelerazioni di marea le vedi in un campo gravitazionale reale, non in un campo di accelerazioni uniforme come quello del razzo.
Dunque, in prima approssimazione, quando si comincia a parlare di argomenti "difficili" di Relatività :
-si considera il razzo come rigido e si assume che si possa parlare di "accelerazione del razzo"
-non si considerano le accelerazioni di marea, che riguardano i campi gravitazionali reali creati da massa-energia, e non i campi di accelerazione, equivalenti a quelli gravitazionali solo localmente, che si generano nel razzo.
Quindi un sasso che cade dalla testa del razzo verso la coda non subisce "due accelerazioni diverse". L'accelerazione propria del razzo è costante per tutta la sua altezza, quindi è costante l'accelerazione con cui il sasso cade. L'accelerazione non aumenta nel razzo. Non è come il campo gravitazionale della Terra, che varia con l'altezza.
Lo ripeto affinché sia chiaro.
scusa il ritardo..
Come scusa?
Ipotesi: un treno molto lungo che accelera rispetto alla terra, in testa al treno non è come ritrovarsi in cima alla montagna, e in coda è come essere in riva al mare?
No capisco!!!
Con un sistema euclideo con riferimento la terra di riferimento dovremmo vedere il sasso fermo e il treno accelerare in modo costante in tutta la sua lunghezza.
Mentre se si prende di riferimento l'astronave per i passeggeri il sasso sembra aumentare l'accelerazione come un campo gravitazionale.
Quindi un sasso che cade dalla testa del razzo verso la coda non subisce "due accelerazioni diverse". L'accelerazione propria del razzo è costante per tutta la sua altezza, quindi è costante l'accelerazione con cui il sasso cade. L'accelerazione non aumenta nel razzo. Non è come il campo gravitazionale della Terra, che varia con l'altezza.
Lo ripeto affinché sia chiaro.
Come scusa?
Ipotesi: un treno molto lungo che accelera rispetto alla terra, in testa al treno non è come ritrovarsi in cima alla montagna, e in coda è come essere in riva al mare?
No capisco!!!
Con un sistema euclideo con riferimento la terra di riferimento dovremmo vedere il sasso fermo e il treno accelerare in modo costante in tutta la sua lunghezza.
Mentre se si prende di riferimento l'astronave per i passeggeri il sasso sembra aumentare l'accelerazione come un campo gravitazionale.
Adesso in verità sono io a non comprendere le tue osservazioni.
Prima della mia frase che hai riportato, ho detto questo :
Ti è chiaro il significato di quanto sopra?
Devi immaginare il razzo lontano da qualsiasi massa che crei un campo gravitazionale come quello della Terra o di un corpo celeste qualsiasi. Devi immaginare che questo razzo stia navigando nello spazio profondo, dove non c'è alcuna gravità.
Supponi che dapprima il razzo stia navigando a velocità costante rispetto alle "stelle fisse" , cioè che sia esso stesso un riferimento inerziale.
Ad un certo punto, si accendono i motori e il razzo subisce una spinta costante, quindi accelera.
L'accelerazione è la stessa, in prima approssimazione, sia in testa che in coda. Ripeto, sto supponendo che il razzo si comporti come un "corpo rigido" , e inoltre non ci sono "accelerazioni di marea" tra testa e coda, perché non c'è un campo gravitazionale. Il campo di accelerazioni "equivalente" è uniforme, perfettamente uniforme per tutti i punti del razzo. Ecco perché quando si enuncia il "principio di equivalenza" si dice che un campo gravitazionale è equivalente solo localmente a un sistema di riferimento in moto accelerato: il campo gravitazionale non è realmente uniforme in ampie estensioni di spazio e di tempo, il campo di accelerazioni dovuto alla accelerazione del razzo invece lo è.
Quella del treno che ha la testa in cima alla montagna e la coda al mare dovresti spiegarla, mi è difficile decifrare..
E quest'altra anche, sinceramente non ne comprendo il senso :
Con un sistema euclideo con riferimento la terra di riferimento dovremmo vedere il sasso fermo e il treno accelerare in modo costante in tutta la sua lunghezza.
Mentre se si prende di riferimento l'astronave per i passeggeri il sasso sembra aumentare l'accelerazione come un campo gravitazionale.
Prima della mia frase che hai riportato, ho detto questo :
Se intendi riferirti alle cosiddette "accelerazioni di marea", allora il discorso è un po' diverso. Le accelerazioni di marea le vedi in un campo gravitazionale reale, non in un campo di accelerazioni uniforme come quello del razzo.
Dunque, in prima approssimazione, quando si comincia a parlare di argomenti "difficili" di Relatività :
-si considera il razzo come rigido e si assume che si possa parlare di "accelerazione del razzo"
-non si considerano le accelerazioni di marea, che riguardano i campi gravitazionali reali creati da massa-energia, e non i campi di accelerazione, equivalenti a quelli gravitazionali solo localmente, che si generano nel razzo.
Ti è chiaro il significato di quanto sopra?
Devi immaginare il razzo lontano da qualsiasi massa che crei un campo gravitazionale come quello della Terra o di un corpo celeste qualsiasi. Devi immaginare che questo razzo stia navigando nello spazio profondo, dove non c'è alcuna gravità.
Supponi che dapprima il razzo stia navigando a velocità costante rispetto alle "stelle fisse" , cioè che sia esso stesso un riferimento inerziale.
Ad un certo punto, si accendono i motori e il razzo subisce una spinta costante, quindi accelera.
L'accelerazione è la stessa, in prima approssimazione, sia in testa che in coda. Ripeto, sto supponendo che il razzo si comporti come un "corpo rigido" , e inoltre non ci sono "accelerazioni di marea" tra testa e coda, perché non c'è un campo gravitazionale. Il campo di accelerazioni "equivalente" è uniforme, perfettamente uniforme per tutti i punti del razzo. Ecco perché quando si enuncia il "principio di equivalenza" si dice che un campo gravitazionale è equivalente solo localmente a un sistema di riferimento in moto accelerato: il campo gravitazionale non è realmente uniforme in ampie estensioni di spazio e di tempo, il campo di accelerazioni dovuto alla accelerazione del razzo invece lo è.
Quella del treno che ha la testa in cima alla montagna e la coda al mare dovresti spiegarla, mi è difficile decifrare..
E quest'altra anche, sinceramente non ne comprendo il senso :
Con un sistema euclideo con riferimento la terra di riferimento dovremmo vedere il sasso fermo e il treno accelerare in modo costante in tutta la sua lunghezza.
Mentre se si prende di riferimento l'astronave per i passeggeri il sasso sembra aumentare l'accelerazione come un campo gravitazionale.
Ho fatto un disegno, è un abozzo... voglio solo capire qual'è il modello corretto. Spero di non aver creato confusione!!
In quale condizioni troviamo la geometria Euclidea? Caso A o Caso B?
In quale condizioni troviamo la geometria non Euclidea? Caso A o Caso B?
Scusatemi l'immagine è tagliata..
"3 accelerazioni diverse del sasso rispetto a questa linea dello spazio"
"3 accelerazioni diverse del treno rispetto a questa linea dello spazio"
In quale condizioni troviamo la geometria Euclidea? Caso A o Caso B?
In quale condizioni troviamo la geometria non Euclidea? Caso A o Caso B?
Scusatemi l'immagine è tagliata..
"3 accelerazioni diverse del sasso rispetto a questa linea dello spazio"
"3 accelerazioni diverse del treno rispetto a questa linea dello spazio"
Sono spiacente, ma per me il tuo disegno è incomprensibile. Dovresti aggiungere delle spiegazioni, almeno per far capire che cosa hai in mente.
Per cominciare : siamo in meccanica classica o in meccanica relativistica?
E perché hai messo l'asse del tempo in verticale diretto verso il basso? In meccanica relativistica, quando si disegnano i cosiddetti "diagrammi di Minkowski" , si mette l'asse del tempo orientato verso l'alto. Ma non credo che si tratti di questo.
Sasso e treno…in che posizione relativa si trovano ? In quale riferimento? Che cosa dovrebbero rappresentare quelle linee rosse?
Parli di geometria euclidea e non euclidea, chiedi di sapere in quale dei due casi la geometria è euclidea…ma come pensi che si possa rispondere, semplicemente guardando un disegno così?
In ogni caso, ti chiarisco che in Relatività ristretta la geometria dello spaziotempo non è euclidea. La distanza, o meglio l'intervallo spaziotemporale tra due eventi, è data da una formula che non rispecchia il teorema di Pitagora. Questo intervallo è invariante per tutti gli osservatori inerziali. Lo spaziotempo in RR è tuttavia piatto.
Ma ho paura che sto andando troppo fuori tema, rispetto a quello che tu vuoi intendere.
Per cominciare : siamo in meccanica classica o in meccanica relativistica?
E perché hai messo l'asse del tempo in verticale diretto verso il basso? In meccanica relativistica, quando si disegnano i cosiddetti "diagrammi di Minkowski" , si mette l'asse del tempo orientato verso l'alto. Ma non credo che si tratti di questo.
Sasso e treno…in che posizione relativa si trovano ? In quale riferimento? Che cosa dovrebbero rappresentare quelle linee rosse?
Parli di geometria euclidea e non euclidea, chiedi di sapere in quale dei due casi la geometria è euclidea…ma come pensi che si possa rispondere, semplicemente guardando un disegno così?
In ogni caso, ti chiarisco che in Relatività ristretta la geometria dello spaziotempo non è euclidea. La distanza, o meglio l'intervallo spaziotemporale tra due eventi, è data da una formula che non rispecchia il teorema di Pitagora. Questo intervallo è invariante per tutti gli osservatori inerziali. Lo spaziotempo in RR è tuttavia piatto.
Ma ho paura che sto andando troppo fuori tema, rispetto a quello che tu vuoi intendere.
Ecco ho fatto casino 
, dimentichiamoci il disegno.
[ot]se è necessario lo cancello[/ot]
Meccanica relativistica. L'astronave accelera e ci sono due biglie, uno nella prima carrozza e un'altro all'ultima carrozza.
Caso A:
Punto di riferimento d'origine la terra. Geometria euclidea.
Le due biglie sono ferme: il treno ha una accelerazione diversa dalla testa alla coda.
Punto di riferimento il treno. Geometria non euclidea.
L'astronave sembra ferma, i passeggeri sentiranno una accelerazione costante sia in testa e sia in coda. Le biglie hanno una accelerazione costante.
Caso B:
Punto di riferimento d'origine la terra. Geometria euclidea.
Le due biglie sono ferme: il treno in testa ha una accelerazione costante sia in testa e sia in coda.
Punto di riferimento il treno. Geometria non euclidea.
L'astronave sembra ferma, i passeggeri sentiranno una accelerazione diversa sia in testa e sia in coda. Le due biglie avranno due accelerazioni diverse come in un campo gravitazionale.
Le biglie non toccano terra, non rotolano e non subiscono l'attrito. Uno dei due esempi che ho fatto è errato, quale?
, dimentichiamoci il disegno.[ot]se è necessario lo cancello[/ot]
Meccanica relativistica. L'astronave accelera e ci sono due biglie, uno nella prima carrozza e un'altro all'ultima carrozza.
Caso A:
Punto di riferimento d'origine la terra. Geometria euclidea.
Le due biglie sono ferme: il treno ha una accelerazione diversa dalla testa alla coda.
Punto di riferimento il treno. Geometria non euclidea.
L'astronave sembra ferma, i passeggeri sentiranno una accelerazione costante sia in testa e sia in coda. Le biglie hanno una accelerazione costante.
Caso B:
Punto di riferimento d'origine la terra. Geometria euclidea.
Le due biglie sono ferme: il treno in testa ha una accelerazione costante sia in testa e sia in coda.
Punto di riferimento il treno. Geometria non euclidea.
L'astronave sembra ferma, i passeggeri sentiranno una accelerazione diversa sia in testa e sia in coda. Le due biglie avranno due accelerazioni diverse come in un campo gravitazionale.
Le biglie non toccano terra, non rotolano e non subiscono l'attrito. Uno dei due esempi che ho fatto è errato, quale?
Ora ti metti a fare gli indovinelli relativistici ? O vuoi sapere come stanno le cose, secondo l'interpretazione corrente della Relatività ?
Allora ti ripeto quello che ti ho già detto, e non posso fare diversamente.
Prima di tutto, la geometria dello spaziotempo in RR è pseudo-euclidea, poiché l'intervallo spaziotemporale tra due eventi è espresso da una forma quadratica che non è definita positiva :
$\Deltas^2 = - (c\Deltat)^2 + \Deltax^2 + \Deltay^2 + \Deltaz^2 $
Questa quantità, che si chiama quadri-intervallo, è invariante, cioè, dati i due eventi tra cui sussiste tale 4-intervallo, la forma quadratica assume lo stesso valore rispetto a tutti gli osservatori inerziali in moto relativo tra loro. Chiaro fin qui ?
Perciò , quando fai i tuoi esempi, non puoi dire : Meccanica relativistica e geometria euclidea. Sono due concetti che non vanno d'accordo.
Premesso questo, veniamo ai tuoi esempi.
Questa strana astronave-treno, munita di carrozze (ma è un "treno spaziale" o "un'astronave terrestre?" Bah!), si sta muovendo, rispetto ad un osservatore inerziale terrestre, di moto iperbolico relativistico (se vuoi ti scrivo pure le equazioni, perché certe cose si vedono molto meglio con la matematica che con le semplici descrizioni a parole).
Questo significa che l'accelerazione propria dell'astro-treno è costante: gli astronauti sono schiacciati sul proprio sedile e sentono nella schiena la stessa accelerazione propria, sia quello seduto in testa che quello seduto in coda. Infatti, il campo di accelerazioni nell'astro-treno è rigorosamente uniforme, non c'è differenza tra i valori dell'accelerazione propria in testa e in coda. Questo perché non si tratta di un campo reale di "accelerazioni gravitazionali" , come quello che esiste attorno alla Terra, ma di un campo di accelerazioni dovuto in realtà all'astro-treno che sta accelerando.
Ci sei fin qui ? Perfetto.
Perciò, una biglia lasciata andare in testa, e una biglia lasciata andare in coda, "cadono" verso il fondo con la stessa accelerazione rispetto all'astro-treno, che è uguale e contraria alla accelerazione propria di questo.
Si dimostra (un modo semplice è quello del link che hai messo all'inizio) che l'accelerazione $a$ dell'astro-treno misurata da terra diminuisce nel tempo-terra rispetto all'accelerazione propria costante $a'$ misurata nell'astro-treno, con questa legge:
$a = \gamma^(-3) a'$
Ora provo io a farti una domanda : se le due biglie vengono lasciate cadere nello stesso istante di tempo dell'astro-treno, come vede le cose l'osservatore terrestre ?
Allora ti ripeto quello che ti ho già detto, e non posso fare diversamente.
Prima di tutto, la geometria dello spaziotempo in RR è pseudo-euclidea, poiché l'intervallo spaziotemporale tra due eventi è espresso da una forma quadratica che non è definita positiva :
$\Deltas^2 = - (c\Deltat)^2 + \Deltax^2 + \Deltay^2 + \Deltaz^2 $
Questa quantità, che si chiama quadri-intervallo, è invariante, cioè, dati i due eventi tra cui sussiste tale 4-intervallo, la forma quadratica assume lo stesso valore rispetto a tutti gli osservatori inerziali in moto relativo tra loro. Chiaro fin qui ?
Perciò , quando fai i tuoi esempi, non puoi dire : Meccanica relativistica e geometria euclidea. Sono due concetti che non vanno d'accordo.
Premesso questo, veniamo ai tuoi esempi.
Questa strana astronave-treno, munita di carrozze (ma è un "treno spaziale" o "un'astronave terrestre?" Bah!), si sta muovendo, rispetto ad un osservatore inerziale terrestre, di moto iperbolico relativistico (se vuoi ti scrivo pure le equazioni, perché certe cose si vedono molto meglio con la matematica che con le semplici descrizioni a parole).
Questo significa che l'accelerazione propria dell'astro-treno è costante: gli astronauti sono schiacciati sul proprio sedile e sentono nella schiena la stessa accelerazione propria, sia quello seduto in testa che quello seduto in coda. Infatti, il campo di accelerazioni nell'astro-treno è rigorosamente uniforme, non c'è differenza tra i valori dell'accelerazione propria in testa e in coda. Questo perché non si tratta di un campo reale di "accelerazioni gravitazionali" , come quello che esiste attorno alla Terra, ma di un campo di accelerazioni dovuto in realtà all'astro-treno che sta accelerando.
Ci sei fin qui ? Perfetto.
Perciò, una biglia lasciata andare in testa, e una biglia lasciata andare in coda, "cadono" verso il fondo con la stessa accelerazione rispetto all'astro-treno, che è uguale e contraria alla accelerazione propria di questo.
Si dimostra (un modo semplice è quello del link che hai messo all'inizio) che l'accelerazione $a$ dell'astro-treno misurata da terra diminuisce nel tempo-terra rispetto all'accelerazione propria costante $a'$ misurata nell'astro-treno, con questa legge:
$a = \gamma^(-3) a'$
Ora provo io a farti una domanda : se le due biglie vengono lasciate cadere nello stesso istante di tempo dell'astro-treno, come vede le cose l'osservatore terrestre ?
L'osservatore terrestre vedrebbe le due biglie ferme e osserverebbe il treno avere due accelerazioni diverse in testa e coda. Risposta sbagliata?
Bè, le biglie non si può dire che siano "ferme" (tieni presente che in Relatività devi sempre specificare bene rispetto a quale osservatore consideri quiete e moto. MA d'altronde, devi farlo anche in Meccanica classica, anche se spesso ce ne dimentichiamo).
Le biglie partecipano comunque al moto dell'astronave rispetto all'osservatore inerziale OI terrestre: essa ad un certo punto si trova ad avere una certa velocità $v$ rispetto a OI; questa velocità, è quella di un "riferimento inerziale di quiete momentanea" dell'astronave. È come se considerassi in quel punto della linea di universo dell'astronave un riferimento inerziale "tangente" , dotato quindi della velocità che compete in quel momento all'astronave rispetto all' OI.
Ma nella mia domanda ho detto : "nello stesso istante", cioè "contemporaneamente" : mi riferivo al tempo proprio dell'astronave.
Se due eventi sono contemporanei in un riferimento ( e qui il discorso vale anche se l'astronave è accelerata, perché ripeto che la puoi considerare istantaneamente in quiete in un opportuno RI), essi non sono contemporanei in un altro riferimento, come quello dell' OI terrestre. Questa è la "relatività della contemporaneità" , fondamento di tutta la teoria.
Perciò, se il rilascio delle due biglie in testa e in coda dell'astronave avviene allo stesso istante di tempo proprio, esso avviene in istanti di tempo coordinato diversi. L' OI terrestre quindi misura le accelerazioni in istanti di tempo coordinato diversi, a cui corrispondono velocità diverse della astronave rispetto a lui, cioè diversi valori del fattore $\gamma = \gamma(v)$ , il quale entra nell'espressione della "accelerazione coordinata" prima riportata.
In tutto questo, ripeto perché sia chiaro, si lascia da parte il fatto che, se si considera il "moto di corpo rigido" (che a rigori in Relatività non esiste) di un corpo accelerato nel senso della lunghezza, si arriva alla conclusione che c'è un gradiente di accelerazione lungo il corpo, in caso di moto iperbolico: la coda deve accelerare più della testa, se si vuole che la lunghezza propria rimanga invariata nel senso del moto, come ho accennato qui :
viewtopic.php?f=19&t=128935&hilit=bell&start=40#p833517
Le biglie partecipano comunque al moto dell'astronave rispetto all'osservatore inerziale OI terrestre: essa ad un certo punto si trova ad avere una certa velocità $v$ rispetto a OI; questa velocità, è quella di un "riferimento inerziale di quiete momentanea" dell'astronave. È come se considerassi in quel punto della linea di universo dell'astronave un riferimento inerziale "tangente" , dotato quindi della velocità che compete in quel momento all'astronave rispetto all' OI.
Ma nella mia domanda ho detto : "nello stesso istante", cioè "contemporaneamente" : mi riferivo al tempo proprio dell'astronave.
Se due eventi sono contemporanei in un riferimento ( e qui il discorso vale anche se l'astronave è accelerata, perché ripeto che la puoi considerare istantaneamente in quiete in un opportuno RI), essi non sono contemporanei in un altro riferimento, come quello dell' OI terrestre. Questa è la "relatività della contemporaneità" , fondamento di tutta la teoria.
Perciò, se il rilascio delle due biglie in testa e in coda dell'astronave avviene allo stesso istante di tempo proprio, esso avviene in istanti di tempo coordinato diversi. L' OI terrestre quindi misura le accelerazioni in istanti di tempo coordinato diversi, a cui corrispondono velocità diverse della astronave rispetto a lui, cioè diversi valori del fattore $\gamma = \gamma(v)$ , il quale entra nell'espressione della "accelerazione coordinata" prima riportata.
In tutto questo, ripeto perché sia chiaro, si lascia da parte il fatto che, se si considera il "moto di corpo rigido" (che a rigori in Relatività non esiste) di un corpo accelerato nel senso della lunghezza, si arriva alla conclusione che c'è un gradiente di accelerazione lungo il corpo, in caso di moto iperbolico: la coda deve accelerare più della testa, se si vuole che la lunghezza propria rimanga invariata nel senso del moto, come ho accennato qui :
viewtopic.php?f=19&t=128935&hilit=bell&start=40#p833517
Solo un ultima domanda (escludi il gradiente di accelerazione lungo il corpo): il tempo misurato da un orologio in testa e in coda è uguale?
Grazie mille, sei stato preciso! Altre domande non ne ho Grazie!!
Grazie mille, sei stato preciso! Altre domande non ne ho Grazie!!
No, il tempo misurato da un orologio in testa del razzo accelerato "scorre più in fretta" del tempo misurato da un orologio in coda, per un fattore che in prima approssimazione vale : $(1 + (ah)/c^2)$, essendo $a$ l'accelerazione propria del razzo e $h$ la sua altezza. Supponiamo qui che il corpo sia rigido e non ci sia gradiente di accelerazione.
Quanto sopra si può vedere :
1) analiticamente, elaborando le equazioni del moto iperbolico relativistico di testa e coda e ricavando la differenza dei tempi propri
2) mediante semplici considerazioni sul "redshift gravitazionale", misurato sulla Terra da Pound-Rebka-Snider negli anni '60.
Si chiama "gravitazionale" anche se in realtà nella razzo non è dovuto alla gravitazione, ma alla accelerazione del razzo stesso: un'onda luminosa, emessa da una sorgente posta in coda, arriva a un ricevitore posto in testa " stiracchiata", cioè con lunghezza d'onda maggiore e quindi frequenza minore, perché nel tempo di percorrenza del razzo da parte dell'onda il ricevitore si è allontanato. Per cui la frequenza si sposta verso il rosso.
Per inciso, una semplice osservazione fatta da Schild nel 1967 sul red-shift in un laboratorio terrestre mostra che sulla Terra non può esistere un riferimento lorentziano. Il laboratorio terrestre non è quindi un riferimento inerziale locale, come definito in RG, e come invece si assume in Meccanica classica, dove però occorre l'aggiunta della campo gravitazionale $\vecg$.
3) tenendo presente il Principio di Equivalenza : un campo gravitazionale può essere localmente considerato equivalente a un sistema di riferimento in moto accelerato. Nel rif. accelerato il campo uniforme di accelerazioni è ovviamente diretto in senso opposto all'accelerazione del razzo.
Nel campo gravitazionale terrestre, un orologio posto ad una certa altezza $H$ va più in fretta di uno posto a terra, di un fattore uguale a quello sopra scritto, dove $a=g$ . Questo effetto è presente, per es., negli orologi atomici al cesio posti nei satelliti del sistema GPS di posizionamento globale.
Più correttamente, si dovrebbe dire che un orologio posto ad un potenziale gravitazionale maggiore va più in fretta.
Ovviamente si tratta di una correzione molto piccola. Per $a = 10 m/s^2$ e $h = 100 m $, si ha : $(10*100)/(3*10^8)^2$.
Per un orologio su un satellite del GPS , la cui orbita ha raggio $R_s = 4.2R_T$ circa , ed è dotato di velocità orbitale di circa $3.9 (km)/s$, risulta che : $(GM_T)/(R_sc^2) \approx 1.6 * 10^(-10)$ .
Quanto sopra si può vedere :
1) analiticamente, elaborando le equazioni del moto iperbolico relativistico di testa e coda e ricavando la differenza dei tempi propri
2) mediante semplici considerazioni sul "redshift gravitazionale", misurato sulla Terra da Pound-Rebka-Snider negli anni '60.
Si chiama "gravitazionale" anche se in realtà nella razzo non è dovuto alla gravitazione, ma alla accelerazione del razzo stesso: un'onda luminosa, emessa da una sorgente posta in coda, arriva a un ricevitore posto in testa " stiracchiata", cioè con lunghezza d'onda maggiore e quindi frequenza minore, perché nel tempo di percorrenza del razzo da parte dell'onda il ricevitore si è allontanato. Per cui la frequenza si sposta verso il rosso.
Per inciso, una semplice osservazione fatta da Schild nel 1967 sul red-shift in un laboratorio terrestre mostra che sulla Terra non può esistere un riferimento lorentziano. Il laboratorio terrestre non è quindi un riferimento inerziale locale, come definito in RG, e come invece si assume in Meccanica classica, dove però occorre l'aggiunta della campo gravitazionale $\vecg$.
3) tenendo presente il Principio di Equivalenza : un campo gravitazionale può essere localmente considerato equivalente a un sistema di riferimento in moto accelerato. Nel rif. accelerato il campo uniforme di accelerazioni è ovviamente diretto in senso opposto all'accelerazione del razzo.
Nel campo gravitazionale terrestre, un orologio posto ad una certa altezza $H$ va più in fretta di uno posto a terra, di un fattore uguale a quello sopra scritto, dove $a=g$ . Questo effetto è presente, per es., negli orologi atomici al cesio posti nei satelliti del sistema GPS di posizionamento globale.
Più correttamente, si dovrebbe dire che un orologio posto ad un potenziale gravitazionale maggiore va più in fretta.
Ovviamente si tratta di una correzione molto piccola. Per $a = 10 m/s^2$ e $h = 100 m $, si ha : $(10*100)/(3*10^8)^2$.
Per un orologio su un satellite del GPS , la cui orbita ha raggio $R_s = 4.2R_T$ circa , ed è dotato di velocità orbitale di circa $3.9 (km)/s$, risulta che : $(GM_T)/(R_sc^2) \approx 1.6 * 10^(-10)$ .
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