Accelerazione angolare e lineare
Io l'ho risolto così:
$a_t=alpha*r = tau/I*r$
$=(*mg (L_2-L_1))/(1/12*(2m)(L)^2 + (2m)*((L_2-L_1)/2)^2)*r$
al posto di r ho poi sostituito $L_1$ e $L_2$ ottenendo però valori doppi rispetto alle soluzioni del libro
Risposte
L'equazione iniziale mi torna, ma il secondo passaggio non lo capisco. Al momento mi vengono in mente tre modi di risoluzione, forse ce ne sono altri.
i) Elementare (più oneroso, e c'è il fastidio dei segni). Scrivi le equazione delle tensioni
${(ma_1=mg-T_1),(ma_2=mg-T_2),(a_1/L_1=-a_2/L_2),(T_1L_1=T_2L_2):}$
La terza equazione è una condizione cinematica, ed il segno è dovuto al fatto che le accelerazioni sono discordi. La quarta è determinata dalla massa trascurabile dell'asta. Risolvendo, trovi le accelerazioni.
ii) Momento d'inerzia (quello usato da te). Se consideri le masse attaccate alle estremità dell'asta (un rotatore asimmetrico), il momento d'inerzia del sistema è $I=mL_1^2+mL_2^2$, e l'accelerazione angolare è data allora da $Iddot{theta}=mgL_1-mgL_2$.
iii)Analitico (controprova). Scrivi l'energia del sistema $E=1/2m(L_1^2+L_2^2)\dot{theta}^2+mg(L_1-L_2)costheta$. Derivando rispetto al tempo e semplificando per $\dot{theta}$, si ottiene $m(L_1^2+L_2^2)\ddot{theta}-mg(L_1-L_2)sintheta=0$, e per $theta = pi/2$ si ha il caso cercato.
i) Elementare (più oneroso, e c'è il fastidio dei segni). Scrivi le equazione delle tensioni
${(ma_1=mg-T_1),(ma_2=mg-T_2),(a_1/L_1=-a_2/L_2),(T_1L_1=T_2L_2):}$
La terza equazione è una condizione cinematica, ed il segno è dovuto al fatto che le accelerazioni sono discordi. La quarta è determinata dalla massa trascurabile dell'asta. Risolvendo, trovi le accelerazioni.
ii) Momento d'inerzia (quello usato da te). Se consideri le masse attaccate alle estremità dell'asta (un rotatore asimmetrico), il momento d'inerzia del sistema è $I=mL_1^2+mL_2^2$, e l'accelerazione angolare è data allora da $Iddot{theta}=mgL_1-mgL_2$.
iii)Analitico (controprova). Scrivi l'energia del sistema $E=1/2m(L_1^2+L_2^2)\dot{theta}^2+mg(L_1-L_2)costheta$. Derivando rispetto al tempo e semplificando per $\dot{theta}$, si ottiene $m(L_1^2+L_2^2)\ddot{theta}-mg(L_1-L_2)sintheta=0$, e per $theta = pi/2$ si ha il caso cercato.
Si hai ragione, invece di calcolare I sfruttando la definizione (come hai fatto tu) ho pensato male di usare il teorema degli assi paralleli che non ci stava a fare niente!
Grazie mille!
Grazie mille!
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