Accelerazione 3D
Buonasera a tutti, ho qualche problema concettuale con l'accelerazione in un moto tridimensionale.
Indicato il vettore velocità come $\vec{v}=v(t)\vec{u_T}$
dove $\vec(u_T)$ è il versore tangente alla traiettoria orientato nel verso fissato positivo, e non può essere considerato costante dato che varia direzione nel tempo.
L'accelerazione quindi sarà:
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(d\vec(u_T))/dt v$
La prima è chiaramente la componente tangenziale, sulla seconda bisogna ragionarci un po'.
Ecco la cosa che non ho capito, il mio professore ha definito
$(d\vec(u_T))/dt=\vec\omega xx \vec(u_T)=\omega \vec(u_N)$
vorrei capire per quale motivo la derivata coincide con il prodotto vettoriale.
e perchè tale prodotto vettoriale è uguale ad un vettore avete come modulo la velocità angolare e direzione quella radiale?
A questo punto possiamo scrivere l'accelerazione come:
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+v (\vec\omega xx \vec(u_T))$
portando il modulo della velocità dentro la parentesi
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(\vec\omega xx v\vec(u_T))$
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(\vec\omega xx \vec(v))$
$\vec(a_T)=(dv)/dt \vec(u_T)$
$\vec(a_C)=(\vec\omega xx \vec(v)) = v\omega\vec(u_N) = l\omega^2\vec(u_N)$
e qui tutto ok, non ho alcun problema fino alla fine, l'unico intoppo è per quella derivazione con $\omega$
Indicato il vettore velocità come $\vec{v}=v(t)\vec{u_T}$
dove $\vec(u_T)$ è il versore tangente alla traiettoria orientato nel verso fissato positivo, e non può essere considerato costante dato che varia direzione nel tempo.
L'accelerazione quindi sarà:
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(d\vec(u_T))/dt v$
La prima è chiaramente la componente tangenziale, sulla seconda bisogna ragionarci un po'.
Ecco la cosa che non ho capito, il mio professore ha definito
$(d\vec(u_T))/dt=\vec\omega xx \vec(u_T)=\omega \vec(u_N)$
vorrei capire per quale motivo la derivata coincide con il prodotto vettoriale.
e perchè tale prodotto vettoriale è uguale ad un vettore avete come modulo la velocità angolare e direzione quella radiale?
A questo punto possiamo scrivere l'accelerazione come:
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+v (\vec\omega xx \vec(u_T))$
portando il modulo della velocità dentro la parentesi
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(\vec\omega xx v\vec(u_T))$
$\vec(a(t))=(dv)/dt \vec(u_T)+(\vec\omega xx \vec(v))$
$\vec(a_T)=(dv)/dt \vec(u_T)$
$\vec(a_C)=(\vec\omega xx \vec(v)) = v\omega\vec(u_N) = l\omega^2\vec(u_N)$
e qui tutto ok, non ho alcun problema fino alla fine, l'unico intoppo è per quella derivazione con $\omega$
Risposte
Hai mai sentito parlare delle formule di Poisson, che ti permettono di esprimere la derivata temporale di un versore (= vettore di modulo unitario), ad esempio nel caso di una terna mobile di assi $x,y,z$ che ruota attorno ad un punto fisso, rispetto ad un riferimento fisso con origine in tale punto?
$(dveci)/(dt) = vec\omega\timesveci$
e analoghe per gli altri due versori.
Bé, qui è la stessa cosa. Il versore tangente $vecu_T$ in un certo istante si può considerare "in rotazione" con una certa velocità angolare $vec\omega$ (variabile nel tempo lungo la curva), e la sua derivata temporale in quell'istante è un vettore, il cui modulo è $\omega$ volte più grande, diretto verso il centro istantaneo di curvatura, giacente nel piano osculatore in quel punto della traiettoria.
È un fatto generale : la derivata di un vettore di modulo costante, che può quindi variare solo perché cambia la direzione "ruotando", è un vettore perpendicolare a quello dato, di modulo $\omega$ volte quello del vettore ruotante, e diretto come detto. Pensa al vettore che ruota, tenendo fisso per un istante il punto origine; la punta del vettore ruota verso il centro di curvatura.
Alro esempio : nel moto rotatorio piano , si ha : $(dvecr)/(dt) = \vec\omega\times\vecr$ .
Ti torna?
$(dveci)/(dt) = vec\omega\timesveci$
e analoghe per gli altri due versori.
Bé, qui è la stessa cosa. Il versore tangente $vecu_T$ in un certo istante si può considerare "in rotazione" con una certa velocità angolare $vec\omega$ (variabile nel tempo lungo la curva), e la sua derivata temporale in quell'istante è un vettore, il cui modulo è $\omega$ volte più grande, diretto verso il centro istantaneo di curvatura, giacente nel piano osculatore in quel punto della traiettoria.
È un fatto generale : la derivata di un vettore di modulo costante, che può quindi variare solo perché cambia la direzione "ruotando", è un vettore perpendicolare a quello dato, di modulo $\omega$ volte quello del vettore ruotante, e diretto come detto. Pensa al vettore che ruota, tenendo fisso per un istante il punto origine; la punta del vettore ruota verso il centro di curvatura.
Alro esempio : nel moto rotatorio piano , si ha : $(dvecr)/(dt) = \vec\omega\times\vecr$ .
Ti torna?
Si mi torna, conoscevo queste relazioni, ma quello he cercavo era una dimostrazione matematica/geometrica. Non voglio imparare qualcosa come assiomatico se posso capirne il perchè
L'ultima che ti ho scritto, l'ho scritta apposta.
Tieni il versore $vecu_T$ "fermo per la coda". Con quale velocità periferica si sposta la punta, nella rotazione istantanea del versore?
$(dvecu_T)/(dt) = vec\omega\timesvecu_T$
poiche il "raggio" in questo moto circolare vale proprio $vecu_T$.
Se poi vuoi la dimostrazione della formula della velocità periferica nel moto circolare, devi disegnare due raggi di una circonferenza, ad un intervallo elementare di tempo $dt$ , e i corrispondenti vettori $vecv $ , e ragionare sui triangoli simili.
C'è in tutti i libri di Fisica.
Tieni il versore $vecu_T$ "fermo per la coda". Con quale velocità periferica si sposta la punta, nella rotazione istantanea del versore?
$(dvecu_T)/(dt) = vec\omega\timesvecu_T$
poiche il "raggio" in questo moto circolare vale proprio $vecu_T$.
Se poi vuoi la dimostrazione della formula della velocità periferica nel moto circolare, devi disegnare due raggi di una circonferenza, ad un intervallo elementare di tempo $dt$ , e i corrispondenti vettori $vecv $ , e ragionare sui triangoli simili.
C'è in tutti i libri di Fisica.
Grazie ora ho capito!
Comunque guarderò sul Mencuccini Silvestrini, perchè il Mazzoldi liquida il moto circolare in una maniera becera!
Comunque guarderò sul Mencuccini Silvestrini, perchè il Mazzoldi liquida il moto circolare in una maniera becera!
Prego!
Si, guarda pure sul Mecuccini, per me ottimo libro.
Ho sentito molti lamentarsi dell'altro...Eppure ci sono tanti testi buoni di Fisica in Italia! Mah!
Si, guarda pure sul Mecuccini, per me ottimo libro.
Ho sentito molti lamentarsi dell'altro...Eppure ci sono tanti testi buoni di Fisica in Italia! Mah!
Già... praticamente liquida il moto circolare dicendo che è uguale ad un moto rettilineo se si fa riferimento alle coordinate polari, e poi da le formule di velocità e accelerazione senza nemmeno spiegare il perchè.
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