Accel. radiale&piano inclinato, in cordinate cilindriche!
salve a tutti!
non riesco a venire a capo di questo problema:
Per farla breve, ho una massa $m$ che giace su di un piano inclinato di angolo theta. A sua volta il piano inclinato e` ancorato ad una piattaforma rotante. C'e` dell'attrito tra la massa $m$ ed il piano inclinato. inoltre la massa si trova ad una misura $R$ dal centro della piattaforma rotante.
ecco uno schemino
1) devo trovare i componenti dell'accelerazione della massa, perpendicolari e paralleli al piano inclinato
2) la minima velocita' angolare affiche` la massa non scivoli giu` dal piano, mentre il piano ruota.
per parte 1),
ho trovato l'accelerazione radiale usando
$a=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$ [z e` costante =0]
dato che i differenziali sono =0 e $\omega =\dot{\theta}$
$a=-R\omega^{2}\hat{r}$
ora, io ho identificato le forze che agiscono nella direzione $\hat{z}$
$Ncos\theta+fsin\theta-mg=0$
e nella direzione $\hat{r}$
$Nsin\theta-fcos\theta=0$
pero` non so come risolvere usando la seconda legge di Newton!
mi spiego: se io esprimo in cordinate cilindriche la forza radiale ottengo $F_r=-mR\omega^{2}$
ma come faccio ad esprimere la forza azimutale?
ho mal interpretato il sistema di coordinate?
non riesco a venire a capo di questo problema:
Per farla breve, ho una massa $m$ che giace su di un piano inclinato di angolo theta. A sua volta il piano inclinato e` ancorato ad una piattaforma rotante. C'e` dell'attrito tra la massa $m$ ed il piano inclinato. inoltre la massa si trova ad una misura $R$ dal centro della piattaforma rotante.
ecco uno schemino
1) devo trovare i componenti dell'accelerazione della massa, perpendicolari e paralleli al piano inclinato
2) la minima velocita' angolare affiche` la massa non scivoli giu` dal piano, mentre il piano ruota.
per parte 1),
ho trovato l'accelerazione radiale usando
$a=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$ [z e` costante =0]
dato che i differenziali sono =0 e $\omega =\dot{\theta}$
$a=-R\omega^{2}\hat{r}$
ora, io ho identificato le forze che agiscono nella direzione $\hat{z}$
$Ncos\theta+fsin\theta-mg=0$
e nella direzione $\hat{r}$
$Nsin\theta-fcos\theta=0$
pero` non so come risolvere usando la seconda legge di Newton!
mi spiego: se io esprimo in cordinate cilindriche la forza radiale ottengo $F_r=-mR\omega^{2}$
ma come faccio ad esprimere la forza azimutale?
ho mal interpretato il sistema di coordinate?
Risposte
ok, ho capito il malinteso delle cordinate.
ho trovato i componenti (in verde nel nuovo schemino) ed ho imposto un nuovo sistema di cordinate.
ora, insorge un nuovo problema per parte 2).
come faccio ad includere la direzione θ nel nuovo sistema di coordinate?
perche`, se non ho frainteso, quando la massa comincia a scivolare $\dot{r}$ (di $a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} $) cambia!.
edit. mi spiego un po' meglio:
io parto dal presupporto che per trovare la velocita` angolare io debba sommare l'accelerazione nella direzione x (i.e. la freccia verde nell'ultimo schemino) all'attrito.
pero` so che quando il blocco scivola, la distanza R cambia, quindi $a_{\theta}$. io dovrei avere la forza di Coriolis uguale a zero, giusto? perche` non voglio che la massa scivoli.
non posso semplicemente imporla uguale a zero!
ho trovato i componenti (in verde nel nuovo schemino) ed ho imposto un nuovo sistema di cordinate.
ora, insorge un nuovo problema per parte 2).
come faccio ad includere la direzione θ nel nuovo sistema di coordinate?
perche`, se non ho frainteso, quando la massa comincia a scivolare $\dot{r}$ (di $a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} $) cambia!.
edit. mi spiego un po' meglio:
io parto dal presupporto che per trovare la velocita` angolare io debba sommare l'accelerazione nella direzione x (i.e. la freccia verde nell'ultimo schemino) all'attrito.
pero` so che quando il blocco scivola, la distanza R cambia, quindi $a_{\theta}$. io dovrei avere la forza di Coriolis uguale a zero, giusto? perche` non voglio che la massa scivoli.
non posso semplicemente imporla uguale a zero!
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