3 problemi simili sul campo elettrico
ciao a tutti, preparando l'esame di fisica 2, ho trovato questi 3 esercizi molto simili dove temo (ahimè) di non aver capito una mazza di come si risolvono.
Posto sotto ognuno il mio tentativo come da regolamento
1) una carica di densità uniforme $80 nC/m^3$ è distribuita lungo una regione cilindrica cava formata da due superfici cilindriche coassiali di raggi $1 mm$ e $3 mm$. Determinare l'intensità del campo elettrico in un punto che è $4 mm$ dall'asse di simmetria.
$q= rho*V= 80*10^(-9)*4/3pi*(2*10^(-3))=2,68*10^(-15) C$
da cui $E=q/(4*pi*epsilon_0*r^2)=2,68*10^(-15)/(0,004)^2*(9*10^9)=1,5 N/C$
il risultato è $9 N/C$
2)un lungo cilindro (raggio=$12 cm$) ha una carica di densità uniforme ($5 nC/m^3$) distribuita in tutto il suo volume. Determinare l'intensità del campo elettrico a $15 cm$ dall'asse del cilindro.
qui non riesco ad applicare la formula $E=q_i/(sigma_p*epsilon_0)$ dove $sigma_p$ è la superficie perpendicolare ad $E$ e $q_i$ è la carica interna, poichè non capisco come ovviare alla mancanza dell'altezza $h$ del cilindro.
il risultato è $27 N/C$
3)Una superficie cilindrica lunga (raggio $2 cm$ ha una carica distribuita uniformemente sulla sua superficie. Se l'intensità del campo elettrico in un punto ad $8 cm$ dall'asse della superficie è di $85 N/C$, quant'è la carica distribuita su $2 m$ di lunghezza della superficie cilindrica carica?
qui non ho proprio capito come agire con i dati iniziali.
il risultato è $0,76 nC$
Grazie mille a chi mi darà una mano.
P.S.: li ho scritti in un unico post poichè penso che siano simili.
Posto sotto ognuno il mio tentativo come da regolamento
1) una carica di densità uniforme $80 nC/m^3$ è distribuita lungo una regione cilindrica cava formata da due superfici cilindriche coassiali di raggi $1 mm$ e $3 mm$. Determinare l'intensità del campo elettrico in un punto che è $4 mm$ dall'asse di simmetria.
$q= rho*V= 80*10^(-9)*4/3pi*(2*10^(-3))=2,68*10^(-15) C$
da cui $E=q/(4*pi*epsilon_0*r^2)=2,68*10^(-15)/(0,004)^2*(9*10^9)=1,5 N/C$
il risultato è $9 N/C$
2)un lungo cilindro (raggio=$12 cm$) ha una carica di densità uniforme ($5 nC/m^3$) distribuita in tutto il suo volume. Determinare l'intensità del campo elettrico a $15 cm$ dall'asse del cilindro.
qui non riesco ad applicare la formula $E=q_i/(sigma_p*epsilon_0)$ dove $sigma_p$ è la superficie perpendicolare ad $E$ e $q_i$ è la carica interna, poichè non capisco come ovviare alla mancanza dell'altezza $h$ del cilindro.
il risultato è $27 N/C$
3)Una superficie cilindrica lunga (raggio $2 cm$ ha una carica distribuita uniformemente sulla sua superficie. Se l'intensità del campo elettrico in un punto ad $8 cm$ dall'asse della superficie è di $85 N/C$, quant'è la carica distribuita su $2 m$ di lunghezza della superficie cilindrica carica?
qui non ho proprio capito come agire con i dati iniziali.
il risultato è $0,76 nC$
Grazie mille a chi mi darà una mano.
P.S.: li ho scritti in un unico post poichè penso che siano simili.
Risposte
Ciao @Aletzunny !
Allora, come giustamente hai notato, questi sono 3 problemi molto simili tra loro ed infatti si risolvono tutti sfruttando il teorema di Gauss sul flusso del campo elettrico. In sostanza, come saprai, questo teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari al rapporto tra la carica contenuta nella zona delimitata dalla superficie e la costante dielettrica.
Per prima cosa vorrei sottolineare alcuni errori (al di là del ragionamento); in particolar modo,
da dove viene quella formula del volume ? Da quel che vedo hai fatto una sorta di mix col volume di una sfera che è $V=4/3pir^3$. Ad ogni modo anche dimensionalmente quella roba lì non può essere un volume, essendo in m e non in m^3. Il volume di un guscio cilindrico è $V=pi*(r_(max)^2-r_(min)^2)*L$ con L lunghezza del guscio. Inoltre
questa formula vale per una carica puntiforme e non per un guscio cilindrico.
Detto questo, procediamo:
$phi(vec(E))=Q/epsilon_0->E*2*pi*d*L=(rho*pi*L*(r_2^2-r_1^2))/epsilon_0$ essendo "L" la lunghezza del guscio cilindrico, "d" la distanza alla quale voglio trovare il campo ed avendo preso come superficie gaussiana un cilindro passante per il punto in cui voglio trovare il campo e la cui superficie vale $2*pi*d*L$.
Se fai i calcoli vedrai che torna il risultato cercato.
Il secondo esercizio è identico, con l'unica eccezione che il volume non è $pi*L*(r_2^2-r_1^2)$ ma $pi*L*r^2$ essendo un cilindro pieno e non un guscio cilindrico.
Il terzo prova a svolgerlo tu; il ragionamento è identico, ma bisognerà usare la formula inversa.
Io li ho risolti così, senza scomodare gli integrali, ma se qualcuno non è d'accordo, lo prego di intervenire e correggermi.
Se qualcosa non ti è chiaro non esitare a chiedere e cercherò di spiegare al meglio delle mie (ridottissime) capacità.
Saluti
P.S. Qual è il tuo livello ? Immagino stiamo parlando di università. Se è così, che facoltà ? Che libri di testo di fisica usi/sono consigliati dai tuoi prof ?
Allora, come giustamente hai notato, questi sono 3 problemi molto simili tra loro ed infatti si risolvono tutti sfruttando il teorema di Gauss sul flusso del campo elettrico. In sostanza, come saprai, questo teorema afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari al rapporto tra la carica contenuta nella zona delimitata dalla superficie e la costante dielettrica.
Per prima cosa vorrei sottolineare alcuni errori (al di là del ragionamento); in particolar modo,
$ q= rho*V= 80*10^(-9)*4/3pi*(2*10^(-3))=2,68*10^(-15) C $
da dove viene quella formula del volume ? Da quel che vedo hai fatto una sorta di mix col volume di una sfera che è $V=4/3pir^3$. Ad ogni modo anche dimensionalmente quella roba lì non può essere un volume, essendo in m e non in m^3. Il volume di un guscio cilindrico è $V=pi*(r_(max)^2-r_(min)^2)*L$ con L lunghezza del guscio. Inoltre
$ E=q/(4*pi*epsilon_0*r^2)=2,68*10^(-15)/(0,004)^2*(9*10^9)=1,5 N/C $
questa formula vale per una carica puntiforme e non per un guscio cilindrico.
Detto questo, procediamo:
$phi(vec(E))=Q/epsilon_0->E*2*pi*d*L=(rho*pi*L*(r_2^2-r_1^2))/epsilon_0$ essendo "L" la lunghezza del guscio cilindrico, "d" la distanza alla quale voglio trovare il campo ed avendo preso come superficie gaussiana un cilindro passante per il punto in cui voglio trovare il campo e la cui superficie vale $2*pi*d*L$.
Se fai i calcoli vedrai che torna il risultato cercato.
Il secondo esercizio è identico, con l'unica eccezione che il volume non è $pi*L*(r_2^2-r_1^2)$ ma $pi*L*r^2$ essendo un cilindro pieno e non un guscio cilindrico.
Il terzo prova a svolgerlo tu; il ragionamento è identico, ma bisognerà usare la formula inversa.
Io li ho risolti così, senza scomodare gli integrali, ma se qualcuno non è d'accordo, lo prego di intervenire e correggermi.
Se qualcosa non ti è chiaro non esitare a chiedere e cercherò di spiegare al meglio delle mie (ridottissime) capacità.
Saluti
P.S. Qual è il tuo livello ? Immagino stiamo parlando di università. Se è così, che facoltà ? Che libri di testo di fisica usi/sono consigliati dai tuoi prof ?
Grazie mille, in effetti ora ho capito e i 3 risultati sono venuti quasi subito
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