2 Esercizi di dinamica (energia meccanica - Lavoro)
Ciao a tutti. vi posto due esercizi. vorrei che me li correggeste. Non dovrebbero rubarvi troppo tempo perchè sembrano facili.
1)Una pallina di dimensioni trascurabili e di massa m = 0.25 kg è attaccata
all’estremità di una corda ideale di lunghezza L = 1.2 m e avente l’altra estremità imperniata ad
un punto fisso O di un parete verticale, attorno a cui il sistema palla + corda può ruotare. Un
piolo P è piantato alla stessa parete verticale ad una distanza H = 3L/4 direttamente sotto il
punto O. Inizialmente la pallina è mantenuta in quiete nella posizione A, alla stessa quota del
punto O con la corda tesa. All’istante t = 0 la pallina viene lasciata andare con velocità iniziale
nulla e negli istanti successivi compie un moto circolare nel piano verticale. Calcolare:
a) la velocità della pallina nel punto più basso (punto B) del suo percorso;
b) la velocità della pallina nel punto (C) più alto della sua traiettoria circolare attorno al piolo
P;
c) la tensione della corda quando la pallina raggiunge il punto C.
qui trovate il disegno..è il terzo esercizio. scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid977959.pdf
SOLUZIONE
considero come sistema di riferimento l'asse x orizzontale passante per b e l'asse y verticale passante per A.
a) Per trovare la velocità della pallina in B utilizzo il principio di conservazione dell'energia meccanica, ossia:
nel punto A valgono : $E_(k,A)=0$ (la pallina parte da ferma quindi $v_A=0$) e $E_(p,A)=m*g*L$
nel punto B valgono : $E_(k,B)=1/2 m*v_B^2$ e $E_(p,B)=0$ (poichè siamo sull'asse orizzontale del sistema di riferimento considerato)
dunque $m*g*L=1/2 m*v_B^2 rArr v_B = sqrt(2*L*g)= 4,8 m/s$
b) qui bisogna capire dov'è il punto C. io ho interpretato così ..spero sia giusto..
se C è il punto più alto della traiettoria circolare del filo attorno al piolo P e B è il punto più basso allora il raggio della circonferenza attorno al piolo ha raggio PB = 1/4 L. quindi:
nel punto C invece valgono: $E_(k,C)=1/2 m*v_C^2$ e $E_(p,C)=m*g*L/2$ ( dato che PC=PB=1/4 L allora da la quota di C è CB=L/2)
eguagliando con l'energia meccanica nel punto B si ha:
$1/2 m* v_C^2+m*g*L/2=1/2 m*v_B^2 rArr v_C=sqrt(v_B^2-g*L)=3,4 m/s.
c) a questo punto so che $T=m*a_N=m *v_C^2/R=9,6 N$
2) Un blocco, assimilabile a un corpo puntiforme di massa m è posto in quiete
su un piano orizzontale liscio. All’istante t = 0 al blocco viene applicata una forza costante di
modulo $F_0 = 45 N$ e formante un angolo θ con il piano orizzontale e il blocco si muove lungo
il piano orizzontale restando a contatto con esso. Dopo che il blocco ha percorso una distanza
L = 1.50 m lungo il piano orizzontale, il modulo della sua velocità è pari a 2.60 ms-1 mentre il
lavoro W fatto dalle forze agenti sul blocco è pari a 50 J. Calcolare:
a) il valore dell’angolo θ;
b) la massa del blocco.
qui trovate il disegno, è il terzo esercizio.. scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid020558.pdf
SOLUZIONE
a) le forze agenti sul blocco che partecipano al lavoro direi che è una sola. cioè la componente parallela al piano di $F_0$.
quindi scrivo utilizzando la definizione di lavoro, e considerando che $F_0$ è costante (cioè lo posso portare fuori dall'integrale) e che il percorso fatto è L:
$F_0 cos \theta* L= W$
da cui calcolo $\theta =arccos W/(F_0*L)=42,2$ gradi.
b) Considero le equazioni del moto:
$\{(L=1/2 a*t^2),(v=a*t):}$ da cui $t=v/a rArr L=1/2 v^2/a rArr a=v^2/(2*L)=2,25 m/s^2$
calcolo il tempo t. $t=v/a=1,15 s$
quindi per il teorema dell'impulso: $m=(F_0 cos \theta * t)/v=14,6 kg.
Del resto potevo scrivere anche più semplicemente $m*a= F_0 cos \theta rArr m= F_0 cos \theta /a=14,6 kg$. quindi dovrebbe essere corretto.
Se trovate errori concettuali vi prego di dirmelo, e di indicarmi la strada per risolvere correttamente il problema. Scusate se posto 3 problemi al giorno ma lunedì ho l'esame e ho una caga pazzesca hehe
1)Una pallina di dimensioni trascurabili e di massa m = 0.25 kg è attaccata
all’estremità di una corda ideale di lunghezza L = 1.2 m e avente l’altra estremità imperniata ad
un punto fisso O di un parete verticale, attorno a cui il sistema palla + corda può ruotare. Un
piolo P è piantato alla stessa parete verticale ad una distanza H = 3L/4 direttamente sotto il
punto O. Inizialmente la pallina è mantenuta in quiete nella posizione A, alla stessa quota del
punto O con la corda tesa. All’istante t = 0 la pallina viene lasciata andare con velocità iniziale
nulla e negli istanti successivi compie un moto circolare nel piano verticale. Calcolare:
a) la velocità della pallina nel punto più basso (punto B) del suo percorso;
b) la velocità della pallina nel punto (C) più alto della sua traiettoria circolare attorno al piolo
P;
c) la tensione della corda quando la pallina raggiunge il punto C.
qui trovate il disegno..è il terzo esercizio. scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid977959.pdf
SOLUZIONE
considero come sistema di riferimento l'asse x orizzontale passante per b e l'asse y verticale passante per A.
a) Per trovare la velocità della pallina in B utilizzo il principio di conservazione dell'energia meccanica, ossia:
nel punto A valgono : $E_(k,A)=0$ (la pallina parte da ferma quindi $v_A=0$) e $E_(p,A)=m*g*L$
nel punto B valgono : $E_(k,B)=1/2 m*v_B^2$ e $E_(p,B)=0$ (poichè siamo sull'asse orizzontale del sistema di riferimento considerato)
dunque $m*g*L=1/2 m*v_B^2 rArr v_B = sqrt(2*L*g)= 4,8 m/s$
b) qui bisogna capire dov'è il punto C. io ho interpretato così ..spero sia giusto..
se C è il punto più alto della traiettoria circolare del filo attorno al piolo P e B è il punto più basso allora il raggio della circonferenza attorno al piolo ha raggio PB = 1/4 L. quindi:
nel punto C invece valgono: $E_(k,C)=1/2 m*v_C^2$ e $E_(p,C)=m*g*L/2$ ( dato che PC=PB=1/4 L allora da la quota di C è CB=L/2)
eguagliando con l'energia meccanica nel punto B si ha:
$1/2 m* v_C^2+m*g*L/2=1/2 m*v_B^2 rArr v_C=sqrt(v_B^2-g*L)=3,4 m/s.
c) a questo punto so che $T=m*a_N=m *v_C^2/R=9,6 N$
2) Un blocco, assimilabile a un corpo puntiforme di massa m è posto in quiete
su un piano orizzontale liscio. All’istante t = 0 al blocco viene applicata una forza costante di
modulo $F_0 = 45 N$ e formante un angolo θ con il piano orizzontale e il blocco si muove lungo
il piano orizzontale restando a contatto con esso. Dopo che il blocco ha percorso una distanza
L = 1.50 m lungo il piano orizzontale, il modulo della sua velocità è pari a 2.60 ms-1 mentre il
lavoro W fatto dalle forze agenti sul blocco è pari a 50 J. Calcolare:
a) il valore dell’angolo θ;
b) la massa del blocco.
qui trovate il disegno, è il terzo esercizio.. scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid020558.pdf
SOLUZIONE
a) le forze agenti sul blocco che partecipano al lavoro direi che è una sola. cioè la componente parallela al piano di $F_0$.
quindi scrivo utilizzando la definizione di lavoro, e considerando che $F_0$ è costante (cioè lo posso portare fuori dall'integrale) e che il percorso fatto è L:
$F_0 cos \theta* L= W$
da cui calcolo $\theta =arccos W/(F_0*L)=42,2$ gradi.
b) Considero le equazioni del moto:
$\{(L=1/2 a*t^2),(v=a*t):}$ da cui $t=v/a rArr L=1/2 v^2/a rArr a=v^2/(2*L)=2,25 m/s^2$
calcolo il tempo t. $t=v/a=1,15 s$
quindi per il teorema dell'impulso: $m=(F_0 cos \theta * t)/v=14,6 kg.
Del resto potevo scrivere anche più semplicemente $m*a= F_0 cos \theta rArr m= F_0 cos \theta /a=14,6 kg$. quindi dovrebbe essere corretto.
Se trovate errori concettuali vi prego di dirmelo, e di indicarmi la strada per risolvere correttamente il problema. Scusate se posto 3 problemi al giorno ma lunedì ho l'esame e ho una caga pazzesca hehe
Risposte
ciao, per quanto riguarda il secondo esercizio avresti anche potuto considerare il fatto che il lavoro di un sistema di forze è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo, ovvero $W=E_f-E_i$, in questo caso $E_i$ è nulla, quindi $W=1/2mv^2$, da cui ti ricavi $m$, poi con la prima equazione della dinamica, (l'accelerazione la conosci), ti ricavi la componente parallela e poi l'angolo.
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