2 condensatori carichi uniti in un circuito, calcolo della corrente
ciao a tutti ho un esercizio in cui no capisco dove sia errore:
Due condensatori$ C1= 1 µF$ e $C2= 3µF$ inizialmente carichi alle tensioni $V1=300 V$ e $V2=100
V$ rispettivamente, vengono collegati attraverso una resistenza$ R=10 kΩ$. Si chiede di
calcolare: (i) l'andamento della corrente in funzione del tempo.
io ho ragionato in questo modo
per la conservazione della carica:
$ q_(1)(t)+q_(2)(t)=costante=0 $
$ q_(1)(t)=-q_(2)(t) $
l equazione del circuito è
$0=-V_1+iR+V_2$
$ 0=q_2/C_1+iR+q_2/C_2 $
da cui
$ -q_2*(C_2+C_1)/(C_2C_1)=(dq)/dtR $
ponendo
$(C_2C_1)/(C_2+C_1)=C_(eq)$
ottengo
$ (dq)/q=-(dt)/(C_(eq)R) $
intengrnaod entrambi i membri
$ int_(q_0)^(q_t) (dq)/q=-int_(0)^(t) (dt)/(C_(eq)R) $
da cui
$ ln((q(t))/q_0)=-t/(C_(eq)R) $
da cui
$ q(t)=q_0e^(-t/(C_(eq)R) $
ho quindi trovato come varia la carica sul condensatore $C_2$ ( e ho ottenuto che essa diminuisce nel tempo)
per ottenere l intensita di corrente derivo nel tempo
$ i(t)=-q_0/(C_(eq)R)e^(-t/(C_(eq)R) $
(avendo fatto i calcoli considerando la corrente positiva in senso orario ho quindi ottenuto che la corrente è diretta in versi antiorario)
il risultato ottenuto è però diverso da quello dell libro in cui tra l altro la corrente circola in senso orario.
mi potete dire dove sia l errore?
Due condensatori$ C1= 1 µF$ e $C2= 3µF$ inizialmente carichi alle tensioni $V1=300 V$ e $V2=100
V$ rispettivamente, vengono collegati attraverso una resistenza$ R=10 kΩ$. Si chiede di
calcolare: (i) l'andamento della corrente in funzione del tempo.
io ho ragionato in questo modo
per la conservazione della carica:
$ q_(1)(t)+q_(2)(t)=costante=0 $
$ q_(1)(t)=-q_(2)(t) $
l equazione del circuito è
$0=-V_1+iR+V_2$
$ 0=q_2/C_1+iR+q_2/C_2 $
da cui
$ -q_2*(C_2+C_1)/(C_2C_1)=(dq)/dtR $
ponendo
$(C_2C_1)/(C_2+C_1)=C_(eq)$
ottengo
$ (dq)/q=-(dt)/(C_(eq)R) $
intengrnaod entrambi i membri
$ int_(q_0)^(q_t) (dq)/q=-int_(0)^(t) (dt)/(C_(eq)R) $
da cui
$ ln((q(t))/q_0)=-t/(C_(eq)R) $
da cui
$ q(t)=q_0e^(-t/(C_(eq)R) $
ho quindi trovato come varia la carica sul condensatore $C_2$ ( e ho ottenuto che essa diminuisce nel tempo)
per ottenere l intensita di corrente derivo nel tempo
$ i(t)=-q_0/(C_(eq)R)e^(-t/(C_(eq)R) $
(avendo fatto i calcoli considerando la corrente positiva in senso orario ho quindi ottenuto che la corrente è diretta in versi antiorario)
il risultato ottenuto è però diverso da quello dell libro in cui tra l altro la corrente circola in senso orario.
mi potete dire dove sia l errore?
Risposte
Perchè la carica iniziale è zero? Se i condensatori sono a differenti potenziali, la corrente verso quale condensatore fluirà? Ma anche senza sapere in quale verso scorre la corrente, se ne sceglie uno a caso e da li si applica kirchoff...ma tu l'hai applicato in modo sbagliato, riguardati l'equazione del circuito
quando non ti torna che la carica iniziale sia uguale a 0 intendi la somma
$q_1(t)+q_2(t)=0$ ?
Perchè nella formula successiva quando ho integrato infatti ho considerato come estremi di integrazione $q(t)$ e $q_0$ (la carica iniziale sul condensatore $q_2$) .
per la corrente anche io pensavo circolasse in senso orario (dal potenziale maggiore a quello minore).
per l applicazione della legge di kirchoff avevo poi scelto come verso positivo quello orario dopodichè ho fatto
$0=-V_1+iR+V_2$
in questo caso avevo pensato che non essendoci un generatore la differenza di potenziale complessiva deve essere nulla, mentre per i segni attribuiti ai potenziali dei condensatori avevo messo il meno davanti al condensatore $C_1$ in quanto la differenza di potenziale si oppone al verso scelto.. è in questa formula l errore?
$q_1(t)+q_2(t)=0$ ?
Perchè nella formula successiva quando ho integrato infatti ho considerato come estremi di integrazione $q(t)$ e $q_0$ (la carica iniziale sul condensatore $q_2$) .
per la corrente anche io pensavo circolasse in senso orario (dal potenziale maggiore a quello minore).
per l applicazione della legge di kirchoff avevo poi scelto come verso positivo quello orario dopodichè ho fatto
$0=-V_1+iR+V_2$
in questo caso avevo pensato che non essendoci un generatore la differenza di potenziale complessiva deve essere nulla, mentre per i segni attribuiti ai potenziali dei condensatori avevo messo il meno davanti al condensatore $C_1$ in quanto la differenza di potenziale si oppone al verso scelto.. è in questa formula l errore?
I condensatori si trovano all'inizio ai potenziali $V_1$ e $V_2$, quindi sui condensatori c'è rispettivamente la carica $q_1=C_1V_1$ e $q_2=C_2V_2$, inoltre non è presente alcun generatore nel sistema quindi la carica resta costante, quindi detta $q_1(t)$ e $q_2(t)$ le cariche sui condensatori nel tempo, si deve avere: $q_1(t)+q_2(t)=q_1+q_2$.
Scelto come positivo il verso orario della corrente, allora partendo dal piatto negativo di $C_1$ e applicando kirchoff in senso orario si ha:
$V_1-iR-V_2=0$
Infatti partendo dal piatto negativo di $C_1$ e andando verso quello positivo, il potenziale aumenta e quindi $V_1$ è positivo, mentre nel caso di $C_2$, percorrendo in senso orario, si arriva al piatto positivo e si va in quello negativo, quindi il potenziale diminuisce e $V_2$ è quindi negativo.
Risolvendo questo sistema si dovrebbe arrivare alla soluzione corretta.
Scelto come positivo il verso orario della corrente, allora partendo dal piatto negativo di $C_1$ e applicando kirchoff in senso orario si ha:
$V_1-iR-V_2=0$
Infatti partendo dal piatto negativo di $C_1$ e andando verso quello positivo, il potenziale aumenta e quindi $V_1$ è positivo, mentre nel caso di $C_2$, percorrendo in senso orario, si arriva al piatto positivo e si va in quello negativo, quindi il potenziale diminuisce e $V_2$ è quindi negativo.
Risolvendo questo sistema si dovrebbe arrivare alla soluzione corretta.
ma se nel circuito di questo esercizio ci fosse anche un generatore che fa circolare corrente nel verso orario sarebbe corretto scrivere (mantenendo la convenzione della corrente positiva in verso orario)
$ fem=iR-V_1+V_2 $?
oppure anche in questo caso il secondo membro andrebbe scritto come l hai scritto te nella risposta precedente?
l esercizio l ho rifatto con la correzione della conservazione della carica e torna
grazie mille
$ fem=iR-V_1+V_2 $?
oppure anche in questo caso il secondo membro andrebbe scritto come l hai scritto te nella risposta precedente?
l esercizio l ho rifatto con la correzione della conservazione della carica e torna
grazie mille
Non si può dire così a priori, bisogna vedere come è il sistema. Non esiste una formula che va bene per qualsiasi circuito, l'unica cosa sempre vera è la seconda (o prima, non mi ricordo) legge di kirchoff: la somma delle differenze di potenziale che si incontrano lungo un giro completo del circuito è nulla, anche quando c'è un generatore, infatti ai capi del generatore c'è una differenza di potenziale pari alla fem. Ma queste differenze di potenziale devono essere prese con segno, ossia, se facendo il giro del circuito passi dal polo positivo di un condensatore a quello negativo, allora la dd è negativa, se passi dal polo negativo del condensatore a quello positivo allora la ddp è positiva, quando hai una resistenza, se facendo il giro passi dalla resistenza nello stesso verso in cui vi scorre la corrente allora la ddp $-iR$, negativa perché la resistenza determina una caduta di potenziale nel verso in cui vi scorre la corrente, se invece passi dalla resistenza nel verso opposto a cui vi scorre la corrente allora la ddp è $+iR$, positiva.
"Vulplasir":
... l'unica cosa sempre vera è la seconda (o prima, non mi ricordo) legge di kirchoff...
Io direi "la prima", ma sono convinto che molti non sono del mio parere
... ad ogni modo di una cosa sono sicuro, Kirchhoff va scritto con due "h" e due "f".
Non mi ricordo come si avvita una vite, pensa se mi ricordo di come si scrive Kirchhoff 
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