Zeta senza zeri in un disco e metodo di Selberg-Delange
Ad una mia domanda, il prof mi ha dato da leggere il capitolo 5 The Selberg-Delange methode del libro Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory.
Già alla prima pagina c'è una cosa che proprio non capisco. Che è la seguente dimostrazione del seguente teorema.
Quello che scrivo è estratto dal libro. In grassetto i miei commenti che non capisco.
Definiamo
\[ Z(s;z) = s^{-1} \{ (s-1)\zeta(s) \}^z \]
Definita su qualunque dominio semplicemente connesso di \( \mathbb{C} \) che non contenga zeri di \( \zeta(s) \). Supporremo sempre che questo dominio includa la semiretta reale \( [1,+\infty[ \). Possiamo allora scegliere il valore principale del logaritmo complesso tale che
\[ Z(1;z)=1 \]
Allora, probabilmente non capisco cosa sia la notazione \( \{ (s-1)\zeta(s) \}^z \) perché altrimenti io direi che \( Z(1;z)=0 \).
Teorema:
La funzione \( Z(s;z) \) è olomorfa nel disco \( \left| s-1 \right| < 1 \) e può essere rappresentata dallo sviluppo in serie di Taylor
\[ Z(s,z) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} \gamma_j(z)(s-1)^j \]
dove i coefficienti \( \gamma_j(z) \) sono delle funzioni intere in \(z\) che soddisfano per ogni \(A >0 \) e per ogni \( \varepsilon >0 \) l'upper bound, con \( \left|z \right| \leq A \), seguente:
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A,\varepsilon} (1+\varepsilon)^j \]
Dimostrazione:
Tutte le asserzioni nel teorema seguono direttamente dal fatto che \( \zeta(s) \) non si annulla per \( \left| s -1 \right| < 1 \)
Perché??
via la formula di Cauchy abbiamo
\[ \frac{1}{j!}\gamma_j(z) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{ \left| s -1 \right| = r } Z(s,z) \frac{ds}{(s-1)^{j+1}} \]
è infatti risaputo - guardare per esempio Titchmarsh (1951), capitolo XV - che lo zero non banale della \( \zeta(s) \) con il più piccolo modulo nel semipiano \( \Im(s) \geq 0 \) è
\[ \rho = \frac{1}{2} + i 14.13472\ldots \]
Per completezza, diamo una dimostrazione veloce del fatto che \( \zeta(s) \neq 0 \) per \( \left| s -1 \right| < 1 \). Dopo integrazione per parti della formula (3.18) otteniamo
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s - \frac{1}{2}s(s+1) \int_1^{\infty} B_2(t)t^{-s-2} dt \]
Formula (3.18)
-Non ho capito ne la formula (3.18) nel senso che non ho idea di cosa voglia dire \( d[t] \) oppure \( d\{t\} \) e non ho capito i passaggi che ha fatto. Insomma non mai visto nulla del genere
-Non ho capito come fa ad integrare per parti e ottenere quella cosa nella dimostrazione di questo teorema.
-Cos'è \(B_2(t) \) ?? Immagino abbia a che fare con i numeri di Bernoulli a naso
Supponiamo che \( \zeta(\rho)=0 \) dove \( \rho = \beta + i \gamma \) e \( \left| \rho -1 \right| < 1 \). Allora per simmetria possiamo assumere che \( \beta \geq \frac{1}{2} \). Siccome \( \left| B_2(t) \right| \leq B_2 = \frac{1}{6} \), otteniamo, sostituendo \(s=\rho \) nella formula qui sopra:
\[ 1 + \frac{1}{2}(\rho-1) \{ 1 \frac{1}{6}\rho - \frac{1}{6} \theta \rho(\rho+1) \int_1^{\infty} t^{-5/2}dt \} = 0 \]
con \( \left| \theta \right| \leq 1 \), che implica
\[ 1 \leq \frac{1}{2} \left| \rho -1 \right| \{ 1 + \frac{1}{6} \left| \rho \right| + \frac{1}{9} \left| \rho(\rho+1) \right| \} < \frac{1}{2} \{ 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \} = 1 \]
Che è la contraddizione richiesta.
Grazie al teorema 3.15, esiste una "absolute positive constant" \(c\) tale che \( \zeta(s) \) non si annulla nella regione
\[ \Re(s) \geq 1 - \frac{c}{1 + \log^+ \left| \Im(s) \right| } \]
Teorema 3.15
Come fa a ottenere il denominatore lì a partire dal teorema 3.15? Inoltre non sono sicuro di capire la notazione \( \log^+ \) ?
Per il resto del capitolo sia \( \mathcal{D} \) il dominio semplicemente connesso ottenuto cancellando il segmento \( [1-c,1] \) dalla regione qui sopra definita. Abbiamo allora la continuazione analitica
\[ \zeta(s)^z = s Z(s,z)(s-1)^{-z} \]
per \( s \in \mathcal{D} \).
Come fa a dire che quella è una continuazione analitica?
L'upper bound \( \left| \log \zeta(s) \right| \leq \log_2 \left| \Im(s) \right| + O(1) \) dal teorema 3.16, dimostra che abbiamo per ogni costante \(A >0 \),
\[ \zeta(s)^z \ll_A \left( 1 + \log^+ \left| \Im(s) \right| \right)^A \]
con \( \left| z \right| \leq A, s \in \mathcal{D} , \left| s -1 \right| \gg 1 \).
Teorema 3.16
Non capisco le condizioni finali \( \left| z \right| \leq A, s \in \mathcal{D} , \left| s -1 \right| \gg 1 \)
Già alla prima pagina c'è una cosa che proprio non capisco. Che è la seguente dimostrazione del seguente teorema.
Quello che scrivo è estratto dal libro. In grassetto i miei commenti che non capisco.
Definiamo
\[ Z(s;z) = s^{-1} \{ (s-1)\zeta(s) \}^z \]
Definita su qualunque dominio semplicemente connesso di \( \mathbb{C} \) che non contenga zeri di \( \zeta(s) \). Supporremo sempre che questo dominio includa la semiretta reale \( [1,+\infty[ \). Possiamo allora scegliere il valore principale del logaritmo complesso tale che
\[ Z(1;z)=1 \]
Allora, probabilmente non capisco cosa sia la notazione \( \{ (s-1)\zeta(s) \}^z \) perché altrimenti io direi che \( Z(1;z)=0 \).
Teorema:
La funzione \( Z(s;z) \) è olomorfa nel disco \( \left| s-1 \right| < 1 \) e può essere rappresentata dallo sviluppo in serie di Taylor
\[ Z(s,z) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} \gamma_j(z)(s-1)^j \]
dove i coefficienti \( \gamma_j(z) \) sono delle funzioni intere in \(z\) che soddisfano per ogni \(A >0 \) e per ogni \( \varepsilon >0 \) l'upper bound, con \( \left|z \right| \leq A \), seguente:
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A,\varepsilon} (1+\varepsilon)^j \]
Dimostrazione:
Tutte le asserzioni nel teorema seguono direttamente dal fatto che \( \zeta(s) \) non si annulla per \( \left| s -1 \right| < 1 \)
Perché??
via la formula di Cauchy abbiamo
\[ \frac{1}{j!}\gamma_j(z) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{ \left| s -1 \right| = r } Z(s,z) \frac{ds}{(s-1)^{j+1}} \]
è infatti risaputo - guardare per esempio Titchmarsh (1951), capitolo XV - che lo zero non banale della \( \zeta(s) \) con il più piccolo modulo nel semipiano \( \Im(s) \geq 0 \) è
\[ \rho = \frac{1}{2} + i 14.13472\ldots \]
Per completezza, diamo una dimostrazione veloce del fatto che \( \zeta(s) \neq 0 \) per \( \left| s -1 \right| < 1 \). Dopo integrazione per parti della formula (3.18) otteniamo
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s - \frac{1}{2}s(s+1) \int_1^{\infty} B_2(t)t^{-s-2} dt \]
Formula (3.18)
-Non ho capito ne la formula (3.18) nel senso che non ho idea di cosa voglia dire \( d[t] \) oppure \( d\{t\} \) e non ho capito i passaggi che ha fatto. Insomma non mai visto nulla del genere
-Non ho capito come fa ad integrare per parti e ottenere quella cosa nella dimostrazione di questo teorema.
-Cos'è \(B_2(t) \) ?? Immagino abbia a che fare con i numeri di Bernoulli a naso
Supponiamo che \( \zeta(\rho)=0 \) dove \( \rho = \beta + i \gamma \) e \( \left| \rho -1 \right| < 1 \). Allora per simmetria possiamo assumere che \( \beta \geq \frac{1}{2} \). Siccome \( \left| B_2(t) \right| \leq B_2 = \frac{1}{6} \), otteniamo, sostituendo \(s=\rho \) nella formula qui sopra:
\[ 1 + \frac{1}{2}(\rho-1) \{ 1 \frac{1}{6}\rho - \frac{1}{6} \theta \rho(\rho+1) \int_1^{\infty} t^{-5/2}dt \} = 0 \]
con \( \left| \theta \right| \leq 1 \), che implica
\[ 1 \leq \frac{1}{2} \left| \rho -1 \right| \{ 1 + \frac{1}{6} \left| \rho \right| + \frac{1}{9} \left| \rho(\rho+1) \right| \} < \frac{1}{2} \{ 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \} = 1 \]
Che è la contraddizione richiesta.
Grazie al teorema 3.15, esiste una "absolute positive constant" \(c\) tale che \( \zeta(s) \) non si annulla nella regione
\[ \Re(s) \geq 1 - \frac{c}{1 + \log^+ \left| \Im(s) \right| } \]
Teorema 3.15
Come fa a ottenere il denominatore lì a partire dal teorema 3.15? Inoltre non sono sicuro di capire la notazione \( \log^+ \) ?
Per il resto del capitolo sia \( \mathcal{D} \) il dominio semplicemente connesso ottenuto cancellando il segmento \( [1-c,1] \) dalla regione qui sopra definita. Abbiamo allora la continuazione analitica
\[ \zeta(s)^z = s Z(s,z)(s-1)^{-z} \]
per \( s \in \mathcal{D} \).
Come fa a dire che quella è una continuazione analitica?
L'upper bound \( \left| \log \zeta(s) \right| \leq \log_2 \left| \Im(s) \right| + O(1) \) dal teorema 3.16, dimostra che abbiamo per ogni costante \(A >0 \),
\[ \zeta(s)^z \ll_A \left( 1 + \log^+ \left| \Im(s) \right| \right)^A \]
con \( \left| z \right| \leq A, s \in \mathcal{D} , \left| s -1 \right| \gg 1 \).
Teorema 3.16
Non capisco le condizioni finali \( \left| z \right| \leq A, s \in \mathcal{D} , \left| s -1 \right| \gg 1 \)
Risposte
Che robe difficili. Allora, intanto la notazione \(d[t]\) e \(d\{t\}\) si riferisce -in teoria- all'integrale di Stieltjes, ma è sostanzialmente un artificio per integrare per parti. Non ce la stiamo a menare troppo. La funzione \([t]\) è costante a tratti e salta solo sugli interi, quindi il suo differenziale è
\[
d[t]=\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t-n) dt, \]
dove \(\delta\) è la delta di Dirac. Queste sono tutte manipolazioni formali che permettono di scrivere
\[
\sum_{n\in\mathbb Z} f(n) = \int_{\mathbb R} f(t) d[t].\]
Suppongo che \(d\{t\}\) avrà un significato analogo. Direi che
\[
d\{t\}=dt +\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t-n) dt,\]
perché l'unica differenza rispetto a prima è che \(\{t\}\) non è costante, ma lineare a tratti e con coefficiente angolare 1.
In conclusione, si tratta solo di notazioni per scrivere la formula di Eulero-McLaurin:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... in_formula
Okay ho pensato fosserò l'integrale sulla "parte intera" e la "parte frazionaria" ci ero quasi.
Si....
non capisco!
Forse però qualcosa ho capito nel senso che se \( \zeta(s) \) non si annulla in quel disco, che chiamo \(B_1(1) \) allora in qualche modo che non capisco dimostra che \( Z(s,z) \) è olomorfa. Supponendo quindi \( Z(s,z) \) olomorfa avremmo che chiamando \( \gamma_j (z) = \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} \) allora risulta che
\[ \frac{1}{2 \pi i} \oint_{B_r(1)} \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds = \sum_{k = 0 }^{\infty} \frac{1}{2 \pi i} \cdot \frac{ \gamma_k(z)}{k!} \oint_{B_r(1)} (s-1)^{k-j-1} ds = (1) \]
ora poiché abbiamo che l'integrando possiede primitiva olomorfa a meno che \(k = j \) risulta che tutti quegli integrali sono uguali a zero. Tranne quando \(k = j \) pertanto
\[ (1) = \frac{1}{2 \pi i} \frac{1}{j!} \oint_{B_r(1)} \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} \frac{1}{s-1} ds = \frac{1}{j!} \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} = \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \]
ed è olomorfa poiché \( Z(s,z) \) lo è (per ipotesi al momento)
Inoltre per provare il bound abbiamo che
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{ B_r(1)} \left| \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds \right| \]
ora siccome abbiamo ipotizzato \( Z(s,z) \) olomorfa abbiamo che è analitica e per il teorema del massimo possiede massimo sul bordo, diciamo che \( M_r(z) := \max_{ s \in B_r(1)} \left| Z(s,z) \right| \)
da cui risulta che
\[ \frac{1}{2 \pi} \oint_{ B_r(1)} \left| \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds \right| \leq \frac{M_r(z)}{r^j} \]
Ora abbiamo che per ogni \( \varepsilon >0 \) risulta che \( \frac{1}{r^j} \leq (1+\varepsilon)^j \) per ogni \( 0 < r \leq 1 \).
Come faccio a dimostrare dunque che \( M_r(z) \ll_{A,\varepsilon} 1 \) ? Questo non dimostrerebbe però che \(M_r(z) \) è costante per Liouville se \(z \in \mathbb{C} \) ?
"dissonance":
:shock:
Che robe difficili.
Si....
non capisco!"3m0o":
Tutte le asserzioni nel teorema seguono direttamente dal fatto che \( \zeta(s) \) non si annulla per \( \left| s -1 \right| < 1 \)
Perché??
via la formula di Cauchy abbiamo
\[ \frac{1}{j!}\gamma_j(z) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{ \left| s -1 \right| = r } Z(s,z) \frac{ds}{(s-1)^{j+1}} \]
è infatti risaputo - guardare per esempio Titchmarsh (1951), capitolo XV - che lo zero non banale della \( \zeta(s) \) con il più piccolo modulo nel semipiano \( \Im(s) \geq 0 \) è
\[ \rho = \frac{1}{2} + i 14.13472\ldots \]
Forse però qualcosa ho capito nel senso che se \( \zeta(s) \) non si annulla in quel disco, che chiamo \(B_1(1) \) allora in qualche modo che non capisco dimostra che \( Z(s,z) \) è olomorfa. Supponendo quindi \( Z(s,z) \) olomorfa avremmo che chiamando \( \gamma_j (z) = \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} \) allora risulta che
\[ \frac{1}{2 \pi i} \oint_{B_r(1)} \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds = \sum_{k = 0 }^{\infty} \frac{1}{2 \pi i} \cdot \frac{ \gamma_k(z)}{k!} \oint_{B_r(1)} (s-1)^{k-j-1} ds = (1) \]
ora poiché abbiamo che l'integrando possiede primitiva olomorfa a meno che \(k = j \) risulta che tutti quegli integrali sono uguali a zero. Tranne quando \(k = j \) pertanto
\[ (1) = \frac{1}{2 \pi i} \frac{1}{j!} \oint_{B_r(1)} \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} \frac{1}{s-1} ds = \frac{1}{j!} \frac{d^j Z(s,z)}{ds^j} \mid_{s=1} = \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \]
ed è olomorfa poiché \( Z(s,z) \) lo è (per ipotesi al momento)
Inoltre per provare il bound abbiamo che
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{ B_r(1)} \left| \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds \right| \]
ora siccome abbiamo ipotizzato \( Z(s,z) \) olomorfa abbiamo che è analitica e per il teorema del massimo possiede massimo sul bordo, diciamo che \( M_r(z) := \max_{ s \in B_r(1)} \left| Z(s,z) \right| \)
da cui risulta che
\[ \frac{1}{2 \pi} \oint_{ B_r(1)} \left| \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds \right| \leq \frac{M_r(z)}{r^j} \]
Ora abbiamo che per ogni \( \varepsilon >0 \) risulta che \( \frac{1}{r^j} \leq (1+\varepsilon)^j \) per ogni \( 0 < r \leq 1 \).
Come faccio a dimostrare dunque che \( M_r(z) \ll_{A,\varepsilon} 1 \) ? Questo non dimostrerebbe però che \(M_r(z) \) è costante per Liouville se \(z \in \mathbb{C} \) ?
È che il prof ha proposto questo argomento (the Selberg-Methode e argomenti correlati) come lavoro di bachelor e mi sarebbe piaciuto farlo, quindi stavo iniziando già a darci un occhiata, ma ha detto pure che diverse cose non le abbiamo ancora viste, quindi penso sia normale che ho molta difficoltà a capire ogni singola cosa, vero? 
Certo che è normale. Sono argomenti molto difficili e all’inizio è impossibile non andare a sbattere contro un muro di frustrazioni.
\[ \frac{1}{2 \pi} \oint_{ B_r(1)} \left| \frac{Z(s,z)}{(s-1)^{j+1}} ds \right| \leq \frac{M_r(z)}{r^j} \]
Che pirla...
Abbiamo che l'upper bound è ottenuto con \( \left| z \right| \leq A \), pertanto abbiamo che essendo il massimo di una funzione olomorfa anch'essa olomorfa otteniamo dunque poniamo \[ M_{A,r} := \max_{\left| z \right| \leq A} M_r(z) \]
Ora se \( A \geq M_{A,r} \) otteniamo chiaramente che
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{M_r(z)}{j! r^j} \leq \frac{M_{A,r}}{j! r^j} \leq A(1+\varepsilon)^j \]
Poniamo dunque come costante \(C_A = A \)
in caso contrario se dovessimo avere \( M_{A,r} > A \) otteniamo
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{M_r(z)}{j!r^j} \leq \frac{M_{A,r}}{j!r^j} \leq M_{A,r}(1+\varepsilon)^j \]
e poniamo la costante \(C_{A,r} =M_{A,r} \)
Lasciando tendere \(r \to 1 \) abbiamo che \(C_{A,r} \to C_A \geq M_{A,1} > A \) dipende solamente da \(A\) e deduciamo che per ogni \( A >0 \) e per ogni \( \varepsilon >0 \) abbiamo l'upper bound
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A, \varepsilon} (1+\varepsilon)^j \]
Però non vedo come mai la costante dipenda da \( \varepsilon \) io direi che
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A} (1+\varepsilon)^j \]
"3m0o":
Come faccio a dimostrare dunque che \( M_r(z) \ll_{A,\varepsilon} 1 \) ? Questo non dimostrerebbe però che \(M_r(z) \) è costante per Liouville se \(z \in \mathbb{C} \) ?
Che pirla...
Abbiamo che l'upper bound è ottenuto con \( \left| z \right| \leq A \), pertanto abbiamo che essendo il massimo di una funzione olomorfa anch'essa olomorfa otteniamo dunque poniamo \[ M_{A,r} := \max_{\left| z \right| \leq A} M_r(z) \]
Ora se \( A \geq M_{A,r} \) otteniamo chiaramente che
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{M_r(z)}{j! r^j} \leq \frac{M_{A,r}}{j! r^j} \leq A(1+\varepsilon)^j \]
Poniamo dunque come costante \(C_A = A \)
in caso contrario se dovessimo avere \( M_{A,r} > A \) otteniamo
\[ \left| \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \right| \leq \frac{M_r(z)}{j!r^j} \leq \frac{M_{A,r}}{j!r^j} \leq M_{A,r}(1+\varepsilon)^j \]
e poniamo la costante \(C_{A,r} =M_{A,r} \)
Lasciando tendere \(r \to 1 \) abbiamo che \(C_{A,r} \to C_A \geq M_{A,1} > A \) dipende solamente da \(A\) e deduciamo che per ogni \( A >0 \) e per ogni \( \varepsilon >0 \) abbiamo l'upper bound
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A, \varepsilon} (1+\varepsilon)^j \]
Però non vedo come mai la costante dipenda da \( \varepsilon \) io direi che
\[ \frac{1}{j!} \gamma_j(z) \ll_{A} (1+\varepsilon)^j \]
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