Zeta e numeri di Bernoulli
Dimostra che per tutti gli \(n \in \mathbb{N} \) abbaiamo
\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n} \]
dove \( B_n \) sono i numeri di Bernoulli.
Non capisco un passaggio della dimostrazione.
Costatiamo che in \( D(0,2\pi) \) abbiamo
\[ \frac{z}{2} \left( \frac{e^{z/2} + e^{-z/2}}{e^{z/2} - e^{-z/2}} \right) = \frac{z}{e^z -1} + \frac{z}{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \]
sostituendo \(z \) con \( 2 \pi i z \) otteniamo nel disco \( \mathbb{D} \)
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(2\pi)^{2n}B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \]
D'altra parte siccome in \( \mathbb{D} \)
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = -2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \zeta(2n) z^{2n} \]
otteniamo che per l'unicità dei coefficienti di una serie intera per ogni \( n \in \mathbb{N} \) il risultato.
Non capisco come mai
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = -2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \zeta(2n) z^{2n} \]
\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n} \]
dove \( B_n \) sono i numeri di Bernoulli.
Non capisco un passaggio della dimostrazione.
Costatiamo che in \( D(0,2\pi) \) abbiamo
\[ \frac{z}{2} \left( \frac{e^{z/2} + e^{-z/2}}{e^{z/2} - e^{-z/2}} \right) = \frac{z}{e^z -1} + \frac{z}{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \]
sostituendo \(z \) con \( 2 \pi i z \) otteniamo nel disco \( \mathbb{D} \)
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(2\pi)^{2n}B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \]
D'altra parte siccome in \( \mathbb{D} \)
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = -2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \zeta(2n) z^{2n} \]
otteniamo che per l'unicità dei coefficienti di una serie intera per ogni \( n \in \mathbb{N} \) il risultato.
Non capisco come mai
\[ \pi z \operatorname{cotan} \pi z = -2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} \zeta(2n) z^{2n} \]
Risposte
Non è difficile, stavolta. È spiegato su Serre, "A course in arithmetic", Proposition 7 pag.91.
https://www.math.purdue.edu/~lipman/MA5 ... hmetic.pdf
https://www.math.purdue.edu/~lipman/MA5 ... hmetic.pdf
Grazie.
Ciao 3m0o,
Abbaiamo no dai...
Scherzi a parte, riporto anche la dimostrazione seguente, un po' diversa da quella riportata da dissonance, che è un libero adattamento da quella delle mie riflessioni per l'esame di Elettronica quantistica di un paio di decenni fa...
Qualche tempo e qualche thread fa dovresti aver visto che con lo sviluppo di Mittag-Leffler o con altri metodi che preferisci si ha:
$\pi \text{cotan}(\pi z) - 1/z = - 2z \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 - z^2) $
Quindi si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) - 1 = - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) $
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} (z^2/k^2)/(1 - z^2/k^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} \sum_{n = 1}^{+\infty} (z/k)^{2n} $
ove $|z| < 1 $. La serie doppia è assolutamente convergente, infatti il modulo del suo termine generale $u_{k,n}$ è $|u_{k,n}| =|z|^{2n}/k^{2n} <= |z|^{2n}/k^{2} $ e la serie avente tale termine generale è convergente per $|z| < 1 $ come prodotto della serie $\sum |z|^{2n} $ e della serie $\sum 1/k^{2} $. Dato che la serie doppia è assolutamente convergente, si possono scambiare le due serie, ottenendo così
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k^{2n} = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\zeta(2n) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
A questo punto se facciamo partire la serie da $n = 0 $ il primo termine è proprio $- 2 \zeta(0) = 1$, quindi in definitiva si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = - 2\sum_{n = 0}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
"3m0o":
Dimostra che per tutti gli $n\in \NN $ abbaiamo
Abbaiamo no dai...
Scherzi a parte, riporto anche la dimostrazione seguente, un po' diversa da quella riportata da dissonance, che è un libero adattamento da quella delle mie riflessioni per l'esame di Elettronica quantistica di un paio di decenni fa...
Qualche tempo e qualche thread fa dovresti aver visto che con lo sviluppo di Mittag-Leffler o con altri metodi che preferisci si ha:
$\pi \text{cotan}(\pi z) - 1/z = - 2z \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 - z^2) $
Quindi si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) - 1 = - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) $
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} (z^2/k^2)/(1 - z^2/k^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} \sum_{n = 1}^{+\infty} (z/k)^{2n} $
ove $|z| < 1 $. La serie doppia è assolutamente convergente, infatti il modulo del suo termine generale $u_{k,n}$ è $|u_{k,n}| =|z|^{2n}/k^{2n} <= |z|^{2n}/k^{2} $ e la serie avente tale termine generale è convergente per $|z| < 1 $ come prodotto della serie $\sum |z|^{2n} $ e della serie $\sum 1/k^{2} $. Dato che la serie doppia è assolutamente convergente, si possono scambiare le due serie, ottenendo così
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k^{2n} = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\zeta(2n) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
A questo punto se facciamo partire la serie da $n = 0 $ il primo termine è proprio $- 2 \zeta(0) = 1$, quindi in definitiva si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = - 2\sum_{n = 0}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
"pilloeffe":
Ciao 3m0o,
Abbaiamo no dai...
Credo che volessero proprio farci dimostrare che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) noi abbaiamo... woof woof
A parte gli scherzi
"pilloeffe":
Scherzi a parte, riporto anche la dimostrazione seguente, un po' diversa da quella riportata da dissonance, che è un libero adattamento da quella delle mie riflessioni per l'esame di Elettronica quantistica di un paio di decenni fa...
Qualche tempo e qualche thread fa dovresti aver visto che con lo sviluppo di Mittag-Leffler o con altri metodi che preferisci si ha:
$\pi \text{cotan}(\pi z) - 1/z = - 2z \sum_{k = 1}^{+\infty} 1/(k^2 - z^2) $
Quindi si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) - 1 = - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) $
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2 \sum_{k = 1}^{+\infty} z^2/(k^2 - z^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} (z^2/k^2)/(1 - z^2/k^2) = 1 - 2\sum_{k = 1}^{+\infty} \sum_{n = 1}^{+\infty} (z/k)^{2n} $
ove $|z| < 1 $. La serie doppia è assolutamente convergente, infatti il modulo del suo termine generale $u_{k,n}$ è $|u_{k,n}| =|z|^{2n}/k^{2n} <= |z|^{2n}/k^{2} $ e la serie avente tale termine generale è convergente per $|z| < 1 $ come prodotto della serie $\sum |z|^{2n} $ e della serie $\sum 1/k^{2} $. Dato che la serie doppia è assolutamente convergente, si possono scambiare le due serie, ottenendo così
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\sum_{k = 1}^{+\infty} 1/k^{2n} = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n}\zeta(2n) = 1 - 2\sum_{n = 1}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
A questo punto se facciamo partire la serie da $n = 0 $ il primo termine è proprio $- 2 \zeta(0) = 1$, quindi in definitiva si ha:
$\pi z \text{cotan}(\pi z) = - 2\sum_{n = 0}^{+\infty} \zeta(2n) z^{2n} $
Ho capito meglio questa che l'altra, grazie mille.
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