Z-Trasformazione: problema con decomposizione in fratti semplici

[MarkS3]

Ciao a tutti, sto facendo un esercizio su una Z-Trasformazione.
$ 2y(n+2)+3y(n+1)-2y(n)=2^(n-1), y(0)=1, y(1)=0 $
Ho trasformato ambo i membri e fin qui tutto bene, mi trovo:
$ Y=z/(2(z-2)(z+2)(2z-1))+(2z^2+3z)/((z+2)(2z-1)) $
A questo punto dovrei ritrasformare.
$ Y=z((4z^2-2z-11)/(2(z-2)(z+2)(2z-1))) $
Faccio la decomposizione in fratti semplici (mettendo da parte un fattore z) e ottengo:
$ A/(2(z-2))+B/(2(2z-1))+C/(2(z+2)) $
Vado a fare i calcoli e mi trovo:
$ 2Az^2+3Az-2A+Bz^2+4B+2Cz^2+3Cz+2C $
Uguagliando al numeratore trovo infine il seguente sistema:
$ { ( 2A+B+2C=4 ),( 3A+3C=-2 ),( -2A+4B+2C=-1 ):} $
Non vi posto tutti i calcoli, ma alla fine mi trovo come risultati
$ { ( A=97/6 ),( B=16/3 ),( C=-101/6 ):} $
Che purtroppo non è corretto, perchè il libro alla fine trova:
$ Y=z(22/(15(2z-1))+9/(40(z+2))+1/(24(z-2))) $
Il libro non porta tutti i passaggi della decomposizione e quindi non riesco a capire dove sbaglio
c'è qualcuno che può dare un'occhiata?

[megas_archon]

"MarkS3":
Uguagliando al numeratore trovo infine il seguente sistema:
$ { ( 2A+B+2C=4 ),( 3A+3C=-2 ),( -2A+4B+2C=-1 ):} $

Bisogna risolvere il sistema lineare \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\
3 & 0 & 3 \\
-2 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 \\ -2 \\ 1
\end{pmatrix}\); l'unica soluzione è \(\begin{pmatrix} \frac{19}{4}\\ \frac{16}{3}\\ -\frac{65}{12}\end{pmatrix}\). L'errore sarà più a monte...

[pilloeffe]

Ciao MarkS3,

"MarkS3":Ho trasformato ambo i membri e fin qui tutto bene, mi trovo:
$Y=z/(2(z-2)(z+2)(2z-1))+(2z^2+3z)/(2(z-2)(z+2)(2z-1)) $

Sicuro? A me risulta

$ Y(z) = z/(2(z - 2)(z + 2)(2z - 1)) + (2z^2 + 3z)/((z + 2)(2z - 1)) $

[MarkS3]

"pilloeffe":Ciao MarkS3,
[quote="MarkS3"]Ho trasformato ambo i membri e fin qui tutto bene, mi trovo:
$Y=z/(2(z-2)(z+2)(2z-1))+(2z^2+3z)/(2(z-2)(z+2)(2z-1)) $

Sicuro? A me risulta

$ Y(z) = z/(2(z - 2)(z + 2)(2z - 1)) + (2z^2 + 3z)/((z + 2)(2z - 1)) $[/quote]

Perdonami, si tratta di un errore di battitura al PC, su carta l'ho scritto corretto ed è come hai scritto tu.
Ora correggo subito il post.

[pilloeffe]

Farei così:

$ Y(z) = z (4z^2-2z-11)/(2(z-2)(z+2)(2z-1)) = z/4 \cdot (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) $

Considerando per comodità solo la seconda frazione si ha:

$ (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = A/(z - 2) + B/(z - 1/2) + C/(z + 2) = $
$ = (A(z + 2)(z - 1/2) + B(z^2-4) + C(z - 2)(z - 1/2))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = (A(z^2 - 1/2 z + 2z - 1) + Bz^2- 4B + C(z^2 - 1/2 z - 2z + 1))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = (A(z^2 + 3/2 z - 1) + Bz^2- 4B + C(z^2 - 5/2 z + 1))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = ((A + B + C)z^2 + (3/2 A - 5/2 C)z - A - 4B + C)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) $

Da cui il sistema seguente:

$ {(A + B + C = 4),(3/2 A - 5/2 C = - 2 ),(- A - 4B + C = - 11):} $

che ha soluzione $ (A, B, C) = (1/6, 44/15, 9/10) $, dunque si ha:

$ Y(z) = z/4 \cdot (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = z/4 \cdot (A/(z - 2) + B/(z - 1/2) + C/(z + 2)) = $
$ = z/4 \cdot (1/(6(z - 2)) + 44/(15(z - 1/2)) + 9/(10(z + 2))) = $
$ = z (1/(24(z - 2)) + 11/(15(z - 1/2)) + 9/(40(z + 2))) = $
$ = z (1/(24(z - 2)) + 22/(15(2z - 1)) + 9/(40(z + 2))) $

che in effetti coincide con la soluzione riportata dal tuo libro.
Adesso che ci faccio caso però nel tuo sistema c'è sicuramente un errore nell'ultima equazione:

"MarkS3":Uguagliando al numeratore trovo infine il seguente sistema:
$ {(2A + B + 2C = 4),(3A + 3C = -2),(- 2A + 4B + 2C = -1):} $

L'ultima equazione dovrebbe essere $ - 2A + 4B + 2C= - 11 $

[MarkS3]

"pilloeffe":Farei così:

$ Y(z) = z (4z^2-2z-11)/(2(z-2)(z+2)(2z-1)) = z/4 \cdot (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) $

Considerando per comodità solo la seconda frazione si ha:

$ (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = A/(z - 2) + B/(z - 1/2) + C/(z + 2) = $
$ = (A(z + 2)(z - 1/2) + B(z^2-4) + C(z - 2)(z - 1/2))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = (A(z^2 - 1/2 z + 2z - 1) + Bz^2- 4B + C(z^2 - 1/2 z - 2z + 1))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = (A(z^2 + 3/2 z - 1) + Bz^2- 4B + C(z^2 - 5/2 z + 1))/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = $
$ = ((A + B + C)z^2 + (3/2 A - 5/2 C)z - A - 4B + C)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) $

Da cui il sistema seguente:

$ {(A + B + C = 4),(3/2 A - 5/2 C = - 2 ),(- A - 4B + C = - 11):} $

che ha soluzione $ (A, B, C) = (1/6, 44/15, 9/10) $, dunque si ha:

$ Y(z) = z/4 \cdot (4z^2-2z-11)/((z-2)(z+2)(z-1/2)) = z/4 \cdot (A/(z - 2) + B/(z - 1/2) + C/(z + 2)) = $
$ = z/4 \cdot (1/(6(z - 2)) + 44/(15(z - 1/2)) + 9/(10(z + 2))) = $
$ = z (1/(24(z - 2)) + 11/(15(z - 1/2)) + 9/(40(z + 2))) = $
$ = z (1/(24(z - 2)) + 22/(15(2z - 1)) + 9/(40(z + 2))) $

che in effetti coincide con la soluzione riportata dal tuo libro.
Adesso che ci faccio caso però nel tuo sistema c'è sicuramente un errore nell'ultima equazione:
[quote="MarkS3"]Uguagliando al numeratore trovo infine il seguente sistema:
$ {(2A + B + 2C = 4),(3A + 3C = -2),(- 2A + 4B + 2C = -1):} $

L'ultima equazione dovrebbe essere $ - 2A + 4B + 2C= - 11 $[/quote]

Non sai quanto ti ringrazio!
Alla fine confrontando con la tua soluzione ho anche trovato l'errore, ho sbagliato 2 segni nei calcoli al numeratore dopo aver fatto il mcm... Il bello è che l'ho anche rifatto una seconda volta per controllare se c'erano errori, e comunque ne ho sbagliato uno quindi continuavo a non trovarmi.
2 giorni dietro ad un errore di segno...
Comunque, grazie ancora!