Vero o falso 2
Esiste una funzione olomorfa \( f: B_2(0) \setminus \overline{ \{ 1/n: n \in \mathbb{N} \} } \to \mathbb{C} \) tale che per ogni \(n \in \mathbb{N} \) la Laurent series di \(f\) in \(z_n=1/n \) possiede parte principale \(q_n(z) = (z-1/n)^{-n} \).
Io avrei detto che è falso perché gli \(1/n\) si accumulano in zero. Se esistesse \( f \) sarebbe una funzione meromorfa su \(B_2(0) \) ma le funzioni meromorfe hanno poli isolati mentre \(0\) non è isolato. Cosa sbaglio perché la risposta è vero.
Cioé per applicare Mittag-Leffler dovrei avere che i punti \(1/n\) sono discreti. O sbaglio?
Io avrei detto che è falso perché gli \(1/n\) si accumulano in zero. Se esistesse \( f \) sarebbe una funzione meromorfa su \(B_2(0) \) ma le funzioni meromorfe hanno poli isolati mentre \(0\) non è isolato. Cosa sbaglio perché la risposta è vero.
Cioé per applicare Mittag-Leffler dovrei avere che i punti \(1/n\) sono discreti. O sbaglio?
Risposte
Probabilmente devo usare questo teorema, che mi garantisce l'esistenza di una tale funzione. Che è la versione più generale di Mittag-leffler.
Sia \( S = \{ d_n \}_n \subset U \) un insieme numerabile di punti discreti in \(U \) e per ogni \( d_n \in S \) sia \(q_n : \mathbb{C} \setminus \{d_n\} \to \mathbb{C} \) una parte principale. Se esiste una successione \( \{c_n\}_n \subset S' := \overline{S} \setminus S \) tale che \( \lim_{n} \left| d_n - c_n \right| = 0 \) allora esiste una parte principale troncata \(q_n^{k_n} \) centrata in \(c_n \) tale che
\[ f= \sum_{n=1}^{\infty} q_n - q_n^{k_n} \]
converge localmente normalmente in \( \mathbb{C} \setminus \overline{S} \supset U \setminus S \) e inoltre in ogni punti \(d_n \in S \) la parte principale di \(f\) è \(q_n \).
- In primo luogo immagino che la notazione \(q_n^{k_n} \) sia una pessima scelta perché sembra che mi tronca \(q_n \) ma credo che \(q_n^{k_n} \) non sia \(q_n\) troncato ma un'altra parte principale. Oppure mi sbaglio e invece sono proprio i \(q_n \) ma centrati in \(c_n \) invece che in \(d_n\) troncati ad un certo \(k_n \) ?
- In secondo luogo credo vi sia un typo perché dovrebbe converge in \( \mathbb{C} \setminus \overline{S} \supset U \setminus \overline{S} \). Oppure no scherzo perché \(S' \subset \partial U \) e dunque \( U \setminus \overline{S} = U \setminus S \) sicché \( S' \not\supset U \).
- Vedo \( U = B_2(0) \setminus \{0 \} \), \(S = \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \} \) e \( S' = \{ 0 \} \).
Ma trovare esplicitamente \( q_n^{k_n} \) non so come fare onestamente. Forse credo proprio siano \(q_n\) troncati (in questo caso è sufficiente scegliere \(k_n=n\) ) e centrati in \(c_n=0\) e dunque va bene \(q_n^{k_n}= 1/z^n \) ?
E dovrei dimostrare che
\[ \sum_{ n =1}^{\infty} q_n - q_n^{k_n} = \sum_{ n =1}^{\infty} \frac{1}{(z-1/n)^n} - \frac{1}{z^n} \]
converge normalmente in \( B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \), in realtà converge anche in \( \mathbb{C} \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \).
Riesco solo a dire che esiste \( q_n^{k_n} \) per cui converge normalmente ma non riesco a dire che è questo particolare \( 1/z^n \), che a intuito direi che vada bene.
Dunque sia un compatto \( K \subset B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \).
Denotiamo \( A_c(\epsilon) := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z -c \right| \geq \epsilon \} \)
Abbiamo che \( \operatorname{dist}\left( K,\overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \right) > \epsilon \) per qualche \( \epsilon > 0 \). E siccome \( \lim_n 1/n = 0 \) abbiamo che esiste un indice \(n(K)\) tale che per ogni \(n \geq n(K) \) risulta
\[ 2\left|1/n \right| \leq \epsilon \]
o in altre parole
\[ \left| z \right| > \epsilon \geq 2\left|1/n \right| \]
dunque \[ \left| \frac{1}{(z-1/n)^n} - q_n^{k_n} \right| \leq 2^{-n} \]
infatti abbiamo su \( A_0 := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| > \left| 1/n \right| \} \) risulta che
\[ q_n(z)= \frac{1}{(z-1/n)^{n}} = \sum_{k=1}^{\infty} a_{-k}z^{-k} \]
e abbiamo che i termini si annullano quando \(a_k \) e \(k \geq 0 \) infatti abbiamo che \( q_n \) è olomorfa in \(A_0 \) e ammette serie di Laurent. Inoltre i coefficienti soddisfano per ogni \( \rho > \left| 1/n \right| \)
\[ \left| a_j \right| \leq \rho^{-1} \sup_{z \in B_{\rho}(0)} \left| q_n(z) \right| \]
per \( \rho \gg 1 \) abbiamo che \( \rho^{-1} \) è limitato e dunque per ogni \( j \geq 0 \). E siccome \( \lim_{ \left| z \right| \to \infty} q_n(z) = 0 \) abbiamo che \( a_j = 0 \) per ogni \( j \geq 0 \).
Tornando a noi abbiamo dunque che
\[ q_n^{k_n} (z) : = \sum_{j=1}^{k_n} a_{ -j}/z^j \to q_n \]
uniformemente sugli anelli \( A_0 = \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| > \left| 1/n \right| \} \)
Dunque abbiamo che
\[ \sum_{n \geq n(K)} \sup_{z \in K} \left| \frac{1}{(z-1/n)^n} - q_n^{k_n}(z) \right| \leq \sum_{n \geq n(k)} 2^{-n} < \infty \]
e pertanto abbiamo convergenza normale su tutti i compatti \(K \subset B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \)
Sia \( S = \{ d_n \}_n \subset U \) un insieme numerabile di punti discreti in \(U \) e per ogni \( d_n \in S \) sia \(q_n : \mathbb{C} \setminus \{d_n\} \to \mathbb{C} \) una parte principale. Se esiste una successione \( \{c_n\}_n \subset S' := \overline{S} \setminus S \) tale che \( \lim_{n} \left| d_n - c_n \right| = 0 \) allora esiste una parte principale troncata \(q_n^{k_n} \) centrata in \(c_n \) tale che
\[ f= \sum_{n=1}^{\infty} q_n - q_n^{k_n} \]
converge localmente normalmente in \( \mathbb{C} \setminus \overline{S} \supset U \setminus S \) e inoltre in ogni punti \(d_n \in S \) la parte principale di \(f\) è \(q_n \).
- In primo luogo immagino che la notazione \(q_n^{k_n} \) sia una pessima scelta perché sembra che mi tronca \(q_n \) ma credo che \(q_n^{k_n} \) non sia \(q_n\) troncato ma un'altra parte principale. Oppure mi sbaglio e invece sono proprio i \(q_n \) ma centrati in \(c_n \) invece che in \(d_n\) troncati ad un certo \(k_n \) ?
- In secondo luogo credo vi sia un typo perché dovrebbe converge in \( \mathbb{C} \setminus \overline{S} \supset U \setminus \overline{S} \). Oppure no scherzo perché \(S' \subset \partial U \) e dunque \( U \setminus \overline{S} = U \setminus S \) sicché \( S' \not\supset U \).
- Vedo \( U = B_2(0) \setminus \{0 \} \), \(S = \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \} \) e \( S' = \{ 0 \} \).
Ma trovare esplicitamente \( q_n^{k_n} \) non so come fare onestamente. Forse credo proprio siano \(q_n\) troncati (in questo caso è sufficiente scegliere \(k_n=n\) ) e centrati in \(c_n=0\) e dunque va bene \(q_n^{k_n}= 1/z^n \) ?
E dovrei dimostrare che
\[ \sum_{ n =1}^{\infty} q_n - q_n^{k_n} = \sum_{ n =1}^{\infty} \frac{1}{(z-1/n)^n} - \frac{1}{z^n} \]
converge normalmente in \( B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \), in realtà converge anche in \( \mathbb{C} \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \).
Riesco solo a dire che esiste \( q_n^{k_n} \) per cui converge normalmente ma non riesco a dire che è questo particolare \( 1/z^n \), che a intuito direi che vada bene.
Dunque sia un compatto \( K \subset B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \).
Denotiamo \( A_c(\epsilon) := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z -c \right| \geq \epsilon \} \)
Abbiamo che \( \operatorname{dist}\left( K,\overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \right) > \epsilon \) per qualche \( \epsilon > 0 \). E siccome \( \lim_n 1/n = 0 \) abbiamo che esiste un indice \(n(K)\) tale che per ogni \(n \geq n(K) \) risulta
\[ 2\left|1/n \right| \leq \epsilon \]
o in altre parole
\[ \left| z \right| > \epsilon \geq 2\left|1/n \right| \]
dunque \[ \left| \frac{1}{(z-1/n)^n} - q_n^{k_n} \right| \leq 2^{-n} \]
infatti abbiamo su \( A_0 := \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| > \left| 1/n \right| \} \) risulta che
\[ q_n(z)= \frac{1}{(z-1/n)^{n}} = \sum_{k=1}^{\infty} a_{-k}z^{-k} \]
e abbiamo che i termini si annullano quando \(a_k \) e \(k \geq 0 \) infatti abbiamo che \( q_n \) è olomorfa in \(A_0 \) e ammette serie di Laurent. Inoltre i coefficienti soddisfano per ogni \( \rho > \left| 1/n \right| \)
\[ \left| a_j \right| \leq \rho^{-1} \sup_{z \in B_{\rho}(0)} \left| q_n(z) \right| \]
per \( \rho \gg 1 \) abbiamo che \( \rho^{-1} \) è limitato e dunque per ogni \( j \geq 0 \). E siccome \( \lim_{ \left| z \right| \to \infty} q_n(z) = 0 \) abbiamo che \( a_j = 0 \) per ogni \( j \geq 0 \).
Tornando a noi abbiamo dunque che
\[ q_n^{k_n} (z) : = \sum_{j=1}^{k_n} a_{ -j}/z^j \to q_n \]
uniformemente sugli anelli \( A_0 = \{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| > \left| 1/n \right| \} \)
Dunque abbiamo che
\[ \sum_{n \geq n(K)} \sup_{z \in K} \left| \frac{1}{(z-1/n)^n} - q_n^{k_n}(z) \right| \leq \sum_{n \geq n(k)} 2^{-n} < \infty \]
e pertanto abbiamo convergenza normale su tutti i compatti \(K \subset B_2(0) \setminus \overline{ \{1/n : n \in \mathbb{N} \} } \)
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