Vero o falso??

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Vero o falso? Se vero dimostra se falso controesempio.

1) Sia \(n \in \mathbb{N} \), non esiste alcuna funzione olomorfa \( f: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f = 0 \} = \partial B_1^n(0 ) \), dove \( B_1^{n}(0) \subseteq \mathbb{C}^n \) denota la palla unitaria rispetto alla norma euclidea

2) Esiste un unica funzione olomorfa \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) tale che \( \{ f= 0 \} = \{ 1 +ni : n \in \mathbb{N} \} \) e \( f(0)=1\).

Direi che 1) è falso perché considero \( f \equiv 0 \) ma le soluzioni dicono che è vero...

Per la 2) direi falso perché se \(f\) è una funzione olomorfa con quelle caratteristiche allora \( z \mapsto f(z) + f(z+i) \) è un altra. Ora chiaramente sono diverse perché \( -i \mapsto f(-i) + f(-i+i) = f(-i) + 1 \) se \( f(-i) +1 = f(-i) \) allora \( f(-i) = 0 \) ma \( - i \not\in \{ 1 + ni : n \mathbb{N} \} \). Contraddizione. Altrimenti se non esiste alcuna funzione con quelle caratteristiche è tautologicamente falso. Va bene?

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Oops... no per 1) non va bene...
Potrei dire che se \(z \mapsto f(z,z_2,\ldots,z_n)=0 \) per ogni \( z \in \mathbb{C} \) tale che \((z,z_2,\ldots,z_n) \in \partial B_1^n(0) \) allora contraddice il principio del massimo?

edit: no, ma così dovrebbe funzionare:

Supponiamo esista, chiaramente che \( f \neq 0 \) ( altrimenti il suo set di zeri non è il bordo), allora \( \left| f \right| \) raggiunge il suo massimo nell'interno di \( B_1^{(n)}(0) \) dunque è costante. Contraddizione!

[dissonance]

Dov'è la contraddizione?

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Beh se è costante non può essere che \( \{ f= 0 \} = \partial B_1^{(n)}(0) \) ! Sarebbe o tutto \( \overline{B_1^{(n)}(0) } \) oppure \( \emptyset \).

[dissonance]

Si, scusami, ho formulato male la domanda, ero un po' fuori fase. Voglio dire, come fai a dire che se \(\lvert f \rvert\) ha un massimo interno allora \(f\) è costante? Se \(n=1\) sono d'accordo, ma non ho mai studiato le funzioni olomorfe su \(\mathbb C^n\) con \(n>1\) e non vorrei che ci fosse un inghippo lì.

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Allora sia \( D \subset \mathbb{C}^n \) un dominio e \(f \) olomorfa. Allora vale quanto segue
1) Principio identià: \( f : D \to \mathbb{C} \). Se \( f\mid_{B_r(a)} \equiv 0 \) per qualche \(a \in D \) e \(r > 0 \) allora \( f \equiv 0 \).
2) Open map: \(f: D \to \mathbb{C} \), non costante allora \( f(D) \) è un dominio.
3) Maximum: \( f : D \to \mathbb{C} \), se \( \left| f \right| \) raggiunge il suo massimo in \(D\) allora \(f\) è costante.

Notazioni:
Siano \( a, b \in \mathbb{C}^n\). Definiamo \( D_{a,b} := \{ z \in \mathbb{C} : a + tb \in D\} \), ed \(f_{a,b} : D_{a,b} \to \mathbb{C} \) definita da \( f_{a,b}(t) = f(a+tb) \).


1)

Definiamo \( U = \{ z \in D : f \equiv 0 \text{ in un intorno di } z \} \). Allora \( a \in U \). Inoltre abbiamo che \(U\) è aperto. \(U\) è anche chiuso in \(D\). Per "connessità" di \(D\) segue che \(U=D\). Sia infatti \(z_n \to z \in D \) con \(z_n \in U \). Supponiamo che \(z \not\in U \). Allora per ogni \(r > 0 \) esiste \( z_r \in B_r(z) \cap D \) tale che \(f(z_r) \neq 0 \). Sia \(z_n \) tale che \(z_n \in B_r(z) \) per qualche \(r >0 \) tale che \( B_{2r}(z) \subset D \). Abbiamo \( z_r \neq z_n \). Consideriamo allora \( f_{z_n,z_r-z_n} \) con la notazione di cui sopra. Per convessità di \(B_r(z) \) segue che \( [0,1] \subset D_{z_n,z_r-z_n} \) Siccome \( D_{z_n,z_r-z_n} \) è aperto possiamo trovare un cilindro della forma \(Z_{\delta} := (-\delta, 1 + \delta) + i(-\delta,\delta) \subset \mathbb{C} \). Tale che \(Z_{\delta} \subset D_{z_n,z_r-z_n} \). Inoltre siccome \(z_n \in U \) segue che esiste \( \tau_n >0 \) tale che \( f_{z_n,z_n-z_r}\mid_{[0,\tau_n]} \equiv 0 \). Quindi per il teorema dell'identità unidimensionale abbiamo che \( f_{z_n,z_r-z_n} \equiv 0 \) in \(Z_{\delta} \). Contraddicendo \(f(z_r)=f_{z_n,z_r-z_n}(1)=0 \).

Tra l'altro mi sembra inutile passare dal cilindro \(Z_{\delta} \), poiché basterebbe dire \( f\mid_{[0,\tau_n]} \equiv 0 \) per il principio di identità risulterebbe automaticamete che \( f\mid_{[0,1]} \equiv 0 \) se non sbaglio.

2)

Per continuità abbiamo che \( f(D) \) è connesso per archi. Quindi dimostriamo che \( f(D)\) è aperto. Sia \( w \in f(D) \) e consideriamo \(z \in D \) tale che \( f(z) = w \). Consideriamo la palla \( B_r(z) \subset D \). Allora \( f\mid_{B_r(z)} \) non può essere costante per il punto b). Quindi esiste un punto \(p \in B_r(z) \) tale che \(f(p)=f(z) \). In particolare la funzione \( f_{p,z-p} \) con la notazione di cui sopra è non costante. Quindi grazie al open map theorem unidimensionale abbiamo che \( f_{p,z-p} \left( D_{p,z-p} \right) \) contiene un intorno aperto di \(f(z) \). Più precisamente consideriamo la restrizione \(f_{p,z-p} \) su un cilindro come in b) e abbiamo trovato un sottoinsieme connesso dove non è non è costante. Allora \( w \in f_{p,z-p} \left( D_{p,z-p} \right) \subset f(D) \).

3) Supponiamo che \( \left| f \right| \) raggiunge il suo massimo in \(a \in D\), ad \(f\) non costante. Allora non esiste un intorno di \(f(a) \in f(D)\) poiché \( \left| f(z) \right| \leq \left| f(a) \right| \) per ogni \(z \in D\). Questo contraddice il punto 2).


Mi è sorta una domanda però. Abbiamo che l'open map theorem se \( f : D \to \mathbb{C}^m \) non è più vero. Infatti \( f: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}^2 \) definita da \( f(z_1,z_2) = (z_1,z_1z_2) \) è olomorfa ma non è aperta. Per dimostrare il principio del massimo da \( \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) usiamo il teorema della mappa aperta. Questo vuol dire che il principio del massimo da \( D \to \mathbb{C}^m \) fallisce? Oppure si può dimostrare il principio del modulo massimo (con la norma in \( \mathbb{C}^m\)) è valido indipendentemente dal teorema della mappa aperta?

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"3m0o":
Mi è sorta una domanda però. Abbiamo che l'open map theorem se \( f : D \to \mathbb{C}^m \) non è più vero. Infatti \( f: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}^2 \) definita da \( f(z_1,z_2) = (z_1,z_1z_2) \) è olomorfa ma non è aperta. Per dimostrare il principio del massimo da \( \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} \) usiamo il teorema della mappa aperta. Questo vuol dire che il principio del massimo da \( D \to \mathbb{C}^m \) fallisce? Oppure si può dimostrare il principio del modulo massimo (con la norma in \( \mathbb{C}^m\)) è valido indipendentemente dal teorema della mappa aperta?

C'è una formula integrale di Cauchy per le funzioni da \( f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m \) ?? Perché se sì credo sia vero il principio del modulo massimo nonostante il teorema della mappa aperta non funziona

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Forse così funziona
Supponiamo che \( f: U \to \mathbb{C}^m \) olomorfa dove \( U \subset \mathbb{C}^n \) un aperto. In particolare sia \( f=(f_1,\ldots,f_m) \) dove ciascuna \(f_j : U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa. Supponiamo che \( \lVert f \rVert \) raggiunga il massimo in \( \xi \in U \). Dove \( \xi = (\xi_1,\ldots, \xi_n ) \) fissiamo un arbitrario \(1 \leq j \leq m \) e sia \( B_{r_j}(\xi_j) \) con \(r_j \) arbitrario, ma in modo tale da avere \( B_r(\xi_1) \times \ldots \times B_r(\xi_n) \subset U \). Allora
\[ f_j(\xi) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{ \left| \xi_1 - z_1 \right|=r_1} \ldots \int_{ \left| \xi_n - z_n \right| =r_n} \frac{f(z)}{(\xi_1 - z_1) \cdot \ldots \cdot (\xi_n - z_n )}dz_1 \ldots dz_n \]

Prendendo il modulo risulta che
\[ \left| f_j(\xi) \right| \leq \frac{1}{(2\pi )^n} \int_{ \left| \xi_1 - z_1 \right|=r_1} \ldots \int_{ \left| \xi_n - z_n \right|=r_n } \frac{\left| f_j(z) \right|}{\left| (\xi_1 - z_1) \cdot \ldots \cdot (\xi_n - z_n )\right|}dz_1 \ldots dz_n\] \[\leq \frac{(2\pi)^n r_1 \cdot \ldots \cdot r_n}{(2\pi)^n r_1 \cdot \ldots \cdot r_n} \left| f_j(\xi) \right| = \left| f_j(\xi) \right| \]
Quindi tutte le disuguaglianze in realtà sono delle uguaglianze. Dunque parametrizzando gli integrali avremmo con \( z_j = \xi_j + r_j e^{i t_j} \) e ponendo \( \zeta := ( \xi_1 + r_1 e^{i t_1},\ldots,\xi_n + r_n e^{i t_n}) \) segue che
\[ \left| f_j(\xi) \right| = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \ldots \int_0^{2\pi} \left| f_j( \zeta) \right| dt_1 \ldots dt_n \]
ora segue che
\[ 0 = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \ldots \int_0^{2\pi} \left( \left| f_j(\xi) \right| -\left| f_j( \zeta) \right| \right) dt_1 \ldots dt_n \]
da cui \( \left| f_j(\xi) \right|=\left| f_j( \zeta) \right| \) siccome i raggi \( r_j \) erano arbitrari. Abbiamo che in effetti \( \left| f_j(\xi) \right| = \left| f_j( z) \right| \) per ogni \(z \).
Inoltre siccome \(j\) è arbitrario abbiamo dunque che \( \lVert f \rVert \) è costante e vale
\[ \lVert f(z) \rVert = \sqrt{ \left| f_1(\xi_1) \right|^2 + \ldots \left| f_m(\xi_2) \right|^2 } \]
per ogni \( z \in U \). Ora siccome \(\lVert f \rVert \) è costante ed \(f\) è supposta olomorfa abbiamo che \(f\) è costante. (questo è un teorema che abbiamo visto).

Vi sembra funzionare?

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Nooo
Il fatto che \( \xi \) massimizzi \( \lVert f \lVert \) non vuol dire che massimizzi pure \( \left| f_j \right| \). Credo non sia immediata come cosa. In realtà con una norma qualunque è falso. Ad esempio se prendiamo la norma sup e la funzione \(f: B_1(0) \times B_1(0) \to \mathbb{C}^2 \) definita da \(f(z_1,z_2)=(1,z_1) \) allora ha norma costante \( \lVert f \rVert = 1 \). Ma chiaramente \(f\) non è costante. Quindi sicuramente per questa norma è falso il principio del massimo. Per la norma euclidea non so.