Valore atteso, definizione inaspettata
Sia \( (\Omega,\mathcal F,\mathrm P) \) uno spazio di probabilità e sia \( f\colon \Omega\to \mathbb R \) una funzione misurabile e limitata. Data una famiglia \( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente di numeri reali \( a_m \), siano
\[
\begin{aligned}
I^* = \inf&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}\\
I_* = \sup&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m},a_{m + 1}\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}
\end{aligned}
\] rispettivamente l'integrale superiore e l'integrale inferiore di \( f \).
Sto cercando di provare che \( f \) è Lebesgue integrabile se e solo se \( I^* = I_* \), e in tal caso
\[
I_* = \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P = I^*\,\text{,}
\] ma mi sono bloccato.
Innanzitutto, è vero? Poi, perché la famiglia degli \( a_m \) è indiciata da \( \mathbb Z \)?
E infine... ho qualche idea ma è troppo lungo scrivere tutto. Siccome magari è ovvio, chiedo: avete qualche suggerimento?
\[
\begin{aligned}
I^* = \inf&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}\\
I_* = \sup&\left\{\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m},a_{m + 1}\right]):\text{\( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) crescente}\right\}
\end{aligned}
\] rispettivamente l'integrale superiore e l'integrale inferiore di \( f \).
Sto cercando di provare che \( f \) è Lebesgue integrabile se e solo se \( I^* = I_* \), e in tal caso
\[
I_* = \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P = I^*\,\text{,}
\] ma mi sono bloccato.
Innanzitutto, è vero? Poi, perché la famiglia degli \( a_m \) è indiciata da \( \mathbb Z \)?
E infine... ho qualche idea ma è troppo lungo scrivere tutto. Siccome magari è ovvio, chiedo: avete qualche suggerimento?
Risposte
Ma cosa significa Lebesgue integrabile? Qui è solo questione di definizioni. Quella che hai scritto potrebbe essere presa come definizione di Lebesgue integrabilità.
Allora, a me l'integrale di Lebesgue è stato definito prima per le funzioni a valori in \( \left[0,+\infty\right] \), per le quali si pone \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P \) pari all'estremo superiore degli integrali delle funzioni \( \phi\colon \Omega\to \mathbb R \) della forma \( \phi = \sum_{j = 1}^nc_j\chi_{E_j} \) tali che \( 0\leqq \phi\leqq f \) (dove \( E_1,\dots,E_n \) sono misurabili, \( c_1,\dots,c_n \) sono numeri reali, e le \( \chi_{E_j} \) sono le funzioni caratteristiche); e poi per le funzioni a valori reali, per le quali si pone \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P \) pari alla differenza \( \int_\Omega f\,\mathrm d\mathrm P = \int_\Omega f^{+}\,\mathrm d\mathrm P - \int_\Omega f^{-}\,\mathrm d\mathrm P \).
Così fa un po' chiunque, mi sembra (a parte Evans e qualche altro pazzo). Naturalmente questa costruzione va bene per una qualsiasi \( f \) misurabile definita su un qualsiasi spazio di misura.
Così fa un po' chiunque, mi sembra (a parte Evans e qualche altro pazzo). Naturalmente questa costruzione va bene per una qualsiasi \( f \) misurabile definita su un qualsiasi spazio di misura.
Sicuramente le due definizioni si ridurranno alla stessa cosa. Infatti quelle robe nel primo post sono esattamente integrali di funzioni semplici, scritti in un linguaggio leggermente diverso.
La successione è indicizzata da \(\mathbb Z\) perché così gli andava a chi ha scritto ciò che stai leggendo. In quello che hai scritto, \(\mathbb Z\) potrebbe essere sostituito da qualunque insieme numerabile e sarebbe esattamente la stessa cosa. Probabilmente in seguito \(\mathbb Z\) tornerà più comodo, non lo so.
P.S.: https://dizionari.corriere.it/dizionari ... zare.shtml
"Indiciare" non esiste in italiano
La successione è indicizzata da \(\mathbb Z\) perché così gli andava a chi ha scritto ciò che stai leggendo. In quello che hai scritto, \(\mathbb Z\) potrebbe essere sostituito da qualunque insieme numerabile e sarebbe esattamente la stessa cosa. Probabilmente in seguito \(\mathbb Z\) tornerà più comodo, non lo so.
P.S.: https://dizionari.corriere.it/dizionari ... zare.shtml
"Indiciare" non esiste in italiano
In realtà credo che l'insieme degli indici sia $ZZ$ perchè vuole un insieme ordinato illimitati sia superiormente che inferiormente, e questa cosa la usa.
Poi che sia in un certo senso "minimo" (e non $QQ$, ad esempio) probabilmente è per rendere più forte l'enunciato.
Poi che sia in un certo senso "minimo" (e non $QQ$, ad esempio) probabilmente è per rendere più forte l'enunciato.
Allora, facciamo che \( f\geqq 0 \) sia integrabile nel senso descritto qui. Considero una funzione semplice \( \phi = \sum_{j = 1}^n c_j\chi_{E_j} \) tale che \( 0\leqq \phi\leqq f \), e suppongo che \( c_j < c_{j + 1} \) per ogni \( j = 1,\dots,n - 1 \). A questo punto definirei \( (a_m)_{m\in \mathbb Z} \) come
\[
a_m =
\begin{cases}
c_1 & \text{m < 1}\\
c_m & \text{se \( m = 1,\dots,n \)}\\
c_n & \text{m > n}
\end{cases}
\] in modo da avere una successione di numeri reali crescente. Ma adesso non so se
\[
\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_m,a_{m + 1}\right])\leqq \sum_{j = 1}^n c_j \mathrm P(E_j)\leqq \sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right])
\] e quindi non riesco a concludere (occhio che le somme a sinistra e a destra sono somme finite).
\[
a_m =
\begin{cases}
c_1 & \text{m < 1}\\
c_m & \text{se \( m = 1,\dots,n \)}\\
c_n & \text{m > n}
\end{cases}
\] in modo da avere una successione di numeri reali crescente. Ma adesso non so se
\[
\sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_m,a_{m + 1}\right])\leqq \sum_{j = 1}^n c_j \mathrm P(E_j)\leqq \sum_{m\in \mathbb Z}a_m \mathrm Pf^{-1}(\left]a_{m - 1},a_m\right])
\] e quindi non riesco a concludere (occhio che le somme a sinistra e a destra sono somme finite).
Per curiosità, hai risolto? Stavo riflettendo sull'equivalenza delle definizioni, e ancora non ho trovato una strada per dimostrarla. Tuttavia, penso che l'idea di dissonance sia quella vincente.
Sul perché si indicizzi su $\mathbb{Z}$, suppongo che serva per considerare anche le successioni $(a_k)_k$ tali che
$\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}]a_m, a_{m+1}]=\mathbb{R}$
Sul perché si indicizzi su $\mathbb{Z}$, suppongo che serva per considerare anche le successioni $(a_k)_k$ tali che
$\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}]a_m, a_{m+1}]=\mathbb{R}$
@Mathita Oltre a quello che ho scritto l'altro giorno, sono arrivato alla conclusione che probabilmente si riesce a fare qualcosa se si dimostra un "teorema della convergenza monotona" per l'integrale che definisco qui. Poi non ci ho più pensato sinceramente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo