Un limite strano
E' noto* che la direttività di un array di antenne, quando le eccitazioni relative dei singoli elementi radianti sono quelle che producono un pattern somma alla Chebyshev, la direttività assume la seguente espressione matematica:
[tex]D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}[/tex]
dove [tex]N[/tex] è naturale ([tex]2N+1[/tex] è il numero di elementi), [tex]u_0\geq 1[/tex] e tale che [tex]T_{2N}(u_0)=b[/tex] ([tex]T_{2N}[/tex] è il polinomio di Chebyshev di ordine [tex]2N[/tex]).
Nello stesso articolo l'autore afferma che per [tex]N\to\infty[/tex] l'espressione sopra ha limite, pari a [tex]2b^2[/tex].
Ciò non mi sembra essere vero già nel caso semplice in cui [tex]u_0=1[/tex]. Considerando infatti proprio questa situazione, l'espressione della direttività si può riscrivere come:
[tex]D=\frac{2+1/N}{\frac{1}{N}+\frac{1}{b^2}\left\{ 1+\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}\right\}}[/tex]
pertanto, se deve essere vero quello che dice l'autore, deve essere per forza vero che:
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}=0[/tex]
cosa ovviamente falsa, in quanto quel limite fa 1 e non 0.
[*] Beamwidth and directivity of large scanning arrays, First of two parts, R. S. Elliot
[tex]D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}[/tex]
dove [tex]N[/tex] è naturale ([tex]2N+1[/tex] è il numero di elementi), [tex]u_0\geq 1[/tex] e tale che [tex]T_{2N}(u_0)=b[/tex] ([tex]T_{2N}[/tex] è il polinomio di Chebyshev di ordine [tex]2N[/tex]).
Nello stesso articolo l'autore afferma che per [tex]N\to\infty[/tex] l'espressione sopra ha limite, pari a [tex]2b^2[/tex].
Ciò non mi sembra essere vero già nel caso semplice in cui [tex]u_0=1[/tex]. Considerando infatti proprio questa situazione, l'espressione della direttività si può riscrivere come:
[tex]D=\frac{2+1/N}{\frac{1}{N}+\frac{1}{b^2}\left\{ 1+\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}\right\}}[/tex]
pertanto, se deve essere vero quello che dice l'autore, deve essere per forza vero che:
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}=0[/tex]
cosa ovviamente falsa, in quanto quel limite fa 1 e non 0.
[*] Beamwidth and directivity of large scanning arrays, First of two parts, R. S. Elliot
Risposte
E dunque?
In che senso e dunque?
Sto chiedendo dove sto sbagliando a interpretare la cosa.
Mi sembrano passaggi semplici ma a quanto pare li sbaglio perché non mi viene la stessa cosa che dice l'autore.
Sto chiedendo dove sto sbagliando a interpretare la cosa.
Mi sembrano passaggi semplici ma a quanto pare li sbaglio perché non mi viene la stessa cosa che dice l'autore.
In realtà, nel post precedente non c'è traccia di domande.
Ad ogni modo, scorso molto velocemente l'articolo, mi viene da chiederti: non è spiegato nell'appendice B sto fatto?
Ed anche, sei sicuro che sia la (32) a tendere a $2r^2$ e non la (33)?
Ad ogni modo, scorso molto velocemente l'articolo, mi viene da chiederti: non è spiegato nell'appendice B sto fatto?
Ed anche, sei sicuro che sia la (32) a tendere a $2r^2$ e non la (33)?
"gugo82":
non è spiegato nell'appendice B sto fatto?
Proprio quella spiegazione non mi torna, cioè quando dice:
Nel mio caso in [1], ho proprio usato $u_0=1$, per evitare approssimazioni in prima battuta.
"gugo82":
sei sicuro che sia la (32) a tendere a $2r^2$ e non la (33)?
La (33) è un modo diverso, più approssimato, di scrivere la (32). Dovrebbe essere quello che dimostra nell'appendice C.
Grazie del tuo tempo.
Capito, trovato il mio errore: avevo concluso che quel limite facesse 1 perché non ero stato sufficientemente attento nel notare che i singoli addendi della sommatoria dipendono, oltre che da p, anche da N stesso.
Ci sto provando da più di un giorno, ma non vedo la luce: in generale (non solo nel caso fin qui considerato di $u_0=1$) come potrei far vedere che questo limite:
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
Ci sto provando da più di un giorno, ma non vedo la luce: in generale (non solo nel caso fin qui considerato di $u_0=1$) come potrei far vedere che questo limite:
[tex]lim_{N oinfty}frac{sum_{p=1}^N T_{4N} left(u_0cdot cosfrac{ppi}{2N+1}
ight)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere (displaystyle T_{4N} ) come polinomio e ad espandere in serie i termini (displaystyle cos^k ), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
[tex]lim_{N oinfty}frac{sum_{p=1}^N T_{4N} left(u_0cdot cosfrac{ppi}{2N+1}
ight)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere (displaystyle T_{4N} ) come polinomio e ad espandere in serie i termini (displaystyle cos^k ), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
Ci sto provando da più di un giorno, ma non vedo la luce: in generale (non solo nel caso fin qui considerato di $u_0=1$) come potrei far vedere che questo limite:
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
Ci sto provando da più di un giorno, ma non vedo la luce: in generale (non solo nel caso fin qui considerato di $u_0=1$) come potrei far vedere che questo limite:
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
[tex]\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N T_{4N} \left(u_0\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)}{N}[/tex]
fa 0
Ho provato a scrivere \(\displaystyle T_{4N} \) come polinomio e ad espandere in serie i termini \(\displaystyle \cos^k \), tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
Ciao. A me pare che con il teorema di Cesaro(l'omologo per le successioni di quello di De L'Hospital)dovresti trovare subito pace da quest'inferno.
Saluti dal web.
Saluti dal web.
Domani me lo studio per bene, grazie mille! 
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