Uguaglianza con convoluzione
Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto.
Consideriamo tre funzioni $f,a,b:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Mi potete confermare se la seguente uguaglianza é corretta?
$\int_\mathbb{R} [ f(x) \ast a(x) ] b(x) dx = \int_\mathbb{R} a(x) [ f(-x) \ast b(x) ] dx$
dove
$f(x) \ast a(x) = \int_\mathbb{R} f(x-x')a(x')dx'$.
Io l'ho ricavata usando lo scambio di ordine di integrazione, ma non sono per nulla convinto che sia corretta.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Consideriamo tre funzioni $f,a,b:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Mi potete confermare se la seguente uguaglianza é corretta?
$\int_\mathbb{R} [ f(x) \ast a(x) ] b(x) dx = \int_\mathbb{R} a(x) [ f(-x) \ast b(x) ] dx$
dove
$f(x) \ast a(x) = \int_\mathbb{R} f(x-x')a(x')dx'$.
Io l'ho ricavata usando lo scambio di ordine di integrazione, ma non sono per nulla convinto che sia corretta.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Se l'uguaglianza che ho scritto non ha senso, la seconda domanda é la seguente. Come posso trasferire il prodotto di convoluzione da $[f(x) \ast a(x)] b(x)$ a $[\tilde{f}(x) \ast b(x)]a(x)$? Che cosa é $\tilde{f}(x)$?
Io ho trovato $\tilde{f}(x) = f(-x)$, ma non so se é corretto.
Grazie.
Io ho trovato $\tilde{f}(x) = f(-x)$, ma non so se é corretto.
Grazie.
Beh, per funzioni $C_c(RR)$ hai:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \Big( f(x) * a(x)\Big)\ b(x)\ \text{d} x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y)\ a(y)\ \text{d} y \right)\ b(x)\ \text{d} x \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y)\ b(x)\ \text{d} x \right)\ a(y)\ \text{d} y \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f\big(-(y - x)\big)\ b(x)\ \text{d} x \right)\ a(y)\ \text{d} y \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Big( \tilde{f}(x) * b(x)\Big)\ a(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
in cui $tilde(f)(t) := f(-t)$ è la simmetrizzata di $f$ rispetto a $0$; ed ovviamente (almeno così mi pare) il risultato si trasporta per densità alle funzioni sufficientemente sommabili.
Quindi sì, hai ragione tu.
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \Big( f(x) * a(x)\Big)\ b(x)\ \text{d} x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y)\ a(y)\ \text{d} y \right)\ b(x)\ \text{d} x \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x - y)\ b(x)\ \text{d} x \right)\ a(y)\ \text{d} y \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f\big(-(y - x)\big)\ b(x)\ \text{d} x \right)\ a(y)\ \text{d} y \\
&= \int_{-\infty}^{+\infty} \Big( \tilde{f}(x) * b(x)\Big)\ a(x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
in cui $tilde(f)(t) := f(-t)$ è la simmetrizzata di $f$ rispetto a $0$; ed ovviamente (almeno così mi pare) il risultato si trasporta per densità alle funzioni sufficientemente sommabili.
Quindi sì, hai ragione tu.
Grazie Gugo, volevo essere solamente certo di ció che sto scrivendo. Grazie ancora.
Mi allaccio qui per una seconda (o terza?) domanda. Nel mio caso, quella funzione $f(x)$ é una transformata inversa di Fourier. Ossia, se denotimao con $\hat{f}=\hat{f}(k)$ la trasformata di Fourier di $f$ ( dove $k$ rappresenta il numero d'onda), abbiamo che
$f(x) = (\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (x)$
Dato che
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{2 \pi i k x} dk$
Allora
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk$
Ora, mi chiedo se esiste una qualche proprietá per la quale
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}}) (x) $
dove $\overline{\hat{f}}$ denota il complesso coniugato di $\hat{f}$.
Oppure, posta in un altro modo, come posso riscrivere $(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x)$ senza la negazione nell'argomento?
Un tuo/vostro parere mi aiuterebbe tantissimo. Grazie.
Mi allaccio qui per una seconda (o terza?) domanda. Nel mio caso, quella funzione $f(x)$ é una transformata inversa di Fourier. Ossia, se denotimao con $\hat{f}=\hat{f}(k)$ la trasformata di Fourier di $f$ ( dove $k$ rappresenta il numero d'onda), abbiamo che
$f(x) = (\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (x)$
Dato che
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{2 \pi i k x} dk$
Allora
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk$
Ora, mi chiedo se esiste una qualche proprietá per la quale
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}}) (x) $
dove $\overline{\hat{f}}$ denota il complesso coniugato di $\hat{f}$.
Oppure, posta in un altro modo, come posso riscrivere $(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x)$ senza la negazione nell'argomento?
Un tuo/vostro parere mi aiuterebbe tantissimo. Grazie.
"A occhio", hai:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(k)\ e^{-2\pi i k x}\ \text{d} k = \overline{\int_{-\infty}^{+\infty} \bar{\Phi}(k)\ e^{2\pi i k x}\ \text{d} k}\;.
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(k)\ e^{-2\pi i k x}\ \text{d} k = \overline{\int_{-\infty}^{+\infty} \bar{\Phi}(k)\ e^{2\pi i k x}\ \text{d} k}\;.
\]
Avevo cambiato notazione per far meno confusione, assumendo $\Phi = \hat{f}$.
Mi confermi se il passaggio che hai fatto é il seguente?
$\int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk = \overline{\overline{\int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk}} = \overline{\int_\mathbb{R} \overline{\hat{f}}(k) e^{2 \pi i k x} dk}$
Un'osservazione. Se prendo una funzione $f$ tale che $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con
$f(x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{2 \pi i k x} dk$
Allora, $\overline{f}(x) = f(x)$, giusto? La funzione ha valori nei reali.
Se cosí fosse, allora l'uguaglianza
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f})(-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}})(x) $
dovrebbe essere corretta. Confermi?
Grazie ancora.
Mi confermi se il passaggio che hai fatto é il seguente?
$\int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk = \overline{\overline{\int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{-2 \pi i k x} dk}} = \overline{\int_\mathbb{R} \overline{\hat{f}}(k) e^{2 \pi i k x} dk}$
Un'osservazione. Se prendo una funzione $f$ tale che $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con
$f(x) = \int_\mathbb{R} \hat{f}(k) e^{2 \pi i k x} dk$
Allora, $\overline{f}(x) = f(x)$, giusto? La funzione ha valori nei reali.
Se cosí fosse, allora l'uguaglianza
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f})(-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}})(x) $
dovrebbe essere corretta. Confermi?
Grazie ancora.
Ciao ragazzi, spero che qualcuno mi possa confermare (o meno) ció che ho scritto nell'ultimo commento.
Pensando un po' su questo argomento, mi sono reso conto che ho molte lacune. La trasformata di Fourier fa da tramite tra due diversi domini, quello reale e quello della frequenza.
Ora, se consideriamo una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, la sua trasformata di Fourier $\hat{f}$ sará sempre complessa, in quanto contiene informazioni rigurdanti la fase dei coefficienti.
Se, al contrario, prendiamo una funzione $\tilde{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, come si puó interpretare la sua trasformata di Fourier? Si cerca sempre di definire $\tilde{f}$ come "superposizione di onde"? $\tilde{\hat{f}}$ é sempre complessa?
Tutto ció per cercare di capire sotto quali condizioni vale la seguente ugualianza
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}})(x)$
Grazie.
P.S: se avete anche del materiale a riguardo é ben accetto.
Pensando un po' su questo argomento, mi sono reso conto che ho molte lacune. La trasformata di Fourier fa da tramite tra due diversi domini, quello reale e quello della frequenza.
Ora, se consideriamo una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, la sua trasformata di Fourier $\hat{f}$ sará sempre complessa, in quanto contiene informazioni rigurdanti la fase dei coefficienti.
Se, al contrario, prendiamo una funzione $\tilde{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, come si puó interpretare la sua trasformata di Fourier? Si cerca sempre di definire $\tilde{f}$ come "superposizione di onde"? $\tilde{\hat{f}}$ é sempre complessa?
Tutto ció per cercare di capire sotto quali condizioni vale la seguente ugualianza
$(\mathcal{F}^{-1} \hat{f}) (-x) = (\mathcal{F}^{-1} \overline{\hat{f}})(x)$
Grazie.
P.S: se avete anche del materiale a riguardo é ben accetto.
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