Trovare la serie di Taylor
Ciao!
Sto avendo difficoltà nel risolvere due esercizi, non capisco se ho qualche lacuna o semplicemente sono difficili
Devo trovare la serie di Taylor di:
1) $ f(z)=ze^{2z} " in "z_o=-1 $
2) $ f(z)=(z^2+1)cos(3z^3) " in " z_0=0 $
Soluzione:
1) $ f(z)=-e^(-2) + (e^(-2))/2 sum_{n=1}^{+\infty} (n-2)/(n!)2^n (z+1)^n $
2) $ f(z)= 1+ z^2 - 9/2 z^6-9/2z^8+81/(4!)z^12+81/(4!)z^14-... $
Per l'esercizio 1) non ho idea nemmeno di come iniziare.
Per l'esercizio 2): Io avevo inserito $(1+z^2)$ dentro la sommatoria del cos ma guardando le soluzioni noto che prima sviluppano la serie del cos in $z_0=0$ e successivamente moltiplicano per $(1+z^2)$. Come mai?
P.S. Perché nelle soluzioni del 1) lascia la sommatoria mentre nel 2) la sviluppa? Cambia qualcosa?
Grazie in anticipo!!
Sto avendo difficoltà nel risolvere due esercizi, non capisco se ho qualche lacuna o semplicemente sono difficili
Devo trovare la serie di Taylor di:
1) $ f(z)=ze^{2z} " in "z_o=-1 $
2) $ f(z)=(z^2+1)cos(3z^3) " in " z_0=0 $
Soluzione:
1) $ f(z)=-e^(-2) + (e^(-2))/2 sum_{n=1}^{+\infty} (n-2)/(n!)2^n (z+1)^n $
2) $ f(z)= 1+ z^2 - 9/2 z^6-9/2z^8+81/(4!)z^12+81/(4!)z^14-... $
Per l'esercizio 1) non ho idea nemmeno di come iniziare.
Per l'esercizio 2): Io avevo inserito $(1+z^2)$ dentro la sommatoria del cos ma guardando le soluzioni noto che prima sviluppano la serie del cos in $z_0=0$ e successivamente moltiplicano per $(1+z^2)$. Come mai?
P.S. Perché nelle soluzioni del 1) lascia la sommatoria mentre nel 2) la sviluppa? Cambia qualcosa?
Grazie in anticipo!!
Risposte
Questi sono esercizi da Analisi I/II, dovresti avere almeno l’idea di base.
Per quanto riguarda 1), puoi riscrivere:
$f(z) = (z - z_0 + z_0)*e^(2(z-z_0) + 2z_0) = (z+1 -1)*e^(2(z+1) -2)$
ed operare la sostituzione $w=z+1$ in modo da ottenere:
$g(w) = e^(-2) * (w-1) * e^(2w)$
da sviluppare in serie intorno a $w_0=0$.
Il metodo da usare per sviluppare la $g$ e la $f$ dell’esercizio 2) è essenzialmente la stessa e la trovi su qualsiasi eserciziari decente di Analisi I/II.
Per quanto riguarda 1), puoi riscrivere:
$f(z) = (z - z_0 + z_0)*e^(2(z-z_0) + 2z_0) = (z+1 -1)*e^(2(z+1) -2)$
ed operare la sostituzione $w=z+1$ in modo da ottenere:
$g(w) = e^(-2) * (w-1) * e^(2w)$
da sviluppare in serie intorno a $w_0=0$.
Il metodo da usare per sviluppare la $g$ e la $f$ dell’esercizio 2) è essenzialmente la stessa e la trovi su qualsiasi eserciziari decente di Analisi I/II.
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