Trasformazioni conformi nel semipiano.
Dimostra che le applicazioni conformi da \( \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) sono della forma
\[ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \]
dove \[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R} \]
Allora la mia idea era la seguente
se considero la trasformazione di mobius \( \varphi_1 : \mathbb{H} \to D(0,1) \) definita da \[ z \mapsto -i \frac{z-1}{z+1} \]
E prendo la sua inversa \( \varphi_1^{-1} : D(0,1) \to \mathbb{H}\) definita da \[ z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \]
Posso lavorare sul disco e sappiamo inoltre che tutte le applicazioni conformi \( \psi_{\theta,a} \) dal disco al disco sono delle trasformazioni di Mobius della forma \( \psi_{\theta,a} (z)=e^{i \theta} \psi_{a}(z) \) per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \) in modo tale che \( \psi_{\theta,a}(a)=0 \).
E \( \psi_a \) è della forma \[ \psi_a (z) = \frac{z-a}{1- \overline{a}z} \]
Quindi credo che posso concludere che qualunque trasformazione conforme \( \varphi : \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è data da
\[ \varphi = \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 \]
Per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \).
Quello che devo effettivamente dimostrare è che per tutti i \( \theta \in \mathbb{R} \) e per tutti gli \( a \in D(0,1) \) ottengo che
\( \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) \) sia della forma
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{az+b}{cz+d}\]
Con
\[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Ma riesco solo a dimostrare che
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{z(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})}{z(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})}\]
Come faccio a concludere che
\[A:= \begin{bmatrix}
(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})\\
(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Anche perché ci sono due problemi
1) Il determinante non è 1, ma mi viene
\[ \det A= 2 \overline{a} i e^{-i \theta} (a^2 + 1 ) \]
E i coefficienti non credo siano reali..
Dove sbaglio? Non credo nei conti perché gli ho controllati un sacco di volte.
\[ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \]
dove \[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R} \]
Allora la mia idea era la seguente
se considero la trasformazione di mobius \( \varphi_1 : \mathbb{H} \to D(0,1) \) definita da \[ z \mapsto -i \frac{z-1}{z+1} \]
E prendo la sua inversa \( \varphi_1^{-1} : D(0,1) \to \mathbb{H}\) definita da \[ z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \]
Posso lavorare sul disco e sappiamo inoltre che tutte le applicazioni conformi \( \psi_{\theta,a} \) dal disco al disco sono delle trasformazioni di Mobius della forma \( \psi_{\theta,a} (z)=e^{i \theta} \psi_{a}(z) \) per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \) in modo tale che \( \psi_{\theta,a}(a)=0 \).
E \( \psi_a \) è della forma \[ \psi_a (z) = \frac{z-a}{1- \overline{a}z} \]
Quindi credo che posso concludere che qualunque trasformazione conforme \( \varphi : \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è data da
\[ \varphi = \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 \]
Per qualche \( \theta \in \mathbb{R} \) e per qualche \( a \in D(0,1) \).
Quello che devo effettivamente dimostrare è che per tutti i \( \theta \in \mathbb{R} \) e per tutti gli \( a \in D(0,1) \) ottengo che
\( \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) \) sia della forma
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{az+b}{cz+d}\]
Con
\[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Ma riesco solo a dimostrare che
\[ \varphi_1^{-1} \circ \psi_{\theta,a} \circ \varphi_1 (z) = \frac{z(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})}{z(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) + (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})}\]
Come faccio a concludere che
\[A:= \begin{bmatrix}
(a+i)(1-\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1+\overline{a}ie^{-i\theta})\\
(a+i)(1+\overline{a}ie^{-i\theta}) & (i-a)(1-\overline{a}ie^{-i\theta})
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R}) \]
Anche perché ci sono due problemi
1) Il determinante non è 1, ma mi viene
\[ \det A= 2 \overline{a} i e^{-i \theta} (a^2 + 1 ) \]
E i coefficienti non credo siano reali..
Dove sbaglio? Non credo nei conti perché gli ho controllati un sacco di volte.
Risposte
Un attimo solo. Cosa intendi per "trasformazione conforme di \(\mathbb H\)"? Intanto, cos'è \(\mathbb H\)? Immagino sia \(\{\Im z >0\}\), ma allora lì di solito si considera la metrica iperbolica, sono un po' confuso.
Si scusa intendo proprio il semipiano che hai descritto.
\( \mathbb{H} =\{ \Im z >0\} \)
Mentre per applicazione conforme \( f: U \to V \) intendo
Un applicazione biietiva e olomorfa.
Cosa intendi per metrica iperbolica? Utilizzare quelle due trasformazioni di Moebius sono un siggerimento del professore nelle sue note del corso.
\( \mathbb{H} =\{ \Im z >0\} \)
Mentre per applicazione conforme \( f: U \to V \) intendo
Un applicazione biietiva e olomorfa.
Cosa intendi per metrica iperbolica? Utilizzare quelle due trasformazioni di Moebius sono un siggerimento del professore nelle sue note del corso.
"3m0o":
Cosa intendi per metrica iperbolica?
Non intendo niente, non ti preoccupare, adesso ho capito bene cosa intendi. Il tuo svolgimento è corretto ma ci sarà qualche errore di conto.
"3m0o":
se considero la trasformazione di mobius \( \varphi_1 : \mathbb{H} \to D(0,1) \) definita da \[ z \mapsto -i \frac{z-1}{z+1} \]
E prendo la sua inversa \( \varphi_1^{-1} : D(0,1) \to \mathbb{H}\) definita da \[ z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \]
Non sono scambiate ?
Secondo me $\varphi_1: D(0,1) \to \mathbb{H}$ e viceversa.
Si sono scambiate e non sono neanche le inverse una dell'altra, inoltre i miei calcoli non sono sbagliati ma probabilmente hanno parte complessa uguale. Giuste sono
\( \varphi(z) = \frac{z-i}{z+i} \) e l'inversa \( \varphi^{-1} (z) = -i \frac{z+1}{z-1} \)
Quindi se \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è conforme allora \( g = \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è conforme nel disco unitario.
E sappiamo dunque che \(g \) è una trasformazione di Mobius. Dunque esistono \( a,b,c,d \in \mathbb{C} \) tale che
\[ f(z) = \frac{az + b}{cz+d} \]
inoltre abbiamo che \(ad-bc\neq 0 \).
Inoltre se prolunghiamo in modo continuo \(f \) sulla retta reale abbiamo (tranne in al più un punto) abbiamo che la retta reale dev'essere fissata. Pertanto \( a,b,c,d \) devono avere la parte immaginaria uguale pertanto possiamo scegliere \( a,b,c,d \) reali. E dividento per uno scalare, siccome le trasformazioni di Mobius sono invarianti per moltiplicazione per scalari, possiamo supporre che \( ad-bc = 1 \).
Vi sembra funzionare?
\( \varphi(z) = \frac{z-i}{z+i} \) e l'inversa \( \varphi^{-1} (z) = -i \frac{z+1}{z-1} \)
Quindi se \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è conforme allora \( g = \varphi \circ f \circ \varphi^{-1} : \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) è conforme nel disco unitario.
E sappiamo dunque che \(g \) è una trasformazione di Mobius. Dunque esistono \( a,b,c,d \in \mathbb{C} \) tale che
\[ f(z) = \frac{az + b}{cz+d} \]
inoltre abbiamo che \(ad-bc\neq 0 \).
Inoltre se prolunghiamo in modo continuo \(f \) sulla retta reale abbiamo (tranne in al più un punto) abbiamo che la retta reale dev'essere fissata. Pertanto \( a,b,c,d \) devono avere la parte immaginaria uguale pertanto possiamo scegliere \( a,b,c,d \) reali. E dividento per uno scalare, siccome le trasformazioni di Mobius sono invarianti per moltiplicazione per scalari, possiamo supporre che \( ad-bc = 1 \).
Vi sembra funzionare?
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