Trasformazioni conformi e possibile applicazione
Abbiamo iniziato le trasformazioni conformi ed professore ha scritto questo enunciato alla lavagna dicendo che le trasformazioni conformi sono uno strumento utile per comprendere in modo profondo la geometria del piano. Ad ogni modo non ho la più pallida idea di come dimostrare l'enunciato... qualcuno avrebbe un idea?
Sia \( P \) una pavimentazione esagonale del piano. Coloriamo ogni esagono di bianco o di nero, in modo tale che la probabilità che un esagono sia bianco è \( p \) e la probabilità che sia nero è (chiaramente) \( 1- p \).
Allora
\[ \mathbb{P} (\{ x \ \text{è un esagono di una componente connessa di infiniti esagoni bianchi} \}) \approx \left(p-\frac{1}{2}\right)_+^{5/36} \]
dove \( \left(p-\frac{1}{2}\right)_+ = \max \left(0,(p-1/2)\right) \).
Sia \( P \) una pavimentazione esagonale del piano. Coloriamo ogni esagono di bianco o di nero, in modo tale che la probabilità che un esagono sia bianco è \( p \) e la probabilità che sia nero è (chiaramente) \( 1- p \).
Allora
\[ \mathbb{P} (\{ x \ \text{è un esagono di una componente connessa di infiniti esagoni bianchi} \}) \approx \left(p-\frac{1}{2}\right)_+^{5/36} \]
dove \( \left(p-\frac{1}{2}\right)_+ = \max \left(0,(p-1/2)\right) \).
Risposte
Ma questo sarebbe un esercizio?!? Ma è difficilissimo
Dubito che si aspetti davvero che siamo in grado di risolverlo. Ma ero curioso di come poterlo dimostrare, ho cercato e non ho trovato nulla.
E' molto interessante ma si vede che ci vogliono idee non banali per risolverlo. Io non saprei neanche da dove cominciare. Il nesso con le trasformazioni conformi è completamente oscuro. Se vi dà qualche altra informazione, e se ti va, postala qui, per favore. Grazie!
"dissonance":
E' molto interessante ma si vede che ci vogliono idee non banali per risolverlo. Io non saprei neanche da dove cominciare. Il nesso con le trasformazioni conformi è completamente oscuro. Se vi dà qualche altra informazione, e se ti va, postala qui, per favore. Grazie!
Se ti interessa il professore mi ha girato questo.
https://arxiv.org/abs/0710.0856
Io onestamente ho provato a darci un occhiata e mi sembra completamente fuori dalla mia portata.
E' fuori anche della mia, di portata. Ma è molto interessante. Mi sembra un tipico problema che interessa alla gente dell'EPFL. Come diceva un mio caro professore di analisi, "la matematica è come i peperoni", quando non te lo aspetti ti torna in bocca.
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