Trasformata Laplace gradino

[Dxerxes]

Salve ragazzi, sto uscendo pazzo con questa trasformata di Laplace:

$cos(pi/4 (u(t-2)))$

Come prima cosa ho scritto il coseno in forma esponenziale, ottenendo :
$1/2[e^(i(pi/4(u(t-2)))) + e^(-i(pi/4(u(t-2))))]$

Ora il problema è che non so trasformare questo esponenziale
Ne ho provate di ogni.Perchè se non ci fosse la traslazione mi verrebbe (verficato su WolframAlpha ) ma quella traslazione all’esponente rovina tutto...
Con la semplice regola della $u(t-t_0)$ non mi viene

[ciampax]

Ti faccio presente che la funzione da trasformare si riduce a
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ se $t\ge 2$
$1$ se $0\le t\le 2$
per cui per trasformare basta scomporre l'integrale (dalla definizione di trasformata) in due e risolvere.

[Dxerxes]

perchè giustamente il gadino per $t>2$ vale 1 e 0 altrove ovvero da 0 a 2 , okay capito.
Quindi per trasformare devo considerare
$sqrt(2)/2 u(t-2) + 1[u(t)-u(t-2)]$ ??

[ciampax]

Sì. Equivalentemente puoi calcolare direttamente con la definizione: la trasformata di Laplace diventa la cosa seguente
$$\int_0^{+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot u(t-2)\right)\ e^{-st}\ dt=\int_0^{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot u(t-2)\right)\ e^{-st}\ dt+\int_2^{+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{4}\cdot u(t-2)\right)\ e^{-st}\ dt=\\ \int_0^{2}\cos\left(0\right)\ e^{-st}\ dt+\int_2^{+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\ e^{-st}\ dt=\int_0^{2} e^{-st}\ dt+\int_2^{+\infty}\frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{-st}\ dt$$
Puoi verificare da te i risultati in entrambi i modi.

[Dxerxes]

sisi mi trovo, ti ringrazio tanto!
Mi hai illuminato