Trasformata Laplace Funzioni Periodiche
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
Calcolare $ L[abs(sin(omegax))] $
Risolvendo mi viene:
$ omega/(omega^2+s^2)(-cos(omegax)*e^(-sx)-s/omega*sin(omegax)*e^(-sx)) $
Sperando sia giusto non riesco a capire su quale intervallo calcolare questo risultato.
Grazie.
circa questo esercizio:
Calcolare $ L[abs(sin(omegax))] $
Risolvendo mi viene:
$ omega/(omega^2+s^2)(-cos(omegax)*e^(-sx)-s/omega*sin(omegax)*e^(-sx)) $
Sperando sia giusto non riesco a capire su quale intervallo calcolare questo risultato.
Grazie.
Risposte
Ciao davicos,
Direi certamente di no, perché nella trasformata di Laplace $x$ non deve comparire, ma deve essere una funzione di $s$...
Salvo errori, si ha:
[tex]\mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] = \dfrac{\omega \coth \bigg(\dfrac{\pi s}{2\omega}\bigg)}{\omega^2 + s^2}[/tex]
"davicos":
Sperando sia giusto
Direi certamente di no, perché nella trasformata di Laplace $x$ non deve comparire, ma deve essere una funzione di $s$...
Salvo errori, si ha:
[tex]\mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] = \dfrac{\omega \coth \bigg(\dfrac{\pi s}{2\omega}\bigg)}{\omega^2 + s^2}[/tex]
Si è stata solo per abitudine ma sul foglio era tutto in funzione di s. Il risultato è quello ma ero più interessato ai passaggi.. Riusciresti a farmeli vedere o magari a darmi qualche indizio.
Grazie.
Grazie.
Nessuno riesce a farmi vedere i passaggi?
Grazie.
Grazie.
Come sicuramente saprai, per definizione si ha:
$|sin x| := {(sin x, text{ se } sin x > 0 \iff 0 < x < \pi),(- sin x, text{ se } sin x < 0 \iff \pi < x < 2\pi):}$
Quindi si nota che la funzione $|sin x|$ è una funzione periodica di periodo $\pi $.
Generalizzando un po' il discorso, si nota che la funzione $ |sin(\omega x)| $ è una funzione periodica di periodo $\pi/\omega $.
A questo punto, supponendo $\omega > 0 $:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{frac{\pi n}{\omega}}^{frac{\pi n + \pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- frac{\pi s n}{\omega}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $
$ = sum_{n = 0}^{+\infty} (e^{- frac{\pi s}{\omega}})^n int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = frac{1}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $
a condizione che la serie geometrica converga, e ciò si verifica se $Re > 0 $. L'integrale indefinito relativo all'integrale definito che compare nell'ultima eguaglianza si risolve integrando due volte per parti e la sua soluzione si può reperire ad esempio qui. Integrando fra $0$ e $pi/\omega $ si ha:
$int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-st} sin(\omega t) dt = frac{\omega(e^{- frac{\pi s}{\omega}} + 1)}{s^2 + \omega^2} $
Per cui si ottiene:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{1 + e^{- frac{\pi s}{\omega}}}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} \cdot frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
Raccogliendo $e^{-frac{\pi s}{2\omega}} $ a numeratore e a denominatore e semplificando in definitiva si ha:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{\omega coth(frac{\pi s}{2\omega})}{s^2 + \omega^2} qquad \text{ per } Re > 0 $.
$|sin x| := {(sin x, text{ se } sin x > 0 \iff 0 < x < \pi),(- sin x, text{ se } sin x < 0 \iff \pi < x < 2\pi):}$
Quindi si nota che la funzione $|sin x|$ è una funzione periodica di periodo $\pi $.
Generalizzando un po' il discorso, si nota che la funzione $ |sin(\omega x)| $ è una funzione periodica di periodo $\pi/\omega $.
A questo punto, supponendo $\omega > 0 $:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{frac{\pi n}{\omega}}^{frac{\pi n + \pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = sum_{n = 0}^{+\infty} e^{- frac{\pi s n}{\omega}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $
$ = sum_{n = 0}^{+\infty} (e^{- frac{\pi s}{\omega}})^n int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx = frac{1}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-sx} sin(\omega x) dx $
a condizione che la serie geometrica converga, e ciò si verifica se $Re
$int_{0}^{frac{\pi}{\omega}} e^{-st} sin(\omega t) dt = frac{\omega(e^{- frac{\pi s}{\omega}} + 1)}{s^2 + \omega^2} $
Per cui si ottiene:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{1 + e^{- frac{\pi s}{\omega}}}{1 - e^{-frac{\pi s}{\omega}}} \cdot frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
Raccogliendo $e^{-frac{\pi s}{2\omega}} $ a numeratore e a denominatore e semplificando in definitiva si ha:
$ mathcal{L}[|\sin(\omega x)|] := int_0^{+\infty} |sin(\omega x)| e^{-sx} dx = frac{\omega coth(frac{\pi s}{2\omega})}{s^2 + \omega^2} qquad \text{ per } Re
Bene grazie ci proverò.
Ho corretto e modificato il mio post precedente in modo da semplificare un po' le cose...
Bene ho capito. Quello che omettevo era l'utilizzo della formule per le funzioni periodiche proprio perchè non riuscivo a capire quale fosse il periodo ed allora mi mancava un pezzo.
Grazie gentilissimo/a!
Grazie gentilissimo/a!
"davicos":
Grazie
Prego!
"davicos":
gentilissimo/a
Vada per gentilissimo, grazie...
Bene grazie ancora!
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