Trasformata Laplace con valori assoluti
Salve ragazzi, stavo svolgendo una prova d'esame quando ho incontrato questo esercizio:
Svolgere il seguente problema di cauchy utilizzando la trasformata di laplace in [0; + $\infty$[
$\{(y'' +3y' -4y = e^(|t- pi|) sen|t- pi/2| ),(y(0)=0),( y'(0)=0):}$
Lasciando stare la trasformata del primo membro che l'ho svolta, ció che mi crea problemi sono i due valori assoluti.
Il problema è che hanno valori diversi quindi non so come affrontarli...
Mi dareste una mano cortesemente?
Vi ringrazio❤️
Svolgere il seguente problema di cauchy utilizzando la trasformata di laplace in [0; + $\infty$[
$\{(y'' +3y' -4y = e^(|t- pi|) sen|t- pi/2| ),(y(0)=0),( y'(0)=0):}$
Lasciando stare la trasformata del primo membro che l'ho svolta, ció che mi crea problemi sono i due valori assoluti.
Il problema è che hanno valori diversi quindi non so come affrontarli...
Mi dareste una mano cortesemente?
Vi ringrazio❤️
Risposte
Ciao, premetto che non sono un laureato in matematica, studio ingegneria informatica, quindi tutto quello che sto per dire prendila più come uno "svolgiamo insieme l'esercizio" che come " guarda che sono sicurissimo si faccia così".
Premesso questo io lo risolverei così.
analizziamo i casi in cui $t-pi$ e $t-pi/2$ sono maggiori di zero e mettiamo a sistema.
notiamo che per $t>pi$ entrambe i valori assoluti sono positivi quindi non cambiano di segno.
per $ pi/2<=t
Per darti un'idea ho impostato il caso 1.
per $t>=pi$ abbiamo entrambi i valori assoluti >0 quindi al secondo membro ci troveremo con $e^(t-pi)sen(t-pi/2)$
ora ricordando le formule degl'archi associati/complementari sappiamo che $ sen(pi/2-t)=cost$ e inoltre sappiamo che $sen-t=-sent$
quindi possiamo scrivere $e^(t-pi)sen(t-pi/2)$ come $-e^(t-pi)sen(pi/2-t)$ e infine come $-e^(t-pi)cost$ a questo punto scrivendo l'esponenziale come $e^t/e^pi$ e trattando il denominatore come costante ti dovrebbe venire facile risolvere la trasformata di Laplace.
Fammi sapere se ho detto varie vaccate.
Premesso questo io lo risolverei così.
analizziamo i casi in cui $t-pi$ e $t-pi/2$ sono maggiori di zero e mettiamo a sistema.
notiamo che per $t>pi$ entrambe i valori assoluti sono positivi quindi non cambiano di segno.
per $ pi/2<=t
Per darti un'idea ho impostato il caso 1.
per $t>=pi$ abbiamo entrambi i valori assoluti >0 quindi al secondo membro ci troveremo con $e^(t-pi)sen(t-pi/2)$
ora ricordando le formule degl'archi associati/complementari sappiamo che $ sen(pi/2-t)=cost$ e inoltre sappiamo che $sen-t=-sent$
quindi possiamo scrivere $e^(t-pi)sen(t-pi/2)$ come $-e^(t-pi)sen(pi/2-t)$ e infine come $-e^(t-pi)cost$ a questo punto scrivendo l'esponenziale come $e^t/e^pi$ e trattando il denominatore come costante ti dovrebbe venire facile risolvere la trasformata di Laplace.
Fammi sapere se ho detto varie vaccate.
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